人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题03含参数与新定义的集合问题(原卷版+解析)

专题03含参数与新定义的集合问题【考点预测】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．【典型例题】例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．(1)当时，写出集合A的孪生集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.(1)计算：；(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题，，命题.(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.【过关测试】一、单选题1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（

）A．4 B．2 C．2或4 D．1或23．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（

）.A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合是“和谐集”C．若都是“和谐集”，则D．对任意两个不同的“和谐集”，总有4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4]6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（

）A．1 B． C．3 D．10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（

）A．当，时，B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子C．中有3个元素D．中所有元素之和为311．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B． C． D．012．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素三、填空题13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为_________.16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．设集合，，______，求实数的取值范围．18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数a的取值范围.19．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．若______，求实数a的取值范围．20．(2023·全国·高一单元测试）集合，．(1)若，，求实数a的值；(2)从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．21．(2023·全国·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．22．(2023·全国·高一单元测试）对于给定的数集．若对于任意，有，且，则称集合为闭集合．(1)判断集合是否为闭集合并说明理由；(2)若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合，为闭集合，且，．证明：．专题03含参数与新定义的集合问题【考点预测】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．【典型例题】例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，，若为真命题，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.（2）若为真命题，则，解得或.（i）若真假，则，可得；（ii）若假真，则，可得或.综上所述，实数的取值范围是.例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1），因为，所以，所以，．（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，当时，，得当时，．解得

，所以实数的取值范围是例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．(1)当时，写出集合A的孪生集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．答案：(1)；(2)128；(3)不存在，理由见解析.分析：⑴根据孪生集的定义写出集合即可；⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解；⑶利用反证法来证明.（1）∵，∴；（2）设，不妨设，因为，所以B中元素个数大于等于7，取，则，此时B中元素共7个，所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集，不妨设，则集合A的孪生集，则，，则必有，，其4个正实数的乘积；同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾．所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集．例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．【解析】（1）集合B不是“好集”，理由是，，而，所以B不是“好集”；有理数集Q是“好集”，理由是，；对任意，，有，且，时，；所以有理数集Q是“好集”；（2）因为集合A是“好集”，所以，若x、，则，即，所以，即；（3）对任意一个“好集”A，任取x、，若x、y中有0和1时，显然，下面设x、y均不含0，1，由定义得，，，所以，所以，由（2）得，同理，若x＋y＝0．或x＋y＝1．显然，若，且，则，所以，所以，由（2）得，所以，综上，．例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.(1)计算：；(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.【解析】（1）.（2）交换律：，证明如下：依题意，设，，则，，所以.（3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设，即，则，当时，显然有成立，即元素为A中任意元素，当时，则，解得，因此当，都有成立时，得，反之，当时，，设，，所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题，，命题.(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.【解析】（1）当命题为真时有：，解得;当命题为真时有：，解得：，又命题和命题有且只有一个为假命题，当真时，为假，即真真，所以，无解；当假时，为真，即假假，所以，解得.综上所述，实数的取值范围为：;（2）由(1)可知当假假时，.所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为：。【过关测试】一、单选题1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵，故，∴①当时，即无解，此时，满足题意.②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得.当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是.故选：A2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（

）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2答案：B【解析】因为所以所以解得：，或所以，所以，所以解得：或，且解得：且所以.故选：B3．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（

）.A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合是“和谐集”C．若都是“和谐集”，则D．对任意两个不同的“和谐集”，总有答案：D【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；D项中，取，，都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.故选：D.4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个答案：C【解析】对子集A分类讨论：当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C．5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4]答案：D【解析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．故选：D．6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由，可得，当时，，即，满足题设；当时，，即，且，可得；综上，a的取值范围为.故选：C.7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】若“为真命题，得对于恒成立，只需，所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】对于①，，故①正确；对于②，不妨设，则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由，可得或，故②错；对于③，不妨设中，由得，当时，即有，，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；对于④，当时，，故只能，，求得，于是“复活集”只有一个，为，当时，由，即有，也就是说“复活集”存在的必要条件是，事实上，矛盾，当时不存在“复活集”，故④正确.故选：C二、多选题9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（

）A．1 B． C．3 D．答案：AB【解析】二次函数的对称轴为，①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，且时，即满足题意；②若时，如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，则时，，解得，此时，，综上，，故选：AB．10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（

）A．当，时，B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子C．中有3个元素D．中所有元素之和为3答案：BCD【解析】，，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，，A不正确；B正确；而，C，D都正确.故选：BCD11．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B． C． D．0答案：BCD【解析】集合，，，又，所以，当时，，符合题意，当时，则，所以或，解得或，综上所述，或或,故选：12．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则D．若，则2一定是集合的元素答案：AC【解析】选项A：，，则.判断正确；选项B：令，，则，但.判断错误；选项C：表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；选项D：令，，则，，此时.判断错误；故选：AC三、填空题13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;答案：【解析】集合，因为集合，且，所以或或，当时，，当时，，当时，，故的所有取值构成的集合为.故答案为：.14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.答案：【解析】因为为假命题，所以为真命题，即，又因为集合，集合，所以当时，，即，此时满足；当时，或，解得，综上所述，的取值范围为.故答案为：.15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为_________.答案：【解析】由题意可知，“，”的否定是真命题，即“，”是真命题，当时，，不等式显然成立，当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，综上，实数的取值范围为.故答案为：.16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）答案：（或）【解析】不妨设，根据题意有，ab，所以，，中必有两个是相等的．若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或．故答案为：（或）四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．设集合，，______，求实数的取值范围．【解析】且，，若选①，由，得，当集合时，关于x的方程没有实数根，∴，解得；当集合时，若集合B中只存一个元素，则，解得，此时，符合题意；若集合B中有两个元素，则，∴，此方程组无解，综上可知，实数的取值范围为；若选②，由，得，同理可得实数的取值范围为；若选③，由，得，同理可得实数的取值范围为18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意得，.当时，，∴；（2）选择①.∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去.综上，实数a的取值范围为.选择②.当时，，满足；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，.综上，实数a的取值范围为.选择③.当时，，，∴，满足题意；当时，，，要使，则，解得；当时，，，此