新高考高中数学核心知识点全透视专题8.1平面向量初步(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题8.1平面向量初步（精讲精析篇）一、核心素养1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．4.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．5．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．6．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．二、考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

三、主干知识梳理（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．（三）共线向量定理1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.2.平面向量共线定理的三个应用（四）平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（五）平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.一、命题规律（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．（3）理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；（4）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、真题展示1．（2023·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．考点01平面向量的有关概念【典例1】（2023·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（）A．若，则或B．若为相反向量，则C．零向量是没有方向的向量D．若是两个单位向量，则【典例2】（2023·全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0 B．1 C．2 D．3【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．考点02平面向量的线性运算【典例3】（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．【典例4】（2023·四川绵阳·高三月考（理））设，为所在平面内两点，，，则（）A． B．C． D．【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．考点03共线向量定理及其应用【典例5】（2023·广西河池·期末）已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（）A．边所在直线上 B．边所在直线上C．边所在直线上 D．的内部【典例6】（2023·全国·模拟预测）在中，，为边上一点，与交于点，若，则（）A． B． C． D．2【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．考点04平面向量基本定理及其应用【典例7】（2023·广东肇庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（）A． B． C． D．【典例8】（2023·河南开封·高一期末）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．（1）用，表示，；（2）若，求．【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点05平面向量的坐标运算

【典例9】（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点06平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（）A. B. C.或 D.0【典例11】（2023·重庆国维外国语学校高二月考）已知，向量，则与共线，则等于（）A．12 B． C． D．【典例12】（2023·全国·高一课时练习）已知＝（3，﹣1），＝（﹣1，2），＝（﹣1，0），求λ与μ，使＝λ+μ．【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.巩固提升1.（2023·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（）A． B．2C．5 D．502．（2023·全国·高一课时练习）下图中与向量相等的向量是（）A．，，， B．， C． D．3．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（）A．不共线 B．方向相反C．方向相同 D．4．（2023·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））已知点，，且，则点P的坐标为（）A． B．C． D．5．（2023·北京海淀·高三期中）已知向量，若，则=（）A．1 B． C．2 D．6．（2023·湖南·高三月考）若向量，，，，且，则（）A． B． C． D．7．（2023·河北·石家庄市第二十七中学高二月考）若空间向量,不共线，且，则（）A．1 B．2C．4 D．68．（2023·吉林·延边二中高一期中）已知向量，则与方向相同的单位向量是（）A． B．C． D．9．（2023·山东枣庄·高一期中）已知非零向量，，下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，为单位向量，则C．若且与同向，则 D．10.（2023·黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试）平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．(1)求满足的实数m，n；(2)若，求实数k；专题8.1平面向量初步（精讲精析篇）一、核心素养1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．4.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．5．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．6．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．二、考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

三、主干知识梳理（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．（三）共线向量定理1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.2.平面向量共线定理的三个应用（四）平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（五）平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.一、命题规律（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的线性运算；（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．（3）理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；（4）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、真题展示1．（2023·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．答案：B分析：由向量的线性运算，可得解【详解】由题意，．故选：B2．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．答案：分析：利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.考点01平面向量的有关概念【典例1】（2023·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（）A．若，则或B．若为相反向量，则C．零向量是没有方向的向量D．若是两个单位向量，则答案：B分析：根据零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念逐一分析即可得出答案.【详解】解：若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；若为相反向量，则它们的和为零向量，B对；零向量的方向是任意的，C错；两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错.故选：B.【典例2】（2023·全国课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形中，，且，但，故③错；，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选：B．【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．考点02平面向量的线性运算【典例3】（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（）A． B． C． D．答案：A分析：利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，故选：A【典例4】（2023·四川绵阳·高三月考（理））设，为所在平面内两点，，，则（）A． B．C． D．答案：B分析：根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为，，所以，，所以，故选：B.【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．考点03共线向量定理及其应用【典例5】（2023·广西河池·期末）已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（）A．边所在直线上 B．边所在直线上C．边所在直线上 D．的内部答案：B【解析】因为，所以，所以，所以点P在边所在直线上．故选：B【典例6】（2023·全国·模拟预测）在中，，为边上一点，与交于点，若，则（）A． B． C． D．2答案：A分析：结合图形，根据平面向量的共线定理和向量的线性运算，得出，从而有，最后利用共线向量基本定理的推论得出，即可求出y的值.【详解】解：∵，则，∴，.∵，，三点共线，所以，解得：，故选：A.【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．考点04平面向量基本定理及其应用【典例7】（2023·广东肇庆·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（）A． B． C． D．答案：B分析：根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.【详解】连接，，三点共线，可设，则，；三点共线，可设，则，；，解得：，，即.故选：B.【典例8】（2023·河南开封·高一期末）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．（1）用，表示，；（2）若，求．答案：（1），．（2）【解析】（1）∵，∴，．（2）∵，又由在上，与共线，∴存在实数，使．即，则．解方程组，得．【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点05平面向量的坐标运算

【典例9】（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________答案：分析：利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】，所以.故答案为：【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点06平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（）A. B. C.或 D.0答案：C【解析】.【典例11】（2023·重庆国维外国语学校高二月考）已知，向量，则与共线，则等于（）A．12 B． C． D．答案：C分析：结合向量共线的坐标运算直接求解即可【详解】因为，，则，由与共线可得，解得，故选：C【典例12】（2023·全国·高一课时练习）已知＝（3，﹣1），＝（﹣1，2），＝（﹣1，0），求λ与μ，使＝λ+μ．答案：.分析：由＝λ+μ，得得到（﹣1，0）＝（3λ﹣μ，﹣λ+2μ），列出方程组，能求出λ与μ．【详解】解：因为＝（3，﹣1），＝（﹣1，2），＝（﹣1，0），＝λ+μ，则（﹣1，0）＝（3λ﹣μ，﹣λ+2μ），所以，解得.【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.巩固提升1.（2023·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（）A． B．2C．5 D．50答案：A【解析】由已知，，所以，故选A2．（2023·全国·高一课时练习）下图中与向量相等的向量是（）A．，，， B．， C． D．答案：D分析：由相等向量的定义求解即可【详解】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知满足条件，故选：D3．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（）A．不共线 B．方向相反C．方向相同 D．答案：B分析：根据