二次函数压轴题练习附详解(中考真题)

二次函数压轴题练习附详解(中考真题)1.(24年重庆中考）如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,与轴交于点,与轴交于两点(在的左侧),连接．(1)求抛物线的表达式(2)点是射线上方抛物线上的一动点,过点作轴,垂足为,交于点．点是线段上一动点,轴,垂足为,点为线段的中点,连接．当线段长度取得最大值时,求的最小值(3)将该抛物线沿射线方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段长度取得最大值时的点,且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点,当时,直接写出所有符合条件的点的坐标．

2.(24年上海中考）在平面直角坐标系中,已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．（1）求平移后新抛物线的表达式（2）直线（）与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q．①如果小于3,求m的取值范围②记点P在原抛物线上的对应点为,如果四边形有一组对边平行,求点P的坐标．

3.(24年枣庄中考）在平面直角坐标系中,点在二次函数的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线．（1）求的值（2）若点在的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像．当时,求新的二次函数的最大值与最小值的和（3）设的图像与轴交点为,．若,求的取值范围．

4.(24年安徽中考）已知物线(为常数)的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.(1)求的值;(2)点在抛物线上,点在抛物线上.(i)若,且,求的值;(ii)若,求的最大值.

5.(24年扬州中考）如图,已知二次函数的图像与轴交于,两点．（1）求的值（2）若点在该二次函数的图像上,且的面积为,求点的坐标．

6.(24年苏州中考）如图①,二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点,．（1）求图象对应的函数表达式（2）若图象过点,点P位于第一象限,且在图象上,直线l过点P且与x轴平行,与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧）,直线l与图象的交点为M,N（N在M左侧）．当时,求点P的坐标（3）如图②,D,E分别为二次函数图象,的顶点,连接AD,过点A作．交图象于点F,连接EF,当时,求图象对应的函数表达式．

7.(24年湖北中考）如图,二次函数交轴于和,交轴于.(1)求的值.(2)为函数图像上一点,满足,求点的横坐标.(3)将二次函数沿水平方向平移,新的图像记为,与轴交于点,记,记顶点横坐标为.①求与的函数解析式.②记与轴围成的图像为与重合部分(不计边界)记为,若随增加而增加,且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点,直接写出的取值范围。

8.(24年武汉中考）抛物线交轴于,两点（在的右边）,交轴于点．（1）直接写出点,,的坐标（2）如图（1）,连接,,过第三象限的抛物线上的点作直线,交y轴于点．若平分线段,求点的坐标（3）如图（2）,点与原点关于点对称,过原点的直线交抛物线于,两点（点在轴下方）,线段交抛物线于另一点,连接．若,求直线的解析式．

9.(24年深圳中考）为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系,该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示,设的读数为x,读数为y,抛物线的顶点为C．（1）（Ⅰ）列表:①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描点:请将表格中的描在图2中（Ⅲ）连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y与x的关系式（2）如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为,竖直跨度为,且,,为了求出该抛物线的开口大小,该数学兴趣小组有如下两种方案,请选择其中一种方案,并完善过程:

方案一:将二次函数平移,使得顶点C与原点O重合,此时抛物线解析式为．①此时点的坐标为________②将点坐标代入中,解得________;（用含m,n的式子表示）方案二:设C点坐标为①此时点B的坐标为________②将点B坐标代入中解得________;（用含m,n的式子表示）（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系中有A,B两点,,且轴,二次函数和都经过A,B两点,且和的顶点P,Q距线段的距离之和为10,若轴且,求a的值．

10.(24年河北中考）如图,抛物线过点,顶点为Q．抛物线（其中t为常数,且）,顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说:无论t为何值,将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．淇淇说:无论t为何值,总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当时①求直线PQ的解析式.②作直线,当l与的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标．（4）设与的交点A,B的横坐标分别为,且．点M在上,横坐标为．点N在上,横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n.

11.(24年广西中考）课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出,求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值．记录结果,并整理成下表:a…024…x…*20…y的最小值…*…注:*为②的计算结果．【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现．”甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值．”乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由．

12.(24年吉林中考）小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图（1）所示,输入x的值为时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6．（1）直接写出k,a,b的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像,如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时,求x的取值范围．Ⅱ．若关于x的方程（t为实数）,在时无解,求t的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P,Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m,Q的横坐标为．小明对P,Q之间（含P,Q两点）的图像进行研究,当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,直接写出m的取值范围．

13.(24年黑龙江龙东中考）如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中,．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得的面积最大．若存在,请直接写出点P坐标和的面积最大值;若不存在,请说明理由．

14.(24年青海中考）在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡,从点O处抛出一个小球,落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．（1）求抛物线的解析式;（2）求抛物线最高点的坐标;（3）斜坡上点B处有一棵树,点B是的三等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度．

15.(24年长沙中考）已知四个不同的点都在关于的函数是常数,且的图象上.(1)当两点的坐标分别为时,求代数式的值:(2)当两点的坐标满足时,请你判断此函数图象与轴的公共点的个数,并说明理由:(3)当时,该函数图象与轴交于两点,且四点的坐标满足:,.请问是否存在实数,使得这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为?若存在,求出的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:表示一条长度等于的倍的线段).

16.(24年包头中考）如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于,两点（点在点左侧）,顶点为,连接．（1）求该抛物线的函数表达式;（2）如图1,若是轴正半轴上一点,连接．当点的坐标为时,求证:;（3）如图2,连接,将沿轴折叠,折叠后点落在第四象限的点处,过点的直线与线段相交于点,与轴负半轴相交于点．当时,与是否相等？请说明理由．

17.(24年广州中考）已知抛物线过点和点,直线过点,交线段于点,记的周长为,的周长为,且．（1）求抛物线的对称轴（2）求的值（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线,当时,直线交抛物线于,两点．①求的值②设的面积为,若对于任意的,均有成立,求的最大值及此时抛物线的解析式．

18.(24年长春中考）在平面直角坐标系中,点是坐标原点,抛物线（是常数）经过点．点,是该抛物线上不重合的两点,横坐标分别为,,点的横坐标为,点的纵坐标与点的纵坐标相同,连结,．（1）求该抛物线对应的函数表达式;（2）求证:当取不为零的任意实数时,的值始终为2;（3）作的垂直平分线交直线于点,以为边,为对角线作菱形,连结．①当与此抛物线的对称轴重合时,求菱形的面积;②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时,直接写出的取值范围．

19.(24年山东泰安中考）如图,抛物线的图象经过点,与轴交于点,点.（1）求抛物线的表达式;（2）将抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到抛物线,求抛物线的表达式,并判断点是否在抛物线上;（3）在轴上方的抛物线上,是否存在点,使是等腰直角三角形.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(24年辽宁中考）已知是自变量的函数,当时,称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中,对于函数图象上任意一点,称点为点“关于的升幂点”,点在函数的“升幂函数”的图象上．例如:函数,当时,则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中,函数的图象上任意一点,点为点“关于的升幂点”,点在函数的“升幂函数”的图象上．图1图2（1）求函数的“升幂函数”的函数表达式（2）如图1,点在函数的图象上,点“关于的升幂点”在点上方,当时,求点的坐标（3）点在函数的图象上,点“关于的升幂点”为点,设点的横坐标为．①若点与点重合,求的值②若点在点的上方,过点作轴的平行线,与函数的“升幂函数”的图象相交于点,以,为邻边构造矩形,设矩形的周长为,求关于的函数表达式③在②的条件下,当直线与函数的图象的交点有3个时,从左到右依次记为,,,当直线与函数的图象的交点有2个时,从左到右依次记为,,若,请直接写出的值．

二次函数压轴题练习详解1.(24年重庆中考）【答案】(1)(2)的最小值为(3)符合条件的点的坐标为或．【小问1详解】解:令,则.∴.∴.∵.∴∴.∴.将和代入得.解得.∴抛物线的表达式为【小问2详解】解:令,则.解得或∴.设直线的解析式为,代入,得,解得.∴直线的解析式为设(),则.∴.∵∴当时,最大,此时.∴,,∴,连接,∴四边形是平行四边形..∴∴∴当共线时,取最小值,即取最小值∵点为线段的中点.∴∴.∴的最小值为【小问3详解】解:由(2)得点的横坐标为,代入,得.∴∴新抛物线由向左平移2个单位,向下平移2个单位得到∴过点作交抛物线于点.∴同理求得直线的解析式为∵.∴直线的解析式为联立得,解得,.当时,.∴作关于直线的对称线得交抛物线于点∴设交轴于点由旋转的性质得到过点作轴,作轴于点,作于点当时,,解得.∴.∵,.∴∴.∵轴.∴∴.∵,,∴∴,.∴同理直线的解析式为,联立.解得或.当时,.∴综上,符合条件的点的坐标为或．2.(24年上海中考）【答案】（1）或（2）①;②．【小问1详解】解:设平移抛物线后得到的新抛物线为把和代入可得,,解得:∴新抛物线为【小问2详解】解:①如图,设,则∴.∵小于3,∴,∴∵,∴.②∵∴平移方式为,向右平移2个单位,向下平移3个单位由题意可得:在的右边,当时,∴轴.∴.∴由平移的性质可得:,即如图,当时,则.过作于.∴∴∴设,则,,∴解得:（不符合题意舍去）综上:3.(24年枣庄中考）【答案】（1）（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为;（3）【小问1详解】解：∵点在二次函数的图像上.∴解得：,∴抛物线为：∴抛物线的对称轴为直线,∴.【小问2详解】解：∵点在的图像上.∴,解得：∴抛物线为将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数为∵,∴当时,函数有最小值为.当时,函数有最大值为∴新的二次函数的最大值与最小值的和为【小问3详解】∵的图像与轴交点为,．∴,∵,∴∵,∴即解得：.4.(24年安徽中考）【答案】(1)解:因为抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1.由条件得,解得.(2)在抛物线上,所以又点)在抛物线上,则).于是,整理得(i)因为,所以,整理得又,所以,故,从而.(ii)将代人,整理得配方得因为-3<0,所以当,即时,取最大值.5.(24年扬州中考）【答案】（1）（2）【小问1详解】解:二次函数的图像与轴交于,两点∴,解得,,∴【小问2详解】解:由（1）可知二次函数解析式为:,,∴.设.∴.∴.∴∴当时,,无解,不符合题意,舍去当时,,∴．6.(24年苏州中考）【答案】（1）（2）点P的坐标为（3）【小问1详解】解:（1）将,代入,得,解得:对应的函数表达式为:【小问2详解】解:设对应的函数表达式为,将点代入,得:解得:．对应的函数表达式为:,其对称轴为直线．又图象的对称轴也为直线作直线,交直线l于点H（如答图①）由二次函数的对称性得,,.∴．又,而.．设,则点P的横坐标为,点M的横坐标为．将代入,得将代入,得．,即,解得,（舍去）．点P的坐标为【小问3详解】解:连接DE,交x轴于点G,过点F作于点I,过点F作轴于点J．（如答图②）,轴,轴四边形IGJF为矩形.,．设对应的函数表达式为点D,E分别为二次函数图象,的顶点将分别代入,,得∴,,,,．在中,．.．又.．．设,则,．.．,．.．又,①点F在上,,即．②由①,②可得．解得（舍去）,.．的函数表达式为．7.(24年湖北中考）【答案】（1）;（2）或;（3）的取值范围为或．【小问1详解】解:∵二次函数交轴于.∴,解得【小问2详解】解:∵,∴令,则.解得或令,则,∴,,作轴于点.设当点在轴上方时,如图∵.∴.∴,即解得或（舍去）当点在轴下方时,如图∵,∴,∴,即解得或（舍去）.∴或【小问3详解】解:①∵将二次函数沿水平方向平移.∴纵坐标不变是4∴图象的解析式为∴.∴∴;②由①得则函数图象如图∵随增加而增加∴或,中含,,三个整数点（不含边界）当内恰有2个整数点,时当时,,当时,.∴∴,或∴.∵或.∴当内恰有2个整数点,时当时,,当时,.∴∴或,.∴.∵或.∴.当内恰有2个整数点,时此情况不存在,舍去综上,的取值范围为或．8.(24年武汉中考）【答案】（1）,,（2）（3）【小问1详解】解:由.当时,,则当,,解得:.∵在的右边.∴,【小问2详解】解:设直线的解析式为.将,,代入得解得:∴直线的解析式为∵.设直线的解析式为.∵在第三象限的抛物线上设,.∴.∴∴设的中点为,则由,,设直线的解析式为.将代入得.解得:∴直线的解析式为.∵平分线段.∴在直线上∴.解得:（舍去）当时,.∴【小问3详解】解:如图所示,过点作轴,过点分别作的垂线,垂足分别为∴.∴.∴∴,即∵点与原点关于点对称.∴设直线的解析式为,直线的解析式为联立直线与抛物线解析式可得,即联立直线与抛物线解析式可得,即设,,∴,,.∴∵.∴将代入得:.∴.∴∴直线解析式为．9.(24年深圳中考）【答案】（1）图见解析,;（2）方案一:①;②;方案二:①;②;（3）a的值为或．【小问1详解】解:描点,连线,函数图象如图所示观察图象知,函数为二次函数,设抛物线的解析式为由题意得,解得∴y与x的关系式为【小问2详解】解:方案一:①∵,.∴.此时点的坐标为故答案为:②由题意得,解得.故答案为:方案二:①∵C点坐标为,,,∴此时点B的坐标为,故答案为:②由题意得,解得,故答案为:【小问3详解】解:根据题意和的对称轴为则,,的顶点坐标为∴顶点距线段的距离为∴的顶点距线段的距离为∴的顶点坐标为或当的顶点坐标为时,将代入得,解得当的顶点坐标为时,将代入得,解得综上,a的值为或．10.(24年河北中考）【答案】（1）,（2）两人说法都正确,理由见解析（3）①;②或（4）【小问1详解】解:∵抛物线过点,顶点为Q．∴.解得:∴抛物线为:.∴.【小问2详解】解:把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为:当时,∴.∴在上∴嘉嘉说法正确.∵当时,.∴过定点.∴淇淇说法正确.【小问3详解】解:①当时..∴顶点,而设为.∴.解得:∴为.②如图,当（等于6两直线重合不符合题意）∴∴交点,交点.由直线,设直线为∴,解得:.∴直线为:当时,.此时直线与轴交点的横坐标为同理当直线过点.直线为:当时,.此时直线与轴交点的横坐标为.【小问4详解】解:如图,∵,∴是由通过旋转,再平移得到的,两个函数图象的形状相同如图,连接交于,连接,,,.∴四边形是平行四边形当点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d此时与重合,与重合∵,.∴的横坐标为∵,,∴的横坐标为∴.解得:.11.(24年广西中考）【答案】（1）①;②当时,有最小值为（2）见解析（3）正确,解:（1）①把代入,得:∴②∵.∴当时,有最小值为（2）∵∵抛物线的开口向上.∴当时,有最小值.∴甲的说法合理（3）正确.∵.∴当时,有最小值为即:.∴当时,有最大值,为．12.(24年吉林中考）【答案】（1）（2）Ⅰ:或;Ⅱ:或;Ⅲ:或【小问1详解】解:∵.∴将,代入,得:,解得:∵.∴将,代入得:.解得:.【小问2详解】解:Ⅰ,∵∴一次函数解析式为:,二次函数解析式为:当时,,对称为直线,开口向上∴时,y随着x的增大而增大.当时,,∴时,y随着x的增大而增大综上,x的取值范围:或.Ⅱ,∵∴,在时无解∴问题转化为抛物线与直线在时无交点∵对于,当时,∴顶点为,如图:∴当时,抛物线与直线在时正好一个交点∴当时,抛物线与直线在时没有交点.当,∴当时,抛物线与直线在时正好一个交点∴当时,抛物线与直线在时没有交点∴当或时,抛物线与直线在时没有交点即:当或时,关于x的方程（t为实数）,在时无解.Ⅲ:∵∴.∴点P,Q关于直线对称当,,当时,∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当时,,时,∴①当,如图:由题意得:.∴.②当,如图:由题意得:∴综上:或．13.(24年黑龙江龙东中考）【答案】（1）（2）存在,点P的坐标是,的面积最大值是【小问1详解】解:将,代入得,解得:.【小问2详解】解:对于,令则解得,∴.∴∵∴过点P作轴于点E,如图设,且点P在第二象限.∴∴∵.∴有最大值∴当时,有最大值,最大值为,此时点P的坐标为14.(24年青海中考）【答案】（1）（2）（3）这棵树的高为2【小问1详解】解:∵点是抛物线上的一点把点代入中,得:.解得∴抛物线的解析式为;【小问2详解】解:由（1）得:.∴抛物线最高点对坐标为;【小问3详解】解:过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别是点E,D∵,.∴.∴又∵点B是的三等分点.∴.∵.∴,∴.解得.∴.解得.∴点C的横坐标为1将代入中,.∴点C的坐标为.∴∴答:这棵树的高为2．15.(24年长沙中考）【答案】解:(1)将代入得得,即.所以.(2)此函数图象与轴的公共点个数为两个.方法1:由,得.可得或.当时,,此抛物线开口向上,而两点之中至少有一个点在轴的下方,此时该函数图象与轴有两个公共点;当时,,此抛物线开口向下,而两点之中至少有一个点在轴的上方,此时该函数图象与轴也有两个公共点.综上所述,此函数图象与轴必有两个公共点.方法2:由,得.可得或所以抛物线上存在纵坐标为的点,即一元二次方程有.所以该方程根的判别式,即.因为,所以.所以原函数图象与轴必有两个公共点.方法3:由,可得或.当时,有,即所以.此时该函数图象与轴有两个公共点.当时,同理可得,此时该函数图象与轴也有两个公共点.综上所述,此函数图象与轴必有两个公共点.(3)因为,所以该函数图象开口向上.所以直线均与轴平行.由图象可知,即.所以的两根为,可得.同理的两根为,可得.同理的两根为,可得.由于,结合图象与计算可得.若存在实数,使得这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为,则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形,所以线段不可能是该直角三角形的斜边.当以线段为斜边,且两锐角分别为时,因为所以必须同时满足:将上述各式代入化简可得,且联立解之得,解得,符合要求.所以,此时该函数的最小值为.,解得.因为以线段为斜边,且有一个内角为,而所以,即化简得符合要求.所以,此时该函数的最小值为.综上所述,存在两个的值符合题意.当时,此时该函数的最小值为;当时,此时该函数的最小值为.16.(24年包头中考）【答案】（1）①见解析;②（2）,理由见解析【小问1详解】解:①.为的中点..是边的中点..在中,.∴.又∵..是的中点;②.四边形为平行四边形...∵....;【小问2详解】解:线段与线段之间的数量关系为:,理由如下:连接交于点,如下图:由题意,的延长线与的延长线相交于点,连接的延长线与相交于点.又....四边形为平行四边形...为的中点..为的中点.为的中位线...．17.(24年广州中考）【答案】（1）对称轴为直线::（2）（3）①,②的最大值为,抛物线为【小问1详解】解:∵抛物线∴抛物线对称轴为直线:【小问2详解】解:∵直线过点.∴如图∵直线过点,交线段于点,记的周长为,的周长为,且.∴在的左边,∵在抛物线的对称轴上.∴.∴设∴.解得:.∴.∴.∴.解得:【小问3详解】解:①如图,当时,与抛物线交于∵直线∴∴.解得:②∵当时,.∴∴,∴