青岛版初中八年级数学上册5-3什么是几何证明课件

第5章几何证明初步5.3什么是几何证明知识点1基本事实与定理基础过关全练1.(新独家原创)下列说法正确的是

()A.基本事实不需要证明B.命题都是定理C.定理不一定都要证明D.证明只能根据定义、基本事实进行A解析基本事实是通过长期实践总结出来,被大家公认的正

确的命题,所以基本事实不需要证明,选项A正确;定理一定是

命题,但命题不一定是定理,选项B错误;定理的正确性需要经

过推理论证,选项C错误;证明可以依据定义、基本事实、已

经证明的定理和已知条件进行,选项D错误.2.下列平行线的判定方法中属于基本事实的是

()A.平行于同一条直线的两条直线平行B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直C.内错角相等,两直线平行D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线B解析

A是由基本事实推出的定理;C是判定定理;D是平行

线的定义;B是基本事实.故选B.知识点2证明3.根据下图填空.已知:如图,∠BDC=∠DCE,∠ADB=∠E.求证:∠A=∠CBE.证明:因为∠BDC=∠DCE(已知),所以

∥

(

),内错角相等,两直线平行DBEC所以∠E=∠

(

),又因为∠E=∠ADB(已知),所以∠ADB=∠

(

),所以AD∥BE(

),所以∠A=∠CBE(

).两直线平行,内错角相等DBEDBE等量代换内错角相等,两直线平行两直线平行,同位角相等4.(2023北京房山期末)如表所示的是证明等腰三角形判定定

理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.方法一:证明:作∠BAC的平分线交

BC于点D.方法二:证明:作AD⊥BC于点D.

备用图证明方法一:如图1,作∠BAC的平分线交BC于点D,所以∠

BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,

所以△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.方法二:如图2,作AD⊥BC于点D,所以∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,

所以△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.图1图25.(2023山东聊城莘县期中)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是

BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠

BAC=45°,原题设其他条件不变,求证:AE=BC.

图1图2证明(1)因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,

所以BE=CE.(2)因为BF⊥AC,∠BAC=45°,所以△ABF是等腰直角三角形,所以AF=BF.因为AB=AC,点D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以∠EAF+∠C=90°.因为BF⊥AC,所以∠CBF+∠C=90°,所以∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中,

所以△AEF≌△BCF(ASA),所以AE=BC.能力提升全练6.(2021河北中考,13,★★☆)定理:三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.证法1:∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三

角形内角和定理),又∵∠ACD+∠ACB=180°

(平角定义),∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B

+∠ACB(等量代换),∴∠ACD=∠A+∠B(等式的性质).证法2:∵∠A=76°,∠B=59°,且∠

ACD=135°(量角器测量所

得),又135°=76°+59°(计算所得),∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).下列说法正确的是

()A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理B解析∵证法1按照定理证明的一般步骤,从已知出发,经过

严谨的推理论证,得出结论正确,具有一般性,∴无需再证明

其他形状的三角形,∴选项A不正确,选项B正确;∵定理的证

明必须经过严谨的推理论证,不能用特殊情形来说明,且与测

量次数的多少无关,∴选项C,D不正确.7.(2024山东菏泽成武期中,18,★★☆)求证:等腰三角形两底

角的平分线相等.解析已知:如图,△ABC中,AB=AC,BF,CE分别是∠ABC,∠

ACB的平分线.

求证:BF=CE.证明:因为AB=AC(已知),所以∠ABC=∠ACB(等边对等角).因为BF,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线(已知),所以∠CBF=

∠ABC,∠BCE=

∠ACB(角平分线的定义),所以∠CBF=∠BCE(等量代换).在△BCE与△CBF中,

所以△BCE≌△CBF(ASA),所以BF=CE(全等三角形的对应边相等),即等腰三角形两底

角的平分线相等.8.(2023山东潍坊寒亭期中,19,★★☆)如图,△ACB和△ECD

都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.

求证:AE=BD.证明因为△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠

ECD=90°,所以EC=CD,AC=CB,∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,所以∠

ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,

所以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD.9.(2021浙江杭州中考节选,21,★★☆)如图,在△ABC中,∠

ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC=

60°,∠C=45°,求证:AB=BD.证明∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°(已知),∴∠DBC=

∠ABC=30°(角平分线的定义).∵∠C=45°(已知),∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°(三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和),∠BAC=180°-∠ABC-∠C=75°(三角形

的内角和等于180°),∴∠BAC=∠ADB(等量代换),∴AB=BD(等角对等边).素养探究全练10.(推理能力)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=

AF吗?请利用图2说明理由.图1图2解析(1)证明:连接AD,如图所示.

∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠EBD=45°.∵点D为BC的中点,∴BD=CD,AD⊥BC,∠FAD=45°,∴△ADC为等腰直角三角形,∴AD=CD=BD.∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°,∵∠BDE+∠EDA=90°,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,

∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.(2)BE=AF.理由如下:根