2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第四章　§4.9　解三角形中的最值与范围问题含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第四章§4.9解三角形中的最值与范围问题§4.9解三角形中的最值与范围问题重点解读解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系．题型一利用基本不等式求最值(范围)例1(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；(2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．解(1)因为eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B)，所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(2sinBcosB,1＋2cos2B－1)，所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sinB,cosB)，所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos(A＋B)＝sinB，所以sinB＝－cosC＝－coseq\f(2π,3)＝eq\f(1,2).因为B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以B＝eq\f(π,6).(2)由(1)得cos(A＋B)＝sinB，所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A＋B))＝sinB，且0<A＋B<eq\f(π,2)，所以0<B<eq\f(π,2)，0<eq\f(π,2)－(A＋B)<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)－(A＋B)＝B，解得A＝eq\f(π,2)－2B，由正弦定理得eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(sin2A＋sin2B,sin2C)＝eq\f(sin2A＋sin2B,1－cos2C)＝eq\f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2B))＋sin2B,1－sin2B)＝eq\f(cos22B＋sin2B,cos2B)＝eq\f(2cos2B－12＋1－cos2B,cos2B)＝eq\f(4cos4B－5cos2B＋2,cos2B)＝4cos2B＋eq\f(2,cos2B)－5≥2eq\r(4cos2B·\f(2,cos2B))－5＝4eq\r(2)－5，当且仅当cos2B＝eq\f(\r(2),2)时取等号，所以eq\f(a2＋b2,c2)的最小值为4eq\r(2)－5.思维升华求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系．(1)求面积最值时，S＝eq\f(1,2)bcsinA，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值．(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2，即可求得b＋c的最值．跟踪训练1在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－eq\f(1,2).因为0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).(2)由正弦定理及(1)得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝2eq\r(3)，从而AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sin(π－A－B)＝3cosB－eq\r(3)sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3))).又0<B<eq\f(π,3)，所以当B＝eq\f(π,6)时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2eq\r(3).题型二转化为三角函数求最值(范围)例2(2023·佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)．(1)若C＝eq\f(π,3)，求A；(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．解(1)因为cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)，所以cosA－eq\r(3)sinA＝eq\r(3)cosB－sinB，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，eq\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以A＋eq\f(π,3)＝B＋eq\f(π,6)，即B＝A＋eq\f(π,6)，又A＋B＋C＝π，C＝eq\f(π,3)，所以A＋A＋eq\f(π,6)＋eq\f(π,3)＝π，即A＝eq\f(π,4).(2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，又∠ABC＝A＋eq\f(π,6)，可得∠DBC＝eq\f(π,6)，在△DBC中，eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sinC)，所以CD＝eq\f(BDsin∠DBC,sinC)＝eq\f(1,sinC)，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))，因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<B＝A＋\f(π,6)<\f(π,2)，,0<C＝π－A－A－\f(π,6)<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,2)<2A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))<1，所以eq\f(1,sinC)∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)．思维升华三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围．跟踪训练2(2023·嘉兴统考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosB)，a＝3.(1)若BC边上的高等于1，求cosA；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．解(1)由正弦定理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝cosB，则tanB＝1，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,4)，因为S△ABC＝eq\f(1,2)ah＝eq\f(1,2)acsinB，所以eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(1,2)×3×c×eq\f(\r(2),2)，解得c＝eq\r(2)，又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋(eq\r(2))2－2×3×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝5，解得b＝eq\r(5)，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(5)2＋\r(2)2－32,2×\r(5)×\r(2))＝－eq\f(\r(10),10).(2)由正弦定理有eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(3,sinA)，且由(1)可知B＝eq\f(π,4)，所以c＝eq\f(3sinC,sinA)＝eq\f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))),sinA)＝eq\f(3\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanA)))，又因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<\f(3π,4)－A<\f(π,2)，,0<A<\f(π,2)，))解得eq\f(π,4)<A<eq\f(π,2)，所以0<eq\f(1,tanA)<1，所以eq\f(3\r(2),2)<c<3eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×3×c×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),4)c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(9,2)))，所以△ABC面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(9,2))).题型三转化为其他函数求最值(范围)例3已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(sinA－B,cosB)＝eq\f(sinA－C,cosC).(1)若A＝eq\f(π,3)，求B；(2)若asinC＝1，求eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值．解(1)由题意知eq\f(sinA－B,cosB)＝eq\f(sinA－C,cosC)，所以sin(A－B)cosC＝sin(A－C)cosB，所以sinAcosBcosC－cosAsinBcosC＝sinAcosCcosB－cosAsinCcosB，所以cosAsinBcosC＝cosAsinCcosB，因为A＝eq\f(π,3)，所以sinBcosC＝sinCcosB，所以tanB＝tanC，因为B，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B＝C，由A＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)知B＝C，所以sinB＝sinC，b＝c，因为asinC＝1，所以eq\f(1,a)＝sinC，由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝1，所以eq\f(1,b)＝sinA，因为A＝π－B－C＝π－2C，所以eq\f(1,b)＝sinA＝sin2C，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝sin2C＋sin22C＝eq\f(1－cos2C,2)＋(1－cos22C)＝－cos22C－eq\f(1,2)cos2C＋eq\f(3,2)，因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，则有eq\f(π,4)<C<eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)<2C<π，所以－1<cos2C<0，由二次函数的性质可得，当cos2C＝－eq\f(1,4)时，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)取得最大值eq\f(25,16)，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最大值为eq\f(25,16).思维升华解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解．跟踪训练3(2023·浙江联考)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足eq\f(sinA,sinB＋sinC)＝eq\f(c－b,b).(1)若C＝eq\f(π,2)，求B；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范围．解(1)由eq\f(sinA,sinB＋sinC)＝eq\f(c－b,b)，及正弦定理可得，eq\f(a,b＋c)＝eq\f(c－b,b)，即c2＝b2＋ab，∵C＝eq\f(π,2)，∴c2＝a2＋b2，∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B，又C＝eq\f(π,2)，∴B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，c2＝b2＋ab，∴a＝eq\f(c2－b2,b)，c>b，由三角形三边关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,b＋c>a，))代入化简可得b<c<2b，∴eq\f(a＋c,b)＝eq\f(c2－b2＋bc,b2)＝eq\f(c2,b2)＋eq\f(c,b)－1，令x＝eq\f(c,b)，则x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4)∈(1,5)，∴eq\f(c2,b2)＋eq\f(c,b)－1∈(1,5)，∴eq\f(a＋c,b)的取值范围是(1,5)．课时精练一、单项选择题1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝eq\f(π,3)，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是()A．(2eq\r(3)，＋∞) B．(2eq\r(3)，4)C．(0,4) D．(4,3eq\r(3))答案B解析由题意，△ABC有两解需满足asinB<b<a，即2eq\r(3)<b<4.2．(2023·昆明模拟)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(2π,3)，D为边AC上一点，∠DBC＝eq\f(π,6)且BD＝2，则△ABC面积的最小值为()A.eq\r(3)B.eq\f(4\r(3),3)C．2eq\r(3)D.eq\f(8\r(3),3)答案D解析根据等面积法，S＝eq\f(1,2)acsineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×2c＋eq\f(1,2)×2asineq\f(π,6)，即eq\f(\r(3),4)ac＝c＋eq\f(1,2)a，即eq\r(3)ac＝4c＋2a≥2eq\r(8ac)，即ac≥eq\f(32,3)，当且仅当4c＝2a，即a＝eq\f(8\r(3),3)，c＝eq\f(4\r(3),3)时等号成立．故S＝eq\f(1,2)acsineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)ac≥eq\f(\r(3),4)×eq\f(32,3)＝eq\f(8\r(3),3).3．(2023·襄阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则eq\f(a,b)的最小值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(13)－3,2)C．1D.eq\r(13)－3答案B解析∵c2＝6S，∴c2＝6×eq\f(1,2)absinC＝3absinC，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－2abcosC＝3absinC，即a2＋b2＝2abcosC＋3absinC，两边同除以ab得eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＝2cosC＋3sinC＝eq\r(13)sin(C＋φ)≤eq\r(13)，其中tanφ＝eq\f(2,3)，设eq\f(a,b)＝x，x>0，即0<x＋eq\f(1,x)≤eq\r(13)，∴eq\f(\r(13)－3,2)≤x≤eq\f(\r(13)＋3,2)，∴eq\f(a,b)的最小值为eq\f(\r(13)－3,2).4．(2023·开封模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,8sinAsinB＋cosC＝0，则eq\f(absinC,a2＋b2－c2)的最大值是()A.eq\f(3,8)B．－eq\f(3,8)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)答案B解析在△ABC中，cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB，因为8sinAsinB＋cosC＝0，所以8sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，则9sinAsinB＝cosAcosB，所以tanAtanB＝eq\f(sinAsinB,cosAcosB)＝eq\f(1,9)，且A，B均为锐角，故tanA，tanB>0，由余弦定理的推论，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，所以eq\f(absinC,a2＋b2－c2)＝eq\f(sinC,2cosC)＝eq\f(1,2)tanC＝eq\f(1,2)tan[π－(A＋B)]＝－eq\f(1,2)tan(A＋B)＝－eq\f(1,2)·eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(9,16)(tanA＋tanB)，又tanA＋tanB≥2eq\r(tanAtanB)＝eq\f(2,3)，当且仅当tanA＝tanB＝eq\f(1,3)时等号成立，所以eq\f(absinC,a2＋b2－c2)的最大值是－eq\f(9,16)×eq\f(2,3)＝－eq\f(3,8).二、多项选择题5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinA－sinB)＝csinC－bsinB，则下列说法正确的是()A．C＝eq\f(π,6)B．若△ABC的面积为eq\r(3)，则c的最小值为2C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6D．若b＝3，c＝2eq\r(2)，则满足条件的△ABC有且仅有一个答案BC解析∵a(sinA－sinB)＝csinC－bsinB，∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2，即a2＋b2－c2＝ab，对于A选项，由余弦定理的推论，可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，故A错误；对于B选项，由题可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\r(3)，∴ab＝4，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4，∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；对于C选项，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4，∵ab≤eq\f(a＋b2,4)，∴eq\f(a＋b2,4)≤4，∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立，∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6，则△ABC的周长的最大值为6，故C正确；对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0，解得a＝eq\f(3±\r(5),2)，则满足条件的△ABC有2个，故D错误．6．(2023·苏州调研)已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若(eq\r(3)c－2asinB)sinC＝eq\r(3)(bsinB－asinA)，则下列选项正确的是()A．B＝eq\f(π,3)B．cosAcosC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\f(c,a)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D．若BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为3eq\r(3)答案AC解析对于A，由正弦定理得(eq\r(3)c－2asinB)c＝eq\r(3)(b2－a2)，∴eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝2acsinB，∴eq\r(3)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\r(3)cosB＝sinB，∴tanB＝eq\r(3)，又B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq\f(π,3)，A正确；对于B，cosAcosC＝cosAcos[π－(A＋B)]＝－cosAcos(A＋B)＝－cosAcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝－cosAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosA－\f(\r(3),2)sinA))＝eq\f(\r(3),2)sinAcosA－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),4)sin2A－eq\f(1,4)cos2A－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－eq\f(1,4)，∵△ABC为锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<C＝\f(2π,3)－A<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<2A－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))≤1，∴0<eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))－eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，即cosAcosC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，B错误；对于C，由正弦定理得eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin[π－A＋B],sinA)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))),sinA)＝eq\f(\f(1,2)sinA＋\f(\r(3),2)cosA,sinA)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosA,sinA)，由B知eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2tanA)，又tanA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，∴eq\f(1,tanA)∈(0，eq\r(3))，∴eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2tanA)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，即eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，C正确；对于D，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC，∴eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)csineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)asineq\f(π,6)，即eq\f(\r(3),2)ac＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)a，∴a＋c＝eq\r(3)ac，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\r(3)，∴4a＋c＝eq\f(\r(3),3)(4a＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4a,c)＋\f(c,a)))≥eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4a,c)·\f(c,a))))＝3eq\r(3)(当且仅当eq\f(4a,c)＝eq\f(c,a)，即c＝2a时取等号)，当c＝2a时，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝5a2－2a2＝3a2，∴a2＋b2＝c2，即△ABC为直角三角形，不合题意，∴4a＋c>3eq\r(3)，D错误．三、填空题7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sinA的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))解析由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，即b＝a＋2acosC，由正弦定理得sinA＋2sinAcosC＝sinB，∵B＝π－(A＋C)，∴sinA＋2sinAcosC＝sinB＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinA＝sin(C－A)．∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0，又△ABC为锐角三角形，∴0<A<eq\f(π,2)，0<C－A<eq\f(π,2)，∴A＝C－A，解得C＝2A，又0<A<eq\f(π,2)，0<B＝π－3A<eq\f(π,2)，0<C＝2A<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，∴sinA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).8．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq\f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________.答案eq\r(3)－1解析设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·eq\f(1,2)＝4k2－4k＋4，则eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(4k2－4k＋4,k2＋2k＋4)＝eq\f(4k2＋2k＋4－12k－12,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k＋12＋3)＝4－eq\f(12,k＋1＋\f(3,k＋1)).∵k＋1＋eq\f(3,k＋1)≥2eq\r(3)(当且仅当k＋1＝eq\f(3,k＋1)，即k＝eq\r(3)－1时等号成立)，∴eq\f(AC2,AB2)≥4－eq\f(12,2\r(3))＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴当eq\f(AC,AB)取得最小值eq\r(3)－1时，BD＝k＝eq\r(3)－1.四、解答题9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝a＋c.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围．解(1)因为2bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝a＋c，由正弦定理可得2sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝sinA＋sinC，即2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinA＋\f(1,2)cosA))＝sinA＋sin(A＋B)，整理得eq\r(3)sinBsinA＝sinA＋cosBsinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以eq\r(3)sinB－cosB＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以B－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即B＝eq\f(π,3).(2)由(1)知B＝eq\f(π,3)，又b＝2，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(4,\r(3))，所以a＝eq\f(4,\r(3))sinA，c＝eq\f(4,\r(3))sinC，所以a＋c＝eq\f(4,\r(3))(sinA＋sinC)＝eq\f(4,\r(3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))))＝eq\f(4,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinA＋\f(\r(3),2)cosA))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，在锐角△ABC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<C＝\f(2π,3)－A<\f(π,2)，,0<A<\f(π,2)))⇒eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，则eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤1，则2eq\r(3)<a＋c≤4，故△ABC的周长的取值范围为(2eq\r(3)＋2,6]．10．(2023·鞍山模拟)请从①asinB－eq\r(3)bcosBcosC＝eq\r(3)ccos2B；②(sinA－sinC)2＝sin2B－sinAsinC；③eq\f(\r(3)bsinA,1＋cosB)＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________，(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围．解(1)若选①，因为asinB－eq\r(3)bcosBcosC＝eq\r(3)ccos2B，由正弦定理得sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosBcosC＋eq\r(3)sinCcos2B，即sinAsinB＝eq\r(3)cosB(sinBcosC＋sinCcosB)＝eq\r(3)cosBsin(B＋C)，所以sinAsinB＝eq\r(3)cosBsinA，由A∈(0，π)，得sinA≠0，所以sinB＝eq\r(3)cosB，即tanB＝eq\r(3)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).若选②，由(sinA－sinC)2＝sin2B－sinAsinC，化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，即eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，所以cosB＝eq\f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).若选③，因为eq\f(\r(3)bsinA,1＋cosB)＝a，由正弦定理得eq\f(\r(3)sinBsinA,1＋cosB)＝sinA，即eq\r(3)sinBsinA＝sinA(1＋cosB)，因为0<A<π，所以sinA≠0，所以eq\r(3)sinB＝1＋cosB，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又因为－eq\f(π,6)<B－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，所以B－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(csinA,sinC)，b＝eq\f(csinB,sinC)，由(1)知，B＝eq\f(π,3)，又с＝1，代入上式得a＝eq\f(sinA,sinC)，b＝eq\f(\r(3),2sinC)，所以a2＋b2＝c2＋2abcosC＝1＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,sinC)×\f(\r(3),2sinC)))cosC＝1＋eq\f(\r(3)sinA,sin2C)cosC＝1＋eq\f(\r(3)sinB＋C,sin2C)cosC＝1＋eq\f(\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C)),sin2C)cosC＝1＋eq\r(3)×eq\f(\f(\r(3),2)cosC＋\f(1,2)sinC,sin2C)cosC＝1＋eq\f(3,2tan2C)＋eq\f(\r(3),2tanC).因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<C<\f(π,2)，,0<\f(2π,3)－C<\f(π,2)，))解得C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，所以tanC>eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(1,tanC)∈(0，eq\r(3))，所以a2＋b2＝1＋eq\f(3,2tan2C)＋eq\f(\r(3),2tanC)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanC)＋\f(\r(3),6)))2＋eq\f(7,8)∈(1,7)．§4.10解三角形应用举例课标要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)西南方向与南偏西45°方向相同．(√)(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(√)(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)2．(必修第二册P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向答案D解析由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向．3．(必修第二册P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)mC．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，所以sin∠APB＝sin15°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得PB＝eq\f(ABsin30°,sin∠APB)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))m，所以该树的高度为30(eq\r(6)＋eq\r(2))sin45°＝(30eq\r(3)＋30)m.4．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5eq\r(3)海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．答案5eq\r(2)解析由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(5\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，得BC＝5eq\r(2).题型一测量距离问题例1(1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10eq\r(3)km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km答案D解析在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝10eq\r(3)，在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得BD＝eq\f(CDsin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(10\r(3)sin75°,sin60°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6)，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝(10eq\r(3))2＋(5eq\r(2)＋5eq\r(6))2－2×10eq\r(3)×(5eq\r(2)＋5eq\r(6))cos75°＝500，所以AB＝10eq\r(5)，即基站A，B之间的距离为10eq\r(5)km.(2)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(3)海里答案A解析依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40×eq\f(30,60)＝20(海里)，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(20,sin45°)，因此BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(海里)，所以B，C两点间的距离是10eq\r(2)海里．思维升华距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．跟踪训练1(1)(2023·绥化模拟)安邦河，在黑龙江省内有两条．一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江．安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为()A.eq\f(asinαsinβ,sinα＋β) B.eq\f(asinαcosβ,sinα＋β)C.eq\f(asinαcosα,sinα＋β) D.eq\f(asin2α,sinα＋β)答案A解析在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(asinβ,sinα＋β)，∴河流的宽度d＝BCsin∠ABC＝eq\f(asinαsinβ,sinα＋β).(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为________km(精确到0.1km，参考数据：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891)．答案5.8解析在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，即49＝25＋BD2－2×5×BD×eq\f(1,2)，整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去)．在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.由正弦定理eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)可得，BC＝eq\f(BDsin∠BDC,sin∠BCD)＝eq\f(8sin40°,sin117°)≈eq\f(8×0.643,0.891)≈5.8(km)．题型二测量高度问题例2(1)(2023·济宁统考)首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°(其中B，M，Q三点共线)，该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)()A．58米B．60米C．66米D．68米答案B解析由题意得∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°，在△PMQ中，PM＝eq\f(PQ,sin∠PMQ)＝50.8(米)，在△PAM中，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠APM)＝eq\f(PM,sin∠PAM)，所以AM＝25.4×eq\r(6)(米)，在△ABM中，AB＝AM·sin∠AMB＝25.4×eq\r(6)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)≈60(米)．(2)矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为eq\f(π,6)，eq\f(π,4)，eq\f(π,3)，且AB＝BC＝20m，则四门通天的高度为()A．15eq\r(6)m B．10eq\r(6)mC．6eq\r(6)m D．5eq\r(6)m答案B解析设OP＝h，则OA＝eq\r(3)h，OB＝h，OC＝eq\f(\r(3),3)h，在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝eq\f(400＋h2－3h2,2×20×h)＝eq\f(400－2h2,40h)，在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC＝eq\f(400＋h2－\f(1,3)h2,2×20×h)＝eq\f(400＋\f(2,3)h2,40h)，因为∠ABO＋∠OBC＝π，所以eq\f(400－2h2,40h)＋eq\f(400＋\f(2,3)h2,40h)＝0，即800－eq\f(4,3)h2＝0，解得h＝10eq\r(6)，所以四门通天的高度为10eq\r(6)m.思维升华高度问题的易错点(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．跟踪训练2(1)如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为37°，沿坡角为23°的斜坡向上走28m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为53°，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度约为(参考数据：sin37°≈0.6)()A．30mB．32mC．34mD．36m答案A解析∠BAQ＝23°，∠BPA＝∠QPA－∠BPC＝53°－37°＝16°，∠PAB＝∠PAQ－∠BAQ＝37°－23°＝14°，∠PBA＝180°－16°－14°＝150°.由正弦定理得eq\f(PA,sin∠PBA)＝eq\f(AB,sin∠APB)，即eq\f(AP,sin150°)＝eq\f(28,sin53°－37°)，可得AP＝eq\f(14,sin53°cos37°－cos53°sin37°)≈eq\f(14,0.82－0.62)＝50(m)．所以山的高度约为PQ＝AP·sin37°＝50×0.6＝30(m)．(2)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6(单位：10m)，游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位：10m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，则建筑BC的高度为________．(单位：10m)答案12eq\r(3)－12解析当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，如图所示，因为摩天轮的半径为6，所以AD＝12，又AB＝12，因此DB＝eq\r(AD2＋AB2)＝eq\r(144＋144)＝12eq\r(2)，因为∠DBA＝45°，所以∠DBC＝45°，因为∠CDB＝θ＝30°，所以∠DCB＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理可知eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(DB,sin∠DCB)⇒eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(12\r(2),sin105°)⇒BC＝eq\f(6\r(2),sin105°)，因为sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以BC＝eq\f(6\r(2),sin105°)＝eq\f(6\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝6eq\r(2)(eq\r(6)－eq\r(2))＝12eq\r(3)－12.题型三测量角度问题例3已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°取\f(5\r(3),14)，sin22°取\f(3\r(3),14)))解如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝9＋25－2×3×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故救援艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船．思维升华角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．跟踪训练3(1)(2023·南京模拟)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(6)－2C.eq\r(3)－1 D.eq\r(2)－1答案C解析在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理知eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，故BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BDC中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，故eq\f(50\r(6)－\r(2),sin∠BDC)＝eq\f(50,\f(\r(2),2))，∴sin∠BDC＝eq\r(3)－1，即sin(θ＋90°)＝eq\r(3)－1，即cosθ＝eq\r(3)－1.(2)甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝________.答案30°解析如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(AC,BC)＝eq\f(sin120°,sin∠BAC)＝eq\r(3)，所以sin∠BAC＝eq\f(1,2).又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°.课时精练一、单项选择题1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是()A．25eq\r(2)m B．50eq\r(2)mC．25eq\r(3)m D．50eq\r(3)m答案A解析在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50·sin30°,sin45°)＝eq\f(50×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝25eq\r(2)(m)．2．(2024·咸阳模拟)世界上最大的球形建筑物是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：EricssonGlobe)，在世界最大的瑞典太阳系模型中，由该体育场代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球．如图，某数学兴趣小组为了测得爱立信球形体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝120m，BC＝120m，CD＝80m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(结果精确到1m，参考数据：eq\r(7)≈2.646)()A．98m B．106mC．117m D．122m答案B解析如图，连接AC，AD，在△ABC中，AB＝120m，BC＝120m，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝120m，∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝60°，在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，即AD2＝1202＋802－2×120×80×eq\f(1,2)＝11200，所以AD＝eq\r(11200)＝40eq\r(7)≈106(m)．3.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30° B．45°C．60° D．75°答案B解析依题意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.4.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，则BC＝eq\f(21000×sin15°,sin30°)＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．5．(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1m，a2m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为am，人的“眼高”为hm，则建筑物的高度为()A.eq\f(ah,a2－a1)m B.eq\f(aa2－a1,h)mC.eq\f(a2－a1h,a)m D.eq\f(ah2,a2－a1)m答案A解析设建筑物的高度为x，如图所示，由△HGF∽△DEF，得eq\f(HG,DE)＝eq\f(GF,EF)⇒EF＝eq\f(DE·GF,HG)＝eq\f(xa1,h)，由△ABC∽△DEC，得eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EC)⇒eq\f(h,x)＝eq\f(a2,a＋\f(xa1,h))，所以ah＋xa1＝xa2，即x(a2－a1)＝ah，解得x＝eq\f(ah,a2－a1)(m)．6．(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为()A．50eq\r(5)米 B．150米C．100eq\r(15)米 D．150eq\r(3)米答案C解析由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BC＝eq\f(\r(3),2)CD＝300eq\r(3)(米)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(CD,sin60°)，所以AC＝eq\f(600,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝200eq\r(6)(米)，在△ABC中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200eq\r(6))2＋(300eq\r(3))2－2×200eq\r(6)×300eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝150000，所以AB＝100eq\r(15)(米)．二、多项选择题7．某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向，距离为12eq\r(6)nmile，测得灯塔C在北偏西30°方向，距离为8eq\r(3)nmile.货轮由A处向正北方向航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是()A．A处与