2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章　§8.6　双曲线含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章§8.6双曲线§8.6双曲线课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).4．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)2．(选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C的方程为eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或5答案C解析若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.3．(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________．答案y＝±eq\f(4,3)x解析依题意知，双曲线eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±eq\f(4,3)x.4．(选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义例1(1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是()A．一个点 B．直线C．椭圆 D．双曲线答案ACD解析分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案2eq\r(3)解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆．(2)当e>1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±eq\f(a2,c).典例(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线x＝eq\f(a2,2)的距离之比为eq\f(1,2)，则椭圆方程为___________________．答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析依题意，右焦点F2(2,0)，右准线x＝eq\f(a2,2)，由椭圆第二定义知eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则|MA|＋eq\f(3,5)|MF2|的最小值为________．答案eq\f(36,5)解析设M到直线x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(9,5)的距离为d，由双曲线第二定义知，eq\f(|MF2|,d)＝e＝eq\f(5,3)，∴d＝eq\f(3,5)|MF2|，∴|MA|＋eq\f(3,5)|MF2|＝|MA|＋d，如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－eq\f(9,5)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5).思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)已知F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为()A．16 B．18C．8＋4eq\r(2) D．9＋eq\f(15\r(2),2)答案A解析因为F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，P是C的右支上的一点，所以|PF1|＝|PF2|＋4，所以eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋42,|PF2|)＝eq\f(|PF2|2＋8|PF2|＋16,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(16,|PF2|)＋8≥2eq\r(16)＋8＝16，当且仅当|PF2|＝eq\f(16,|PF2|)，即|PF2|＝4时，等号成立．因为c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，所以c－a＝eq\r(6)－2<4，所以|PF2|＝4成立，eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为16.题型二双曲线的标准方程例2(1)与椭圆C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦点且过点(1，eq\r(3))的双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1答案C解析椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由双曲线的定义可得2a＝|eq\r(12＋\r(3)＋22)－eq\r(12＋\r(3)－22)|＝(eq\r(6)＋eq\r(2))－(eq\r(6)－eq\r(2))＝2eq\r(2)，∴a＝eq\r(2)，∵c＝2，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)，因此双曲线的方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1.(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2eq\r(3)，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为()A．x2－eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(2x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1 D．3x2－eq\f(3y2,8)＝1答案A解析由题可知双曲线的焦距为2c＝2eq\r(3)，即c＝eq\r(3).因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq\f(|F1F2|,tan60°)＝eq\f(2c,\r(3))，|PF1|＝2|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))，所以|PF1|－|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))－eq\f(2c,\r(3))＝eq\f(2c,\r(3))＝2a，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以a＝1，b＝eq\r(2).所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．跟踪训练2(1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))故该双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.(2)(2023·内江模拟)设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→)))，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则双曲线的方程为________．答案eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析依题意作图，如图所示，由条件eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→)))知，E是PF1的中点，并且OE⊥PF1，∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆，∴F1P⊥PF2，由|OE|＝eq\r(2)知a＝eq\r(2)，a2＝2，在Rt△OEF1中，|EF1|＝eq\r(|OF1|2－|OE|2)＝eq\r(c2－2)，|PF1|＝2|EF1|＝2eq\r(c2－2)，|PF2|＝2|OE|＝2eq\r(2)，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4eq\r(2)，即2eq\r(c2－2)＝4eq\r(2)，c2＝10，∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1，eq\r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(1,a2)－eq\f(3,b2)＝1且eq\f(b,a)＝2，联立解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(3,a2)－eq\f(1,b2)＝1，且eq\f(a,b)＝2，此时无解．综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，eq\r(3))，∴λ＝4×12－(eq\r(3))2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.(2)(2023·渭南统考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AF1F2的面积为eq\f(1,2)bc，则双曲线C的渐近线方程为________．答案y＝±eq\r(3)x解析由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，如图，由双曲线的对称性，不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则|F2A|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，所以|OA|＝eq\r(|OF2|2－|F2A|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，所以＝eq\f(1,2)ab，因为△AF1F2的面积为eq\f(1,2)bc，＝，所以eq\f(1,2)bc＝2×eq\f(1,2)ab，即c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，即eq\f(b2,a2)＝3，故eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4(1)(2023·郑州模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为eq\f(π,3)，则此双曲线的离心率e为()A．2或eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D.eq\r(3)或2答案A解析由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，而两条渐近线的夹角为eq\f(π,3)，故y＝eq\f(b,a)x的倾斜角为eq\f(π,3)或eq\f(π,6)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3)或2.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝2eq\r(2)|OD|，则C的离心率为()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(5)D．3答案C解析如图所示，双曲线C的左焦点F1(－c,0)，|DF1|＝b，由勾股定理得|OD|＝a，在Rt△DOF1中，∠ODF1＝eq\f(π,2)，∴cos∠DOF1＝eq\f(|OD|,|OF1|)＝eq\f(a,c)，在△DOF2中，|OD|＝a，|DF2|＝2eq\r(2)a，|OF2|＝c，cos∠DOF2＝cos(π－∠DOF1)＝－cos∠DOF1＝－eq\f(a,c)，由余弦定理的推论得cos∠DOF2＝eq\f(|OD|2＋|OF2|2－|DF2|2,2|OD|·|OF2|)＝eq\f(a2＋c2－8a2,2ac)＝－eq\f(a,c)，化简得c2＝5a2，即c＝eq\r(5)a，因此双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)答案D解析由题知e＝eq\r(5)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，解得eq\f(b,a)＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，即2x－y＝0，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).(2)(2024·海口模拟)设双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________.答案eq\f(3＋\r(5),2)解析因为直线l过点(0，b)和双曲线E的右焦点F(c,0)，设直线l的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0，由直线l与圆x2＋y2＝a2相切，可得eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝a，整理得b2c2＝a2(b2＋c2)，又b2＝c2－a2，所以(c2－a2)c2＝a2(2c2－a2)，即c4－3a2c2＋a4＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋1＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)或e2＝eq\f(3－\r(5),2)，又e>1，所以e2>1，所以e2＝eq\f(3＋\r(5),2).课时精练一、单项选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1答案D解析设双曲线方程为eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，则其渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x答案A解析由题意，该双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，则eq\f(b,a)＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±2x.3．若双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为()A．4B．3C．2D．1答案D解析由题意得a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(3＋1)＝2，所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径，因此PF1⊥PF2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，,||PF1|－|PF2||＝2a＝2\r(3)，))所以|PF1||PF2|＝2，＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝1.4．(2024·安阳模拟)以双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2\r(5),3)))，则C的焦距为()A．4B．2eq\r(5)C．6D．8答案C解析由题意设F(c,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2).又kFQ×eq\f(b,a)＝eq\f(\f(2\r(5),3),\f(4,3)－c)×eq\f(b,a)＝－1，联立解得c＝3，即2c＝6.5．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)答案A解析如图，设△ABC的边AC，AB，BC与内切圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)．6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接F2B，满足eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(2)＋1,2)B.eq\r(2)C．2D.eq\r(3)答案C解析设点B位于第一象限，如图所示，因为eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则A为线段F1B的中点，又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，因为eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则F1B⊥F2B，所以OA⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝eq\f(π,3)，易知直线OB的方程为y＝eq\f(b,a)x，则eq\f(b,a)＝tan

eq\f(π,3)＝eq\r(3)，因此该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2.二、多项选择题7．(2023·江门模拟)已知曲线C：x2sinα＋y2cosα＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是()A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0B．若曲线C表示双曲线，则eq\f(π,2)<α<πC．若0<α<eq\f(π,2)，则曲线C表示椭圆D．若0<α<eq\f(π,4)，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆答案BD解析若曲线C表示两条平行线，则有sinα＝0或cosα＝0，且0≤α<π.若sinα＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意，若cosα＝0，则α＝eq\f(π,2)，此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错；若曲线C表示双曲线，则sinαcosα<0，由于0≤α<π且sinα≠0，则sinα>0，可得cosα<0，则eq\f(π,2)<α<π，故B对；若曲线C表示椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,cosα>0，,0≤α<π，,sinα≠cosα，))解得0<α<eq\f(π,2)且α≠eq\f(π,4)，故C错；若0<α<eq\f(π,4)，则0<sinα<cosα，则eq\f(1,sinα)>eq\f(1,cosα)>0，曲线C的方程可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对．8．(2023·重庆模拟)已知双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则()A．b＝2＋2eq\r(2)B．双曲线的离心率为eq\r(2)＋1C．双曲线的焦距为2eq\r(5)D．△ABF1的面积为12＋8eq\r(2)答案BD解析如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.解得m＝2＋2eq\r(2)，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2eq\r(2)，所以△ABF1的面积为eq\f(1,2)|AF1|·|BF1|＝eq\f(1,2)×(4＋2eq\r(2))2＝12＋8eq\r(2)，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2eq\r(2)，故C不正确；由x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋eq\r(2)，所以b2＝(1＋eq\r(2))2－1＝2＋2eq\r(2)，故A不正确；e＝eq\f(c,a)＝1＋eq\r(2)，故B正确．三、填空题9．(2023·唐山模拟)已知直线l：eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．答案2解析直线eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为eq\r(3)，由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝22，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以双曲线的实轴长为2a＝2.10．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________．答案eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1解析依题意，2c＝10，∴c＝5，若双曲线的焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,a2＋b2＝25，))解得b2＝5，a2＝20，双曲线的标准方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.若双曲线的焦点在y轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(1,2)，,a2＋b2＝25，))解得b2＝20，a2＝5，双曲线的标准方程为eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1.综上，该双曲线的标准方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1.11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________．答案x2－eq\f(y2,\f(9,7))＝1解析设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，易知a＝1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))在双曲线上，得到eq\f(9,2)－eq\f(\f(9,2),b2)＝1，整理得b2＝eq\f(9,7)，故所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,\f(9,7))＝1.12．(2023·上饶模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|F2A|＝|F1F2|，则双曲线的离心率为________．答案eq\f(\r(2),2)＋1解析因为F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，所以直线F1B的方程为y＝eq\f(b,c)x＋b，又双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,y＝\f(b,a)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(ac,c－a)，,y＝\f(bc,c－a)，))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)，\f(bc,c－a)))，又因为|F2A|＝|F1F2|，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)－c))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,c－a)))2＝4c2，整理得2c2－4ac＋a2＝0，即2e2－4e＋1＝0，解得e＝eq\f(\r(2),2)＋1或e＝1－eq\f(\r(2),2)(舍去)．四、解答题13．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1有相同的渐近线，且经过点M(eq\r(2)，－eq\r(2))．(1)求双曲线C的方程；(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．解(1)在双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1中，a′＝2，b′＝eq\r(2)，则渐近线方程为y＝±eq\f(a′,b′)x＝±eq\r(2)x，∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1有相同的渐近线，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴方程可化为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2a2)＝1，又双曲线C经过点M(eq\r(2)，－eq\r(2))，代入方程得eq\f(2,a2)－eq\f(2,2a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq\r(2)，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1，∵a＝1，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，∴实轴长2a＝2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，设双曲线C的一个焦点为(－eq\r(3)，0)，一条渐近线方程为y＝eq\r(2)x，∴焦点到渐近线的距离d＝eq\f(|－\r(3)×\r(2)|,\r(2＋1))＝eq\r(2).14．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))的值．解(1)在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝eq\f(|MF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(\r(3),3)，又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，所以双曲线C的方程是x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，故有2xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝2，两条渐近线方程为l1：eq\r(2)x－y＝0，l2：eq\r(2)x＋y＝0，设l1：eq\r(2)x－y＝0的倾斜角为α，故tanα＝eq\r(2)，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，所以cosθ＝cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(1,3)，于是有cos〈eq\o(PP1,\s\up6(→))，eq\o(PP2,\s\up6(→))〉＝－cosθ＝eq\f(1,3).因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP1|＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))，所以eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))·cos〈eq\o(PP1,\s\up6(→))，eq\o(PP2,\s\up6(→))〉＝eq\f(|2x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,3)·eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).15．(2023·咸阳模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N.若点P(－3a,0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为_______．答案2解析由eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)－1))＝eq\f(b4,a2)，即y＝±eq\f(b2,a)，不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，而D(a,0)，所以直线AD的方程为y－0＝eq\f(\f(b2,a),c－a)(x－a)，y＝eq\f(b2,ac－a)(x－a)，令x＝0得y＝eq\f(b2,a－c)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2,a－c)))，同理可求得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2,c－a)))，所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c－a)))2，将P(－3a,0)代入上式得9a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c－a)))2＝eq\f(b4,c－a2)＝eq\f(c2－a22,c－a2)＝eq\f(c＋a2c－a2,c－a2)＝(c＋a)2，即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，则c＝2a，即离心率为eq\f(c,a)＝2.16．(2023·安庆模拟)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±eq\f(\r(6),3)x解析如图所示，由双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MN，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2，2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3)，故该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(6),3)x.§8.7离心率的范围问题重点解读圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．题型一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围例1(1)(2023·德阳模拟)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为()A．2eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(3),2)D．2答案C解析不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)．椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c，由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，又在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，则aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c2，得eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＝4，由基本不等式得4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))≥2eq\r(\f(3,e\o\al(2,1)e\o\al(2,2)))⇒e1e2≥eq\f(\r(3),2)，当且仅当e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为eq\f(\r(3),2).(2)(2023·襄阳模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2eq\r(6)，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为__________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))解析由右焦点为F(2eq\r(6)，0)，点A的坐标为(0,1)，可得|AF|＝eq\r(24＋1)＝5.因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因为c＝2eq\r(6)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(6),a)≤eq\f(\r(6),2).又e>1，所以e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2))).思维升华此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．跟踪训练1(2023·宁波模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为eq\f(c,2)，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，1))答案A解析△MF1F2的面积为eq\f(1,2)|F1F2|·|yM|，因为△MF1F2的内切圆半径为eq\f(c,2)，所以△MF1F2的面积可表示为eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(c,2)，所以eq\f(1,2)·2c·|yM|＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(c,2)，解得|yM|＝eq\f(a＋c,2)，因为|yM|≤b，所以eq\f(a＋c,2)≤b，两边平方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2≤b2，又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，因为e＝eq\f(c,a)，不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1<e≤eq\f(3,5)，又椭圆C的离心率e∈(0,1)，所以椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5))).题型二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围例2(1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋eq\f(y2,1－m2)＝1(0<m<1)上存在点P，满足|OP|＝m(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案D解析设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a＝1，b＝eq\r(1－m2)，c＝m，椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，所以c2≥b2＝a2－c2，解得eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(2),2).又0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝eq\f(|PF1|,|PF2|)，则椭圆C的离心率的取值范围为()A．(0，eq\r(2)－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，1))答案D解析因为e＝eq\f(|PF1|,|PF2|)，所以|PF1|＝e|PF2|，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)，因为a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤eq\f(2a,e＋1)≤a＋c，两边同除以a得1－e≤eq\f(2,e＋1)≤1＋e，解得e≥eq\r(2)－1，因为0<e<1，所以eq\r(2)－1≤e<1，所以离心率e的取值范围是[eq\r(2)－1,1)．思维升华利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．跟踪训练2(1)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2)) D．(1,1＋eq\r(2))答案B解析由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形，∵△ABE是锐角三角形，∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°，将x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得y＝±eq\f(b2,a)，故在Rt△AFE中，|AF|＝eq\f(b2,a)，|FE|＝a＋c，∵∠AEF<45°，∴|AF|<|FE|，∴eq\f(b2,a)<a＋c，化简整理，得2a2－c2＋ac>0，∴e2－e－2<0，∴－1<e<2，又e>1，∴1<e<2.(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))答案C解析设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，如图所示．由椭圆的性质得，AF′∥BF，∠FAF′＝eq\f(π,2)，即椭圆上存在点A，满足∠FAF′＝eq\f(π,2)，即以FF′为直径的圆与椭圆有公共点．设椭圆C的半焦距为c(c>0)，所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥eq\f(1,2)，又0<e<1，所以eq\f(\r(2),2)≤e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).题型三利用几何图形的性质求离心率的范围例3(1)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))答案D解析如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c，又|QF2|＝eq\f(a2,c)－c，且|PF2|≥|QF2|，故2c≥eq\f(a2,c)－c，即3c2≥a2，故e2≥eq\f(1,3)，又0<e<1，所以eq\f(\r(3),3)≤e<1.(2)(2023·温州模拟)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于eq\r(6a2a2＋b2)，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(7)) B．(eq\r(2)，7)C．(2,7) D．(2，eq\r(7))答案D解析不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y＝eq\r(3)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))得x＝±eq\f(ab,\r(b2－3a2))，且b2>3a2，所以yA＝－eq\f(\r(3)ab,\r(b2－3a2))，yB＝eq\f(\r(3)ab,\r(b2－3a2))，因为S△ABF＝eq\f(1,2)·|OF|·|yB－yA|＝eq\f(1,2)·c·eq\f(2\r(3)ab,\r(b2－3a2))＝eq\f(\r(3)abc,\r(b2－3a2))，且S△ABF>eq\r(6a2a2＋b2)＝eq\r(6)ac，所以eq\f(\r(3)abc,\r(b2－3a2))>eq\r(6)ac，所以eq\f(b,\r(b2－3a2))>eq\r(2)，解得0<e<eq\r(7)，又因为b2>3a2，解得e>2，所以2<e<eq\r(7).思维升华利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练3(2023·长春模拟)椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(5)－1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))答案A解析如图，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c,0)，则eq\o(B2A2,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，b)．因为∠B1PA2为向量eq\o(B2A2,\s\up6(→))与eq\o(F2B1,\s\up6(→))的夹角，且∠B1PA2为钝角，所以eq\o(B2A2,\s\up6(→))·eq\o(F2B1,\s\up6(→))<0，所以b2－ac<0.又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，两边同时除以a2得1－e－e2<0，解得e<eq\f(－1－\r(5),2)或e>eq\f(－1＋\r(5),2)，因为e∈(0,1)，所以eq\f(－1＋\r(5),2)<e<1.课时精练一、单项选择题1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则椭圆离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则只需∠F1BF2≥eq\f(π,3)即可．当∠F1BF2＝eq\f(π,3)时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥eq\f(π,3)时，a≤2c，即eq\f(1,2)≤eq\f(c,a).又0<e<1，故离心率e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).2．(2023·潍坊模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝eq\f(a2＋b2,a)，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)－1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案B解析设P(x0，y0)，则Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,a)，y0))，∵四边形QPF1F2为平行四边形，∴|PQ|＝|F1F2|，∴eq\f(a2＋b2,a)－x0＝2c，即x0＝eq\f(a2＋b2,a)－2c＝eq\f(2a2－c2－2ac,a)∈(－a，a)，∴－1<eq\f(2a2－c2－2ac,a2)<1，∴－1<2－e2－2e<1，解得eq\r(2)－1<e<1.3．(2023·武汉模拟)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝eq\f(π,3)，则双曲线C2的离心率的最小值为()A.eq\r(5)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(2)答案C解析如图所示，△POA≌△POB，|OB|＝|OA|＝b，∠APB＝eq\f(π,3)，∴∠OPB＝eq\f(π,6)，又OB⊥BP，∴|OP|＝2b，又|OP|≥a，故2b≥a，即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥eq\f(\r(5),2).4．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(eq\r(5)，＋∞) B．(1，eq\r(5))C．(1，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，＋∞)答案B解析要满足题意，点P(1,2)必须在渐近线y＝eq\f(b,a)x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y轴上．所以必须满足eq\f(b,a)<2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)<eq\r(5)，又e>1，所以1<e<eq\r(5).5．(2023·合肥模拟)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a,0)，B(0，b)，点(2,0)到直线AB的距离为d1，点(－2,0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥eq\f(4,5)c，则双曲线离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，\r(10))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)，2\r(3)))答案B解析依题意得直线AB：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，又a>2，所以d1＝eq\f(|2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(|－2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))，所以d1＋d2＝eq\f(ba－2,\r(a2＋b2))＋eq\f(ba＋2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，所以5eq\r(c2－a2)·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4，即4e4－25e2＋25≤0，解得eq\f(5,4)≤e2≤5，又e>1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))).6．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)＋1，＋∞)C．(eq\r(2)＋1，＋∞) D．(eq\r(3)，eq\r(2)＋1]答案C解析如图所示，根据题意可得F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝eq\f(y1,x1＋c)(x＋c)，所以直线PF1与y轴的交点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(cy1,x1＋c)))，由AQ∥PF2可得kAQ＝，即eq\f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq\f(y1,x1－c)，整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝eq\f(c2－ac,a＋c)，又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a，可得x1＝eq\f(c2－ac,a＋c)>a，整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，解得e>eq\r(2)＋1或e<1－eq\r(2)(舍去)，即双曲线E的离心率的取值范围为(eq\r(2)＋1，＋∞)．二、多项选择