2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章　§8.3　圆的方程含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第八章§8.3圆的方程§8.3圆的方程课标要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)2．(选择性必修第一册P85T1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)答案B3．(选择性必修第一册P102T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案B解析由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.4．(选择性必修第一册P85T2改编)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是()A．(0,2) B．(3,3)C．(－2,2) D．(4,1)答案B解析由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圆内.题型一圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析方法一设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝eq\f(1－0,0－3)＝－eq\f(1,3)，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，∴AB的垂直平分线方程为y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即3x－y－4＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)(2024·郑州模拟)已知点A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四点共圆，则a＝________.答案±eq\r(5)解析设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋1－2D＋E＋F＝0，,1－D＋F＝0，,4＋9＋2D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－4，,F＝－1，))所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝±eq\r(5).(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为__________________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5)解析设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝eq\r(a－02＋－2a＋3－02)＝eq\r(5a2－12a＋9)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5)))2＋\f(9,5)).当a＝eq\f(6,5)时，rmin＝eq\f(3\r(5),5).故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5).题型二与圆有关的轨迹问题命题点1直接法例2已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是________．答案x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0解析设M(x，y)，则|MA|＝eq\r(x＋22＋y2)，|MB|＝eq\r(x－22＋y2).因为|MA|＝2|MB|，所以eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0.所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0.命题点2定义法例3(2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是()A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4x答案B解析因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1,1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆相切，且|AM|＝2，则|AC|＝eq\r(|MC|2＋|AM|2)＝eq\r(5)，设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.命题点3相关点法例4已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解设P(x，y)，N(x0，y0)，∵四边形MONP为平行四边形，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋x0，,y＝4＋y0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，易知直线OM的方程为y＝－eq\f(4,3)x，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x，,x＋32＋y－42＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(9,5)，,y＝\f(12,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,5)，,y＝\f(28,5)，))∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例5(2024·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k2＝3，∴kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\r(3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))min＝－eq\r(3).(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得eq\f(|2＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6)，故(y－x)min＝－2－eq\r(6).(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).圆的参数方程圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ，))其中θ为参数．典例利用圆的参数方程解决例5(2)(3)．解x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ.))(2)y－x＝eq\r(3)sinθ－(2＋eq\r(3)cosθ)＝eq\r(6)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2，∴(y－x)min＝－eq\r(6)－2.(3)x2＋y2＝(2＋eq\r(3)cosθ)2＋(eq\r(3)sinθ)2＝7＋4eq\r(3)cosθ，∵cosθ∈[－1,1]，∴(x2＋y2)max＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝7－4eq\r(3).命题点2利用函数求最值例6(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．答案12解析由题意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36答案D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[eq\r(2－52＋0＋42)＋1]2＝36.(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________．答案[－2,0]解析将x2＋y2＋x＋y＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆，令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由题可知，直线和圆有公共点，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)－t)),\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范围为[－2,0]．课时精练一、单项选择题1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)＝0的圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，则半径为()A．2B．3C．4D．5答案A解析圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－1,4)，所以其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－1),2).又已知圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，所以D＝1，E＝－4，半径为eq\f(\r(D2＋E2－1),2)＝2.2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()A．－6<k<eq\f(1,2) B．k<－6或k>eq\f(1,2)C．k>－6 D．k<eq\f(1,2)答案A解析∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝eq\r(1－2k).若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足eq\r(3－12＋1＋22)>eq\r(1－2k)，且1－2k>0，即13>1－2k且k<eq\f(1,2)，即－6<k<eq\f(1,2).3．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．3D．9答案C解析圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝5＋eq\f(k2,4)，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，半径为r＝eq\r(5＋\f(k2,4))，因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，解得k＝4.所以圆的半径r＝eq\r(5＋\f(k2,4))＝3.4．已知圆C过点A(－2,0)，B(2,4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋y2＝10B．x2＋(y＋1)2＝10C．(x－1)2＋(y－1)2＝10D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10答案C解析由A(－2,0)，B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2)，又kAB＝eq\f(4－0,2－－2)＝1，所以AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，所以圆心C在线段AB垂直平分线上，当圆心C到原点O的距离最小时，则OC∥AB，所以直线OC的方程为y＝x，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝－x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圆心C(1,1)，又半径r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝10.5．若点M(x，y)是圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一点，则x2＋2x＋y2＋4y的最小值为()A．8B．3C．－1D．－3答案C解析x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圆C上的点到定点(－1，－2)的最小距离即可，又圆心(3,1)到(－1，－2)的距离d＝eq\r(42＋32)＝5，而圆C的半径r＝3，∴d－r＝2≤eq\r(x＋12＋y＋22)≤d＋r＝8，故原式的最小值为(d－r)2－5＝22－5＝－1.6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案D解析由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．设P(x，y)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.二、多项选择题7．圆M与y轴相切，且经过A(1,0)，B(2,1)两点，则圆M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9答案BC解析设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，所以有|MA|＝|MB|，即eq\r(a－12＋b2)＝eq\r(a－22＋b－12)，整理可得a＋b＝2.又|MA|＝r＝|a|，即eq\r(a－12＋b2)＝|a|，整理可得b2－2a＋1＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,b2－2a＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)．当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.综上所述，圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.8．(2024·宿迁模拟)已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有()A．圆C过定点B．点(0,0)在圆C外C．直线4x－3y－3＝0平分圆周D．存在实数k，使圆与x轴相切答案ACD解析对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2y＝0，,6x＋8y＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝－\f(2,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝－\f(8,5)，))故圆C过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(2,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(8,5)))，所以选项A正确；对于选项B，因为圆心为(3k,4k－1)，r＝eq\r(1＋25k2)，点(0,0)到圆心的距离d＝eq\r(9k2＋16k2－8k＋1)＝eq\r(1＋25k2－8k)，又因为k∈R，当k>0时，d<r，此时点(0,0)在圆C内，所以选项B错误；对于选项C，因为圆心为(3k,4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，即圆心在直线4x－3y－3＝0上，所以选项C正确；对于选项D，若圆与x轴相切，则|4k－1|＝eq\r(1＋25k2)，即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－eq\f(8,9)，所以选项D正确．三、填空题9．写出一个过原点，且半径为2eq\r(2)的圆的方程________________．答案(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案不唯一)解析过原点，且半径为2eq\r(2)，即圆心在圆x2＋y2＝8上，取圆心为(2,2)，即可得圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.10．已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为________________________．答案x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2D＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,16＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－3，,F＝－4，))∴过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).11．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________．答案x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))解析设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)．所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．12．(2023·酒泉统考)若直线eq\r(3)x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是__________．答案[eq\r(3)，3eq\r(3)]解析如图所示，因为直线eq\r(3)x－y－3＝0与坐标轴的交点A(eq\r(3)，0)，B(0，－3)，则|AB|＝eq\r(3＋9)＝2eq\r(3)，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1，则圆心C(0,1)到直线eq\r(3)x－y－3＝0的距离为d＝eq\f(|－1－3|,\r(3＋1))＝2，所以圆x2＋(y－1)2＝1上的点P到直线eq\r(3)x－y－3＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1，距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3，所以△ABP面积的最小值为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，最大值为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，即△ABP面积的取值范围为[eq\r(3)，3eq\r(3)]．四、解答题13．(2024·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点．(1)求圆C的方程；(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足eq\o(PM,\s\up6(→))＝3eq\o(QM,\s\up6(→))，求点Q的轨迹方程．解(1)由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝2，它与x轴的交点为圆心C(2,0)，又半径r＝|AC|＝eq\r(10)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由eq\o(PM,\s\up6(→))＝3eq\o(QM,\s\up6(→))，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－16，,y0＝3y，))又点P在圆C上，故(x0－2)2＋yeq\o\al(2,0)＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝eq\f(10,9).14．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．(1)求圆C1的方程；(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．解(1)由题意知AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2)))，kAB＝eq\f(4－3,2－1)＝1，∴AB的垂直平分线为y－eq\f(7,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即y＝5－x，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝5－x，,y＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝eq\r(74)－4，当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，则|PM|＋|PN|的最小值为eq\r(74)－4，此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,7x－5y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,12)，,y＝\f(1,12)，))∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，\f(1,12))).15．(2024·滁州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的最大值为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2eq\r(2)－eq\r(3) D．2eq\r(2)＋eq\r(3)答案D解析由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，设AB的中点为M，则|CM|＝eq\f(\r(3),2)，又C(1,1)，所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(3,4)，且|OC|＝eq\r(2).因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|，因为|OM|≤|OC|＋|CM|＝eq\r(2)＋eq\f(\r(3),2)，当且仅当点C在线段OM上时等号成立，所以|eq\o(OM,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(2)＋eq\f(\r(3),2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|的最大值为2eq\r(2)＋eq\r(3).16．(2023·清华附中模拟)在平面直角坐标系内，A(1,0)，B(2,0)，动点C在直线y＝x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C．πD.eq\f(2π,3)答案A解析由圆的几何性质知，圆心在A，B中垂线上，故可设圆心M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，a))，如图，当圆M与直线y＝x相切即圆心到y＝x的距离等于圆心到A点距离时，圆M的面积最小，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－a)),\r(12＋12))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋a－02)，解得a＝eq\f(1,2)或－eq\f(7,2)，当a＝eq\f(1,2)时，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，圆M的半径为|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))2)＝eq\f(\r(2),2)，圆M的面积为eq\f(π,2)；当a＝－eq\f(7,2)时，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,2)))，圆M的半径为|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)－0))2)＝eq\f(5\r(2),2)，圆M的面积为eq\f(25π,2)，所以圆M面积的最小值为eq\f(π,2).§8.5椭圆课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)2．(选择性必修第一册P109T1改编)若椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为()A．6B．3C．4D．2答案A解析由椭圆方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1，得a2＝25，即a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝6，即点P与另一个焦点F2的距离为6.3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)答案C解析由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2eq\r(2)，则离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).4．(选择性必修第一册P116T12改编)若椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A．3 B．2＋eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)＋1答案A解析由题意知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.题型一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1答案D解析如图，由题意得，|C1M|＝5－|MQ|，|C2M|＝1＋|MP|，其中|MQ|＝|MP|，所以|C1M|＋|C2M|＝5－|MQ|＋1＋|MP|＝6>2＝|C1C2|，由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以C1，C2为焦点且长轴长为6的椭圆，设eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8，故动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)(2023·眉山模拟)已知P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若eq\f(\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△F1PF2的面积为________．答案3eq\r(3)解析因为a＝5，b＝3，c＝eq\r(25－9)＝4，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝10，因为cos〈eq\o(PF1,\s\up6(→))，eq\o(PF2,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→)),|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，且0°≤〈eq\o(PF1,\s\up6(→))，eq\o(PF2,\s\up6(→))〉<180°，所以∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得cos60°＝cos〈eq\o(PF1,\s\up6(→))，eq\o(PF2,\s\up6(→))〉＝eq\f(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2－|\o(F1F2,\s\up6(→))|2,2|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(PF1,\s\up6(→))|＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2－2|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|－64,2|\o(PF1,\s\up6(→))||\o(PF2,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))||eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝12，则＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))||eq\o(PF2,\s\up6(→))|sin60°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为()A．4B．8C．10D．20答案D解析由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20.(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)．步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________．答案eq\r(3)解析如图，设点F关于折痕的对称点为点A，由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2，所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,2c＝2，))可得a＝2，c＝1，则b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，所以曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，设点M(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3x\o\al(2,0),4)且－2≤x0≤2，所以|OM|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x\o\al(2,0)＋3－\f(3x\o\al(2,0),4))＝eq\r(\f(x\o\al(2,0),4)＋3)≥eq\r(3)，当且仅当x0＝0时，等号成立，故|OM|的最小值为eq\r(3).题型二椭圆的标准方程例2(1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1答案C解析由3x2＋8y2＝24化简可得eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1，焦点为(±eq\r(5)，0)在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，,a2－b2＝5，))解得a2＝15，b2＝10.故所求椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.(2)已知过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1答案B解析不妨设A(xA，yA)在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(y\o\al(2,A),b2)＝1，则yA＝eq\f(b2,a)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(b2,a)))，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2,2a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(b2,2a)))，将点B的坐标代入椭圆方程得eq\f(4,a2)＋eq\f(\f(b4,4a2),b2)＝1，即eq\f(4,a2)＋eq\f(b2,4a2)＝1，又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2＋m)＋eq\f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0)．跟踪训练2(1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1答案D解析由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2eq\r(3)，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1答案C解析如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝6，得a＝3.又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|F2Q|＝n，则＝eq\f(1,2)mn＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝6，,mn＝8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝4，))则|F1F2|＝2eq\r(5)，则c＝eq\r(5)，b2＝a2－c2＝4，椭圆E的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1离心率例3(1)(2023·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为()A．2－eq\r(3) B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)答案B解析因为过点F1且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos30°＝eq\r(3)c，|PF2|＝|F1F2|sin30°＝c，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1，所以椭圆E的离心率为eq\r(3)－1.(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(1,4)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)答案A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，所以kAP·kAQ＝eq\f(n,m＋a)·eq\f(n,－m＋a)＝eq\f(n2,a2－m2)＝eq\f(1,4).(*)因为点P在椭圆C上，所以eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝1，得n2＝eq\f(b2,a2)(a2－m2)，代入(*)式，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).思维升华求椭圆离心率或其范围的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题例4(多选)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则()A．的最大值为4eq\r(3)B．|PF1|的取值范围是[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)]C．不存在点P使PF1⊥PF2D．|PB|的最大值为2eq\r(5)答案AB解析依题意知，a＝4，b＝2，c＝2eq\r(3)，当P为短轴顶点时，()max＝eq\f(1,2)×2c×b＝4eq\r(3)，故A正确；由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)]，故B正确；对于C，sin∠F2BO＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠F2BO＝eq\f(π,3)，所以∠F1BF2＝eq\f(2π,3)，即∠F1PF2的最大值为eq\f(2π,3)，最小为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y0－22)，又eq\f(x\o\al(2,0),16)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，所以xeq\o\al(2,0)＝16－4yeq\o\al(2,0)，所以|PB|＝eq\r(16－4y\o\al(2,0)＋y0－22)＝eq\r(－3y\o\al(2,0)－4y0＋20)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2,3)))2＋\f(64,3))，又－2≤y0≤2，故当y0＝－eq\f(2,3)时，|PB|max＝eq\r(\f(64,3))＝eq\f(8\r(3),3)，故D错误．思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)已知M，N是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值是eq\f(1,4)a2，则椭圆C的离心率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)答案B解析由题意可得eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2，由椭圆可知|eq\o(PO,\s\up6(→))|，|eq\o(OM,\s\up6(→))|∈[b，a]，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2的最大值为a2－b2＝c2，即eq\f(1,4)a2＝c2，整理得椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\f(1,2).(2)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))的取值范围为()A．[－16,0] B．[－8,0]C．[0,8] D．[0,16]答案D解析方法一由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2x0－8＋12－eq\f(3,4)xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(1,4)(x0＋4)2，因为eq\f(x\o\al(2,0),16)＋eq\f(y\o\al(2,0),12)＝1，所以eq\f(x\o\al(2,0),16)＝1－eq\f(y\o\al(2,0),12)≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))≤16.方法二由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1,0)，连接MN，如图，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(MA,\s\up6(→))＋\o(MF,\s\up6(→))2－\o(MA,\s\up6(→))－\o(MF,\s\up6(→))2,4)＝eq\f(4\o(MN,\s\up6(→))2－\o(FA,\s\up6(→))2,4)＝eq\o(MN,\s\up6(→))2－9＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)－9＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＋12－eq\f(3,4)xeq\o\al(2,0)－9＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(1,4)(x0＋4)2，因为eq\f(x\o\al(2,0),16)＋eq\f(y\o\al(2,0),12)＝1，所以eq\f(x\o\al(2,0),16)＝1－eq\f(y\o\al(2,0),12)≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))≤16.课时精练一、单项选择题1．“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当方程eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆时，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))所以1<k<5且k≠3，当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆，即“1<k<5”是“方程eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．(2024·济南模拟)若椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)答案D解析因为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2＝eq\f(2,3)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3).(1)若椭圆C的焦点在x轴上，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,m)＝eq\f(1,3)，可得m＝6，则a＝eq\r(m)＝eq\r(6)，此时椭圆C的长轴长为2eq\r(6)；(2)若椭圆C的焦点在y轴上，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(m,2)＝eq\f(1,3)，可得m＝eq\f(2,3)，则a＝eq\r(2)，此时椭圆C的长轴长为2eq\r(2).综上所述，椭圆C的长轴长为2eq\r(2)或2eq\r(6).3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝1答案B解析依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,3)，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，所以C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(2024·昆明模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于()A．18B．10C．9D．6答案C解析根据题意，四边形AF1BF2是矩形，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，则有m＋n＝10，m2＋n2＝(2c)2＝64，由此可得mn＝18，所以△AF1F2的面积是eq\f(1,2)mn＝9，又△ABF1的面积与△AF1F2的面积相等，所以△ABF1的面积等于9.5．(2023·沈阳模拟)魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)．由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,4)答案A解析如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，由“牟合方盖”产生的过程可知，图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长2a＝|BD|＝2eq\r(2)，短轴长2b＝|PQ|＝2，于是可得此椭圆的半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝1，因此离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).6．(2023·陕西省安康中学模拟)已知P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，若C的右焦点F的坐标为(3,0)，点M满足|eq\o(FM,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM