华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(三)因式分解面面观课件

专项素养综合全练(三)因式分解面面观类型一整体思想1.因式分解:(1)4(m+n)2-9(m-n)2.(2)(2x+y)2-(x+2y)2.(3)(4a2+9b2)2-36a2b2.解析

(1)原式=[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)]=(5m-n)(-m+

5n).(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=3(x+y)·(x-y).(3)原式=(4a2+9b2+6ab)(4a2+9b2-6ab).2.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+2n)2-(3m-n)2的值.解析

(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n),当4m+n=40,2m-3n=5时,原式=-40×5=-200.3.先阅读材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.解:将“x+y”看成整体,设x+y=m,则原式=m2+2m+1=(m+1)2.再将x+y=m代入,得原式=(x+y+1)2.上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题

中常用的一种思想方法.请你写出下列因式分解的结果:(1)因式分解:1-2(x-y)+(x-y)2=

.(2)因式分解:25(a-1)2-10(a-1)+1=

.(3)因式分解:(y2-4y)(y2-4y+8)+16=

.(1-x+y)2(5a-6)2(y-2)4解析

(1)设x-y=a,则原式=1-2a+a2=(1-a)2,将x-y=a代入,得原

式=(1-x+y)2.(2)设a-1=m,则原式=25m2-10m+1=(5m-1)2,将a-1=m代入,得原

式=(5a-6)2.(3)设y2-4y=a,则原式=a(a+8)+16=a2+8a+16=(a+4)2,将y2-4y=a代入,得原式=(y2-4y+4)2=(y-2)4.类型二分组分解法方法解读当项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可

以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法等方法

达到因式分解的目的,这种方法可以称为分组分解法.(温馨

提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)4.分解因式:x2+4z2-9y2+4xz=

.

(x+2z+3y)(x+2z-3y)解析

x2+4z2-9y2+4xz=x2+4z2+4xz-9y2=(x+2z)2-9y2=(x+2z+3y)(x

+2z-3y).5.因式分解:(1)x2-a2+x+a.(2)ax+a2-2ab-bx+b2.(3)-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2.(4)a2-4b2-2a+4b.(5)2a2-6bc+4ab-3ac.解析

(1)x2-a2+x+a=(x2-a2)+(x+a)=(x-a)(x+a)+(x+a)=(x+a)(x-a

+1).(2)ax+a2-2ab-bx+b2=(ax-bx)+(a2-2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x

+a-b).(3)-2mnx2+m2x2+n2x2-4(m-n)2=(-2mnx2+m2x2+n2x2)-4(m-n)2=x2(-2mn+m2+n2)-4(m-n)2=x2(m-n)2-4(m-n)2=(m-n)2(x2-4)=(m-n)2(x-2)(x+2).(4)a2-4b2-2a+4b=(a2-4b2)-(2a-4b)=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)=(a+2b-2)(a-2b).(5)2a2-6bc+4ab-3ac=(2a2+4ab)-(6bc+3ac)=2a(a+2b)-3c(2b+a)=(a+2b)(2a-3c).类型三十字相乘法6.利用整式的乘法运算法则推导得出:(ax+b)·(cx+d)=acx2+

(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变

形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过

观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x为未知数,a、b、c、d为

常数的二次三项式,此种因式分解是把二次三项式的二项式

系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数,

分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾,叉乘凑中项”,如

图1,这种分解的方法称为十字相乘法.6.利用整式的乘法运算法则推导得出:(ax+b)·(cx+d)=acx2+

(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变

形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过

观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x为未知数,a、b、c、d为

常数的二次三项式,此种因式分解是把二次三项式的二项式

系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数,

分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾,叉乘凑中项”,如

图1,这种分解的方法称为十字相乘法.例如,将二次三项式2x2

+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解,如例如,将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解,如图2,则2x2+11x+12=(x+4)(2x+3).根据阅读材料解决下列问题:(1)m2+7m-18.(2)x2-2x-8.(3)x2y2-7xy+10.(4)x2+6x-27.(5)6x2-7x-3.(6)20(x+y)2+7(x+y)-6.解析

(1)原式=m2+[9+(-2)]m+9×(-2)=(m-2)(m+9).(2)原式=x2+[2+(-4)]x+2×(-4)=(x+2)(x-4).(3)原式=(xy)2+[(-2)+(-5)]xy+(-2)×(-5)=(xy-2)(xy-5).(4)原式=x2+[9+(-3)]x+9×(-3)=(x+9)(x-3).(5)原式=(3x+1)(2x-3).(6)原式=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)·(5x+5y-2).类型四补项或拆项(1)拆项法在某些多项式因式分解的过程中,有时将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的和,再用提公因式法或公式法因

式分解,会使问题迎刃而解.7.因式分解:a2-b2+4a+2b+3.解析

a2-b2+4a+2b+3=a2-b2+4a+2b+4-1=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)=(a+2)2-(b-1)2=(a+2+b-1)(a+2-b+1)=(a+b+1)(a-b+3).8.已知a2+b2-6a+10b+34=0,求多项式4a2+12ab+9b2的值.解析

a2+b2-6a+10b+34=a2-6a+9+b2+10b+25=(a-3)2+(b+5)2,

∵a2+b2-6a+10b+34=0,∴(a-3)2+(b+5)2=0,∴(a-3)2=0且(b+5)2=0,∴a-3=0且b+5=0,解得a=3,b=-5,∴4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2=[2×3+3×(-5)]2