2021-2022学年安徽省合肥市八年级第二学期数学期末试卷（三）含答案

2021-2022学年安徽省合肥市八年级第二学期数学期末试卷

（三）

一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）

a1.下列图形中，对称图形有*（）鲁

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、没有是对称图形，故本选项错误；

B、是对称图形，故本选项正确；

C、没有是对称图形，故本选项错误；

D、没有是对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了对称图形的概念•对称图形是要寻找到对称，使其旋转180度后能够与自

身重合.

2.若下列没有等式没有一定成立的是（）

mn°〜

A.m+2>n+2B.2m>2nC.—>—D.irfl>n2

22

【答案】D

【解析】

【详解】A、没有等式的两边都加2,没有等号的方向没有变，故A正确；

B、没有等式的两边都乘以2,没有等号的方向没有变，故B正确；

C、没有等式的两条边都除以2,没有等号的方向没有变，故C正确；

D、当（）>机>”时，没有等式的两边都乘以负数，没有等号的方向改变，故D错误；

故选：D.

3.下列分式中，最简分式是()

3x2x-2x2+y2

A.B.--------C.D.

4孙X"-4x+y

2-x

X2-4x+4

【答案】C

【解析】

【分析】最简分式的标准是分子，分母中没有含有公因式，没有能再约分•判断的方法是把分

子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同

的因式从而进行约分.

3/3x

【详解】A、—=丁，没有符合题意；

4xy4y

x-2x—21

B、4T(x+2)(x-2)=3,没有符合题意;

x~+V-

C、——L是最简分式，符合题意;

x+y

2—x2—x1

D、=二，没有符合题意;

JC—4x+4（2—九）~

故选C.

【点睛】本题考查了最简分式的定义及求法•一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分

式•分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题•在

解题中一定要引起注意.

4.如图，R/AABC沿直线边8c所在的直线向右平移得到△£)£；厂,下列结论中没有一定正确

A.NDEF=90。B.BE=CF

C.CE=CFD-S四边物=S四边形

【答窠】c

【解析】

【分析】由平移的性质，图形，对选项进行一一分析，选择正确答案.

【详解】QArVABC沿直线边BC所在的直线向右平移得到△£)£厂,

：.ZDEF=ZABC=90°，BC=EF,S^ABC=S^DEF,

*''BC—EC=EF—EC,-SEEC=^^DEF~S-HEC，

BE=CF,S四边形AB.=S四边形°”CF,

但没有能得出CE=CF,

故选C.

【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移没有改变图形的形状和大小；②平移，对应点

所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

5.如图，在AABC中，AB=AC,NA=4()。，AB的垂直平分线交AB于点。，交AC于点E,

连接BE,则/CBE的度数为()

【答案】A

【解析】

【分析】由等腰AA8C中，AB=AC,NA=40。，即可求得/ABC的度数，又由线段AB的垂直

平分线交AB于。，交AC于£,可得A£=BE,继而求得/ABE的度数，则可求得答案.

【详解】'：AB=AC,ZA=40°,

：.ZABC=ZC=(180。-NA)+2=70°,

:线段48的垂直平分线交AB于。，交AC于E,

；.AE=BE,

：.ZABE=ZA=40°,

：.NCBE=/ABC-NABE=3()。,

故选：A.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定

理，熟练掌握相关性质，运用数形思想是解题的关键.

6.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的

中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是（）

A.AB=CDB.AB1CDC.AB1ADD.AC=BD

【答案】B

【解析】

【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断•由三角形中位线定理和平行四边形

的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若FE_LEH或者EG=FH就可以判定四边形

EFGH是矩形.

【详解】:E、F分别是AD,8。的中点，G、”分别中BC,AC的中点，

:.EF〃AB,EF=-AB；GH〃AB,GH=-AB.

22

:.EF〃GH,EF=GH.

四边形EFGH是平行四边形.

当AB_LCD时，四边形EFGH是矩形，

vAB±CD,GH//AB.EH//CD,

.-.EH±GH.

即/EHG=90。，

四边形EFGH是矩形；

故选B.

【点睛】此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质•此题难度适

中，注意掌握数形思想的应用.

7.如图，AABC中，AB=AC=16,AD平分/BAC,点E为AC的中点，连接DE,若

△CDE的周长为26,则BC的长为（）

A

【答案】A

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD1.BC,再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半可得答案.

【详解】•.•AB=AC，AD平分/BAC,

.'.AD1BC.

.,./ADC=90。，

•.•点E为AC的中点，

DE=CE=-AC=8.

2

•.•△CDE的周长为26,

.♦.CD=10,

.♦.BC=2CD=20.

故选A.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角

形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

8.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、8E分别是NZM5、NCBA的平分线，

【答案】B

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，若AR8E分别是NZMB、NCB4的平分线，易得

△AD尸与ABCE是等腰三角形，继而求得。E=CE=BC=3,则可求得答案.

【详解】•.・四边形A8CZ）是平行四边形，

：.AB//CD，CD=A5=4,AZ）=3C=3，

:.ZAFD=ZBAF，ZABE=ZBEC，

­.AFsBE分别是NDW、NCB4的平分线，

;.ZDAF=NBAF，NCBE=ZABE,

.-.ZDAF=ZAFD，NCBE=ZBEC，

.•.AZ）=r）F=3,CE=BC=3,

:.EF=DF+CE-CD=2.

故选B.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质.注意证得AAOF与

△8CE是等腰三角形是关键.

3x-\-m

9.若关于x的分式方程+——=1有增根，则m的值是（）

x-4-4一x

A.0或3B.3C.0D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】增根是化为整式方程后产生的没有适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，

让最简公分母x-4=0,得到x=4,然后代入化为整式方程的方程算出m的值.

【详解】解：工+土土丝=1

x-44-x

方程两边同乘（x-4）得3—（x+相）=》一4

•••原方程有增根，

最简公分母x-4=0,

解得x=4,

把x=4代入3-（x+〃?）=x-4,得3-（4+机）=4-4,解得m=-l

故选：D

【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为。确定

增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

10.如图，直线丫=*+|与丫=10<-1相交于点P,点P的纵坐标为则关于x的没有等式X+

3

->kx-l的解集在数轴上表示正确的是（)

2

-2-10I

【答案】A

【解析】

13

【分析】先把y=5代入y=x+^,得出x=—l,再观察函数图象得到当x>—l时，直线

33

y=x+二都在直线y=kx-l的上方，即没有等式x+1>kx—1的解集为x>—l,然后用数

22

轴表示解集.

13

详解】把丫=一代入y=x+7,得

22

13

-=x+-,解得x=—l.

22

3

当x>—1时，XH—>kx—1,

2

3

所以关于x的没有等式x+->kx-l的解集为x>-b

2

用数轴表示为：

__r

-5-4-3-9-1019345

故选A.

【点睛】本题考查了函数与一元没有等式：从函数的角度看，就是寻求使函数丫=1«+1>的值

大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x

轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O,BD=8,BC=5,AELBC于点

E,则AE的长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】在RtNDBC中，根据oc=VBC2-OB2求出再利用面积法可得

—xAExBC=—xBOxAC,由此求出AE即可.

22

【详解】••・四边形ABCD是菱形，BD=8,

..BO=DO=4,/BOC=90，

在R^OBC中，OC=JBC2-OB?=4?=3,

AC=20c=6，

SAHr=—xAExBC=—xBOxAC

-ABC22

故5AE=24,

24

解得：AE=g.

故选C.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE的长是解题

关键.

12.如图，QABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE_LCD,垂足E在线段CD上，

连接EF、AF,下列结论：①2/BAF=NC；②EF=AF；③S.ABF=S梃F;

④NBFE=3/CEF中，一定成立的是（）

AD

E

A.只有①②B.只有②③C.只有①②④D.

①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出

△MBF空AECF,利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案.

【详解】①•••F是BC的中点，

.♦.BF=FC,

•.•在团ABCD中，AD=2AB.

...BC=2AB=2CD,

,-.BF=FC=AB，

.,./AFB=^BAF，

VAD//BC,

.•2AFB=CAF，

/.^BAF=^FAB>

..24AF="AD，

•.•4AD=/C,

/BAF=2NC故①正确；

②延长EF,交AB延长线于M,

••・四边形ABCD是平行四边形,

.-.AB//CD,

•.•F为BC中点，

，BF=CF,

在AMBF和AECF中，

/MBF=/C

<BF=CF,

/BFM=/CFE

.-.△MBF^AECF(ASA),

.-.FE=MF，/CEF=^M,

vCElAE,

.•2AEC=9(r，

.•./AEC=/BAE=90。，

•「FM=EF，

,-.EF=AF.故②正确；

③•jEF=FM,

-Q=s

…OAAEF°AAFM'

,1'S〃ABF<S«AEF，故③错误；

④设4EA=x，则NTAE=X，

/BAF=/AFB=90-x，

.•./EFA=180-2x，

XEFB=90'-x+180°-2x=270-3x，

•.•/CEF=90；x，

.•./BFE=3/CEF,故④正确，

故选C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的

关键是得出AAEF4ADME.

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

13.分解因式：x2y-4y=—.

【答案】y(x+2)(x-2).

【解析】

【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把

它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因

式.因此，

先提取公因式y后继续应用平方差公式分解即可：x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2).

考点：提公因式法和应用公式法因式分解.

14.如果分式——有意义，那么x的取值范围是.

x+3

【答案】X。—3

【解析】

【详解】试题分析：分式有意义的条件是分母没有为零，故X+3HO,解得XH-3.

考点：分式有意义的条件.

15.正多边形的每个内角等于150°,则这个正多边形的边数为条.

【答案】12

【解析】

【详解】多边形内角和为180。(n-2),则每个内角为18内(n-2)/n=150°,n=12,所以应填12.

16.为有效开展“阳光体育”，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金没有超过300()

元.若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球至多可购买个.

【答案】16

【解析】

【分析】设购买篮球x个，则购买足球(50-x)个，根据总价=单价x购买数量购买资金没有

超过3000元，即可得出关于x的一元没有等式，解之取其中的整数即可.

【详解】设购买篮球x个，则购买足球(50—力个，

根据题意得：80%+50(50-x)<3000,

解得：x<—.

3

〈X为整数，

•〔X值为16.

故答案为：16.

【点睛】本题考查了一元没有等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元

没有等式.

17.如图，已知点P是NA0B角平分线上的一点，NAOB=60。，PD1OA,M是OP的中点，

DM=4cm,如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为_______cm.

【答案】4

【解析】

【分析】根据角平分线定义可得/AOP=LAOB=30",再根据直角三角形的性质求得

2

PD=-OP=4,然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案.

2

【详解】•「P是NAOB角平分线上的一点，/AOB=60'，

・•.“AOP」/AOB=3(T,

2

,.•PD_LOA,M是OP中点，DM=4cm,

.,.OP=2DM=8，

PD=-OP=4,

2

■.•点C是OB上一个动点，

PC的最小值为P到OB距离，

PC的最小值=PD=4,

故答案为4.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性

质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键.

18.如图，已知中，NC=9()。，AC=BC=五,将AABC绕点A逆时针反向旋转6()。到

的位置，连接C8,则C6的长为_____.

AB

【答案】1+6

【解析】

【分析】连接8夕，设BC与AB咬点为。，根据NC=9()。，AC=8C=&,得到A8=&AC

=&x&=2,根据旋转，得到NAC'B'=NAC8=90°,AC'=AC=B'C'=BC,AB=AB'=2,

ZBAB'=60°,推出8c垂直平分A",AAB夕为等边三角形，得到。。=，4笈=1,

2

NAi阳'=60°,推出NABO=NB'8O=LNAB3'=30°,得到8C=@AQ=JL得到

22

C'8=C'O+B£)=1+逐.

【详解】解：连接89，设8C与AB，交点为。，如图，

△ABC中，•.•NC=90。，AC=BC=&,

/.AB=AC=-^2xy[o.=2,

「△ABC绕点A逆时针反向旋转60。到AABC的位置，

.,./4C'B'=N4CB=9()°,AC'=AC=B'C'=BC,AB=AB'=2,NBA8'=6()°,

垂直平分AQ,AABB，为等边三角形，

.•.C'O=LAB'=1,ZABB'=60°,

2

:.ZABD=ZB'BD=-NABB'=30°,

2

:.BD=N2?N=6

：.C'B=C'D-\-BD=1+百.

【点睛】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与

性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角

形，求出CD,的长是解题的关键.

19.关于x的分式方程2三+平JTLX7=二3无解，则，"的值为

x-2x-4x+2

【答案】1或6或-4

【解析】

【分析】方程两边都乘以(x+2)(x-2),把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到

结论.

2tnx3

【详解】解:

x-2%2-4x+2

2iwc3

-------1-------------------=-------

x-2（工+2）（工-2）x+2

.,.2（x+2）+〃zr=3（x—2）,

当m=1时，显然方程无解，

又原方程的增根为：％=±2,

当％=2时，772—1=-5,

/.,

当％=-2时，"一1=5,

综上当机=1或m=7或〃2=6时，原方程无解.

故答案为：1或6或T.

【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键.

20.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C】、E］、E2,C2.

E3、E4、…在X轴上,E知正方形ABGD］的边长为1,NBICQ=60°,

B°"/B2c2//B3c3〃…,则正方形A201gB2018c201Q2018的边长是.

【解析】

【分析】利用正方形的性质锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出

答案.

【详解】•••正方形A|B|GD边长为1,^B,C,O=60,B,C,//B2C2//B3C3,

DjE,=B2E2,D2E3=B3E4,/D]C\E]=/C'B7E?=/C3B3E4=30,

/.D[E[=C]D]Sin30。=；

B2E2=/V3I

则B2c2

cos30；-V

故正方形ABCR的边长是:

则正方形八20］再2（）］8c20］8D2（）18的边长为:

故答案为（17

【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是

解题关键.

三、解答题

2x-1,

-------<1

21.解没有等式组，2,并将它的解集在数轴上表示出来.

5x+2>3x

3

【答案】没有等式组的解集为-14x<及.

2

【解析】

【分析】首先解每个没有等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定没有等式的解集的公

共部分就是没有等式组的解集.

2x-13

【详解】解没有等式一^<1,得:x<=,

22

解没有等式5x+223x,得：x>-l«

将没有等式的解集表示在数轴上如下：

3

所以没有等式组的解集为-1<x<-.

2

【点睛】本题考查了没有等式组的解法，把每个没有等式的解集在数轴上表示出来(>,»向右

画；<,4向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的

条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集•有几个就要几个•在表示解集时

“2”，“4”要用实心圆点表示；要用空心圆点表示.

2

(x、4

22.先化简，再求值：-----X+2-^―~,其中x=5.

(x+2)x--4

【答案】x-2,3.

【解析】

【分析】首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简得出答案.

x2(x-2)(x+2)*|(x+2)(x-2)

【详解】原式=----——\~——9——-

x+2x+2J4

4、,(x+2)(x-2)

一A9

x+24

—x—2>

当x=5时，原式=5—2=3.

【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键.

23.如图，已知E、F分别是平行四边形488的边3C、A0上的点，且BE=DF.

求证：四边形4ECR是平行四边形.

【答窠】见解析.

【解析】

【分析】根据平行四边形性质得出AD〃BC,且AD=BC,推出AF〃EC,AF=EC,根据平行四

边形的判定推出即可.

【详解】解：证明：•..四边形A8CD是平行四边形，

AAD//BC,且AO=8C,

:.AF"EC，

,:BE=DF，

:.AF=EC,

四边形AECF是平行四边形

【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握判定法则

24.北京到济南的距离约为5()()km,一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列

车晚出发3小时，两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的2.5倍•求高铁和特

快列车的速度各是多少？(列方程解答)

【答案】特快列车的速度为100千米/时，高铁的速度为25()千米/时.

【解析】

【分析】设特快列车的速度为x千米/时，则高铁的速度为2.5x千米/时，根据时间=路程+速

度高铁比特快列车少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【详解】设特快列车的速度为x千米/时，则高铁的速度为2.5x千米/时，

50050()_

根据题意得:

x2.5x'

解得：x=100,

经检验，x=100是原分式方程的解,

.-.2.5x=2.5x100=250.

答：特快列车的速度为100千米/时，高铁的速度为250千米/时.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

25.如图，平面直角坐标系中，已知点/ABO=60,.若对于平面内一点C,当

△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C时线段AB的“等长点”.

（1）请判断点点C2（0,2g）是否是线段AB的“等长点”，并说明理由；

（2）若点D（m,n）是线段AB的“等长点”，且/DAB=60'，求m和n的值.

【答案】（l）G是线段AB的“等长点”，C?没有是线段AB的“等长点”，理由见解析;

（2）m=-l,n=0或m=2，n=5/3.

【解析】

【分析】（1）先求出AB的长与B点坐标，再根据线段AB的“等长点”的定义判断即可；

（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m,n.

【详解】（1）\•点_ZABO=60。，

eOA百。

OA=V3>sin/ABO百，OB=VAB2-OA2=1>

T

•.•点G（1,2@,

AC）="+（2百_9=2，

AC]=AB,

・・.G是线段AB的“等长点”，

•.•点C2（0,2百）

1222

AC,=V3,BC2=7+（^）=>

AC?*AB,BC2hAB,

.*.C2没有是线段AB的“等长点'

（2）如图，

.,./OAB=30".

分两种情况：

①当点D在y轴左侧时，

/DAB=60。，

/DAO="AB-/BAO=30"，

•.•点D（m,n）是线段AB的“等长点”，

AD=AB，

.・.D（T,0）,

=，n=0；

②当点D在y轴右侧时，

・・・/DAB=60。，

/DAO=/BAO+/DAB=90，

n=^3，

・・・点D（m,n）是线段AB的“等长点”，

AD=AB=2，

/.m=2•

综上所述，m=—1,n=0或m=2,n=5/3•

【点睛】本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与

图形性质•解(1)的关键是理解新定义，解(2)的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考

题.

26.为贯彻党的“绿水青山就是金山银山''的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000株用于

城市绿化，甲种树苗每株24元，一种树苗每株30元•相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活

率分别为85%、90%.

(1)若购买这两种树苗共用去180000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

(2)若要使这批树苗的总成活率没有低于88%,则甲种树苗至多购买多少株？

(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用？并求出费用.

【答案】(1)甲、乙两种树苗各购买5000、2000株；(2)甲种树苗至多购买2800株；(3)至少

费用为193200元.

【解析】

【分析】(1)列方程求解即可；

(2)根据题意，甲乙两种树苗的存货量大于等于树苗总量的88%列出没有等式；

(3)用x表示购买树苗的总费用，根据函数增减性讨论最小值.

【详解】(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(7000—x)株，

由题意得：24x+30(7000-x)=180000

解得x=5000,则7000—x=2000

答：甲、乙两种树苗各购买5()00、2(X)()株；

(2)根据题意得：85%x+95%(7000-x)>7000x88%

解得x«2800

则甲种树苗至多购买2800株

⑶设购买树苗的费用为W,

根据题意得：W=24x+30(7000-x)=-6x+210000

•rk=-6<0

；.W随x的增大而减小

・・・当x=28时，W最小=-6x2800+210000=193200

【点睛】本题为函数实际应用问题，综合考察一元方程、一元没有等式及函数的增减性.

27.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4cm.点P从点D出发向点A运动，运动到

点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是

1cm/s,连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

【答案】(1)当t=2s时，四边形ABQP为矩形；(2)当t=L5s时，四边形AQCP为菱形.

【解析】

【分析】(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP,据此求得t的值；

(2)当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC,列方程求得运动的时间t；

【详解】(1)由己知可得，BQ=DP=t,AP=CQ=4-t

在矩形ABCD中，/B=90，AD//BC,

当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，

t=4—t,得t=2

故当t=2s时，四边形ABQP为矩形.

(2)由⑴可知，四边形AQCP为平行四边形

,当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形

即工7=4—t时，四边形AQCP为菱形，解得t=1.5，

故当t=1.5s时，四边形AQCP为菱形.

【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质•解决此题注意方程的思想解题.

28.问题的提出：如果点P是锐角AABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到AABC的

三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？

(1)问题的转化：把AAPC绕点A逆时针旋转60得到AAPC,连接PP,这样就把确定

PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP'+P'C的最小值的问题了，请你利用图1

证明：PA+PB+PC=BP+PP'+PC；

（2）问题的解决：当点P到锐角AABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求

NAPB和/APC的度数；

（3）问题的延伸：如图2是有一个锐角为30的直角三角形，如果斜边为2,点P是这个三角形

内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）满足：NAPB=/APC=120。时，PA+PB+PC的值为最

小；（3）点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为".

【解析】

【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明AAPP，是等边三角形，则PP=PA,可得结论;

⑵问题的解决：运用类比的思想，把AAPC绕点A逆时针旋转60度得到AAPC',连接

PP',由"问题的转化“可知：当B、P、P\C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小,

确定当：NAPB=—APC=120时.，满足三点共线；

（3）问题的延伸：如图3,作辅助线，构建直角△ABU,利用勾股定理求AC，的长，即是点P

到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

【详解】问题的转化:

如图1.

B

图1

由旋转得：ZPAPZ=6O°,PA=P'A,

△APP'是等边三角形，

；.PP'=PA,

：PC=P'C,

.•.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C.

问题的解决：

满足：NAPB=/APC=120。时，PA+PB+PC的值为最小；

理由是：如图2,把AAPC绕点A逆时针旋转60度得到AAPC',连接PP',

由“问题的转化“可知：当B、P、P\U在同一直线上时,PA+PB+PC的值为最小,

NAPB=120"，/APP'=60°,

AZAPB+ZAPP=180°,

:.B>P、P'在同一直线上，

由旋转得：/AP'C'=NAPC=120。，

ZAPT=60°,

.•./AP'C'+NAP'P=180°,

;.P、P'、C'在同一直线上，

」.B、P、P'、C，在同一直线上，

.,・此时PA+PB+PC的值为最小，

故答案为NAPB=/APC=120;

问题的延伸：

如图3,RSACB中，•.•AB=2，/ABC=30°，

.-.AC=1,BC=G，

把ABPC绕点B逆时针旋转60度得到ABP'C',连接PP，

A

\P

c\/B

\，'；

图3'、/7

\//

1//

P,\/

c

当A、P、P\C，在同一直线上时，PA+PB+PC值为最小，

由旋转得：BP=BP\ZPBP=60°,PC=PC\BC=B,CS

.•.△BPP是等边三角形，

.,.PP=PB,

•.•NABC=NAPB+NCBP=NAPB+/C'BP'=30。，

ZABC=90°,

由勾股定理得：AC.jG+C®=722+(73)2=不，

；.PA+PB+PC=PA+PP，PC=AC，=V7,

则点p到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为J7.

【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识

点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转

的方法添加辅助线，构造三角形解决问题，属于中考压轴题.

29.如图，已知菱形ABCD边长为4,BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同

时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动.

(1)如图1,当点E在AD上时，连接BE、BF,试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结

论；

(2)在(1)的前提下，求EF的最小值和此时JBEF的面积；

⑶当点E运动到DC边上时，如图2,连接BE、DF,交点为点M,连接AM,则/AMD

大小是否变化？请说明理由.

图1图2

【答案】(1)BE=BF,证明见解析；(2)EF的最小值是26，S.BEF=3G；⑶如图3,当

点E运动到DC边上时，/AMD大小没有发生变化，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)先证明AABD和ABDC是等边三角形，再证明AABE学ADBF(SAS),可得结论;

(2)由AABEGADBF，易证得ABEF是正三角形，继而可得当动点E运动到当BELAD，

即E为AD的中点时，BE的最小，根据等边三角形三线合一的性质可得BE和EF的长，并求

此时ABEF的面积；

(3)同理得：ABED咨ADFC(SAS),则可得