初中数学竞方程部分强化练习2

初中数学竞方程部分强化练习2

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一、单选题

1.含有绝对值的方程|2x-l卜冈=2的不同实数解共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.在方程组中，X,y,z是互不相等的整数，那么此方程组的解的

[X+y+Z=-36

组数为（）

A.6B.3C.多于6D.少于3

3.已知都是实数，则下列命题中，错误的是（）.

A.a1+h2+c2=ah+bc+ca,则。=b=c

B.+b3+c3=3abc,则。=^=c

C.^a4+h4+c4+d4=2（a2b2+c2d2）,则〃=人=0=]

D.a4+b4+c4+d4=4abcd,则。=方=。=1

2

4.设二次函数了=产+2办+、的图象的顶点为A,与x轴的交点为8,C.当AABC

为等边三角形时，其边长为（）

A.76B.272C.25/3D.372

5.从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能

情况有（）种.

A.13B.16C.17D.19

6.八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人

收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小

组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（）人.

A.12B.13C.14D.15

7.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，使

得白球不少于2但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的

种数是（）.

A.14B.16C.18D.20

8.把三个连续的正整数mb,c按任意次序（次序不同视为不同组）填入

口Y+口%+口=（）的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数

项.使所得方程至少有一个整数根的a，b,c（）.

A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组

二、填空题

9.已知方程。米2-(3/-8a)x+2/_13a+15=0(其中a为非负整数)至少有一个整

数根，那么。=.

10.若x为整数，3Vx<200,且x2+(x+l>是一个完全平方数，则整数x的值等于

x=6-3y,

11.实数x,y,z,满足则”的值为________

x+3y-2xy+2z2=0,

7

12.［幻表示不大于1的最大整数，方程［2幻+［3幻=也-5的所有实数解为.

13.若实数x,丫满足炉+：/+*+)')=墨则x+y的最大值为.

14.已知一个矩形的长、宽分别为正整数mh,其面积的数值等于它的周长的数值的

2倍，贝lja+匕=或________.

15.m,"为自然数，且满足『+9?+9?+2?+W=/,则及=.

16.不同的3个质数a,h,c满足R/c+a=2000,贝1」。加=.

三、解答题

17.已知a、b均为非负数，且满足3a+»-2c=0,4a+6-6c=-10,己知

S=3a+b7c,设为S的最大值和的最小值分别为x、y.求个的值.

x2+5xy+6y2=0

18.解方程组:

x+y=2

19.解方程：j3x-5-Jx+2=l.

20.如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为

8,我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562,•；5=5且6+2=8,...5562为

“等合数”，又如：对于四位数4432,•••4=4但3+2邦，所以4432不是“等合数”

(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；

(2)已知M为一个“等合数”，且〃能被9整除.将M的各个数位数字之和记为P

(M),将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q(M),并令G(M)=P

(M)x。(M),当G(M)是完全平方数(0除外)时，求出所有满足条件的M.

21.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点4km处，

然后继续前进，甲到8地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距8点2km处，求

A、8两地间的距离.

22.判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根.

(1)X3-64=0

(2)%4+x=0

(3)/=-9

(4)x3+x=1

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

【详解】

解若xN；,则原方程化为2x-l-x=2,解出x=3；若0<x<g,则原方程化为

-（2x-l）-x=2,

解出X=-；这与0<x<；矛盾、方程无解；当X40时，原方程化为一（2x-l）+x=2,解出

X——1.

综上知原方程有两个实数解：x=3或x=-1.故选B.

2.A

【解析】

【分析】

【详解】

利用Y+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x?+y2+z2-xy-xz+yz^=O,把原方程组转化为解不

定方程3盯z=-36.

因为d+y3+z3一3xyz

=(x+y+z)(^x2+y2+z2-xy-yz-zx)

=0,

所以J+y'+z?=3盯z,从而得3盯z=-36,

g|Jxyz=-12.

因此x,y,z中一定是两正一负，且x+y+z=0.

X12=1x1x12=1x2x6=Ix3x4=2x2x3,

则上述两种组合中，只有12=1x3x4符合条件.

=卜

X1,X=1,=3,x=3,1x=-4,x=-4,

卜=1，

所以y=3,或＜y=_4,或或，y=-4，或,y=1,或，y=3,

z=-4,z=3,[z=-4,z=1,z=3,z=1.

共有6个解.故选A.

答案第1页，共12页

3.C

【解析】

【分析】

【详解】

222

对A,H2(a+b-^c)-2(ab+bc+ca)=Q9

BP(a-b)2+(/?-c)2+(c-a)2=0,所以a-/?="一c=c-a=0,即a=〃=c,故A成立.

对B,因+瓜+/-3abe=(a+b+c)(a2+b?+c2+ab+bc+ca)

T»+c)[(j)2+(j)2+(…)2]=0,

所以a+Z?+c=0,或a=b=c,不一定有a=6=c,故B不成立.

对C,因a4+"+c4+/—2//一2C21=0,BP(a2-h2)2+(c2-d2)2=0,

所以a2=〃,°2=/,即0=±0,©=土"，不一定有a=b=c=",故C不成立.

对D,因(/—+2,)+(c4-2c2d②+d4)+2a2b2+Ic'd2-4abcd=0,

即(a?-b2)2+(c2-d2)2+2(ah-cd)2=0,故a?=b2,c2=d',ab=cd,

由此可推出a=8=c=d或a=-6=c=-4,不一定有a=6=c=4成立，故D不成立，所

以本题应选B、C、D.

(注：若限定a,。,c,d都为正数，则B和D成立，答案应选C.)

4.C

【解析】

【分析】

【详解】

由题设知A卜,-1].设5(不0),C(x2,0),二次函数的图象的对称轴与无轴的交点为

2

则BC=-x2\=+々)2—4%]工2=卜〃2—4x]=ha.

又AO=与BC，则闾考"，解得〃2=6或"=0(舍去).

答案第2页，共12页

所以，AABC的边长8C=J5/=26・

5.C

【解析】

【分析】

【详解】

x+y+z=100①

设1分、2分和5分的硬币分别取了x枚、y枚和z枚，依题意得

x+2y+5z=300②

__fx+z=100-4Z:

妙①得y+4z=2。。，可见是4的倍数，设…，则.=3。。-弘,解得

x=50-3k

<y=4k

z=50-k

因为x为非负整数,故50—3女20,即04416枚可取0,1,2,…,16中任何一个,有17种取

法，从而y可取0,4,8,…,64中任何一个，也有17种取法，故选C.

6.A

【解析】

【分析】

【详解】

解选4理由：设甲、乙、丙三个小组的学生人数分别为x,y,z.由题意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,则

x+y+z〈空=13”

1717

又233=17]+20y+21z<21x+21y+21z,则

233一2

V+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,y,z均为正整数，则

/+y+z=12或尤+y+z=13.

(i)当x+y+z=13时，由方程组

答案第3页，共12页

X17+二V+2。Z"=132,心233消去得3y+4ZM,此方程无正整数解.

(ii)当x+y+z=12时，由方程组

x+y+z=12,

消去Z,得4x+y=19,此方程有正整数解.

17x+20y+21z=233

故x+y+z=12,即三个小组共有学生12人.

y+z=12,人

实际上，由于x,y,z均为正整数，并结合方程组4-9,可解得

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

7.B

【解析】

【分析】

【详解】

设取出的球中白球、红球、黑球的个数分别为X,y,Z,则x+y+z=10,24x48,

2<y<5,0<z<3.按z=0,1,2,3依次枚举可得(x,y,z)等于(5,5,0),(6,4,0),

(7,3,0),(8,2,0)；(4,5,1),(5,4,1),(6,3,1),(7,2,1)；(3,5,2),(4,4,2),(5,3,2),

(6,2,2)；(2,5,3),(3,4,3),(4,3,3),(5,2,3)共16组解.故选B.

8.C

【解析】

【分析】

【详解】

设三个连续的正整数分别为〃，“+1(〃为大于1的整数).当一次项系数是或

〃时，4均小于零，方程无实数根；当一次项系数是〃+11时，

A=(n+1)2-4n(n-1)=-3(n-1)2+4.

因为〃为大于1的整数，所以，要使ANO,w只能取2.

当〃=2时，方程/+3》+2=0,2/+3%+1=0均有整数根，故满足要求的(a,b,c)只有

两组：(1,3,2)、(2,3,1).

9.1,3,5

【解析】

答案第4页，共12页

【分析】

【详解】

解若。=0,则15=0,矛盾，故原方程化为

a2x2-（3a2-8a）x+（2a-3）（<2-5）=0,即卬-（2。-3）］卬-（。-5）］=0,

a-（2a-3）

_（2”2-3a）］+［-（/-"）］=_（3/-84）

故当a=L3或5时，原方程至少有一个整数根，所以应填：1,3,5.

10.20或119

【解析】

【分析】

【详解】

设/+*+1)2=巴则(2X+1)2=2/_I.

令”=2x+l,则I?-2V2=-1.

其为佩尔方程，其基本解为(%％)=(1,1).

其全部正整数解可由““+v„V2=(%+%血丁用得到.

其中，(%,甘)=(7,5),(的,%)=(41,29),(%,匕)=(239,169),%>400.

故》=20或119.

11.9

【解析】

【分析】

【详解】

解卜=6-3%①

[x+3y-2xy+2z2=0.②

答案第5页，共12页

①代入②得(6-3y)+3y-2(6-3y)y+2z2=0,

即6y2-i2y+6+2z2=0,

即6(y-l)2+2z2=0,

所以y=l,z=0,代入①得x=6-3=3,于是谈心=32*=9.故填9.

13"

⑵12日市

【解析】

【分析】

【详解】

由2x-1v[2x]<2x,3x-\<[3x]W3x及己知方程得

7171735

5x-2<8x——W5xo—<xW—=—<8x——<—.

226226

7

因为8X-Q=[2幻+[3幻为整数，所以，

7

8x—=1,2,3,4,5.

2

及”曰911131517

解得工二一，一，一，一，一.

1616161616

经检验，只有13?17是已知方程的解.

1616

13.3

【解析】

【分析】

【详解】

由丁+丫3+；（X+丫）=_^可得（犬+田卜2-孙+力+（（_¥+〉）=日，

即。+小2-孙+9+£）端.①

令x+y=Z,注意到》2_孙+/+!=卜_怖）+2/+1>0,故x+y=Z>0.

又因为/一个+y'!=（x+y）2—3个+?故由①式可得二一3孙人》

所以

孙

3k

答案第6页，共12页

,31tI。

于是，x,y可看作关于，的一元二次方程及出1a2一（）的两根，

3k~

731,15

r-r-txlkT--k---

所以△=（-»—4•—4―2.>0«

3k

化简得二+"30W0,即伏-3冷2+3々+10）V0,所以0<&〈3.

故x+y的最大值为3.

14.2518

【解析】

【分析】

【详解】

根据题意,得必=2（2〃+26）,

即ab-4。=4。，

,4b16

则n。=---=4A+-----.

b-4b-4

因为小8均为正整数，且。>〃，所以6-4一定是16的正约数.

当匕-4分别取1,2,4,8,16时，代入上式得：

匕-4=1时，b-5,a-20；

。_4=2时，人=6,4=12；

万_4=4时，b=S,a=8（舍去）；

。一4=8时，〃=12,。=6（舍去）；

6一4=16时，b=20,a=5（舍去）.

因此a+6=25或18.

故应填25,18.

15.84

【解析】

【分析】

【详解】

原方程可化为“2_帚=167,

即（〃-ni）（n+m）=1x167.

因为"-机与〃+加奇偶性相同，Hn-m<n+m,所以

答案第7页，共12页

\n—m=\,

[n+m=167,

解得〃=84.

16.222

【解析】

【分析】

【详解】

由ab'c+a=2000，得a(/，'c+1)=2000,

所以2000能被a整除.

又因为。是质数，所以a只能取2或5.

当a=2时，氏=999,

即氏=3,x37.

所以匕=3,c=37.

当a=5时，63c=399.

因为399=3x7x19,所以b,c无整数解.

所以赤'=2x3x37=222.

17.180

【解析】

【分析】

【详解】

f3a+28-2c=0K①

解-4

6c=-10K②

由(2)x2-(1)得a=2c—4(3)

把(3)代入(2)得b=6-2c

a=2c-4>0

因为a、b、c均为非负数，所以b=6—2c・N0,2<c<3.

c>0

S=3。+b—7c=-3c—6

Sg=T2,Smin=-15,Ay=180

答案第8页，共12页

%=4X=3

18.2

X=-2必=-1

【解析】

【分析】

先把方程组中的第一个方程转化为两个二元一次方程，再和方程组中的第二个方程组成二

元一次方程组，求解即可.

【详解】

x2+5孙+6y之=0①

解：＜

x+y=2(2)

由①得：(x+2y)(x+3y)=0,

.,.x+2y=0③或x+3)，=0④，

卜+3y=0

由②⑨②④联立得方程组

[x+y=2

x+2y=0

解方程组

x+y=2

柳右产组卜+3y=o俎尸2=3

解万桂组1c，得11,

[x+y=2，2=-1

所以原方程组的解为：[*=；，

E=-2[y2=-l

【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，把二次方程转化为两个一次方程，是解决此类题目常

用的办法.解决本题亦可变形组中的一次方程，代入二次方程先求出其中一个未知数的

值，再求另一个未知数的值.

19.x=7

【解析】

【分析】

令1)+2=1可化原方程为产_11一/=1，两边平方解方程，验根即可；

【详解】

由方程，3x-5-Jx+2=1,

答案第9页，共12页

x+2>05____

可得1°un,令JX+2=t，贝卜20,则f2=x+2,x=F-2,3x-5=3凡11,所以原

[3x-5>03

方程可化为13t271T=1,

即折-1=，+1,平方可得3『-ll=『+2f+l,

即r-f-6=0,求得f=-2(舍去)，或£=3,

即Jx+2=3,求得x=7,故原方程的解为x=7.

【点睛】

本题考查了无理方程的解法，注意方法的灵活运用.

20.⑴6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由见解析

(2)5580,5508,5535,5553

【解析】

【分析】

(1)根据“等合数”的定义判断，即可求解；

(2)设"的千位和百位数为m十位数为b,则个位数为8/,其中。为0<姓9的整数，

〃为0W后8的整数，可得P(M)=为+8,。(M)=|8—如|,从而得到G(M)=

(2«+8)x|8-2*|,0<|8-2^|<8,再由M能被9整除.可得2〃+8能被9整除，从而得到

〃=5,再由G(M)是完全平方数(0除外)可得到|8-»|=8或2,即可求解.

(1)

解：6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由如下：

V6=6,但2+7邦,

••.6627不是“等合数”，

V1=1且3+5=8,

All35是“等合数”；

⑵

解：：例为一个“等合数”，

.♦.可设M的千位和百位数为。，十位数