2020年中考数学金榜冲刺卷（河南专版）（三）（解析版）

2020年中考数学金榜冲刺卷（河南专版）（三）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.—2020的倒数是（）

11

A.2020B.-2020C.------D.-----

20202020

【答案】C

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答即可.

【详解】解：—2020的倒数是：一——

2020

故选：C.

【点睛】本题考查了倒数的定义，属于应知应会题型，熟知乘积为1的两个数互为倒数是关

键.

2、用科学记数法表示数523万，结果正确的是（）

A.523xl（y>B.5.23x104C.52.3xl05D.5.23xl06

【答案】D

【解析】

【分析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axlOl其中l<|a|<10,n为整数，表示

时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于I.当

该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前

0的个数（含小数点前的1个0）.

【详解】解：523万=5230000一共7位,从而5230000=5.23x1（）6

故选：D.（）

3、在以下四个标志中，只是中心对称图形的是（）

A.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念求解即可.

【详解】解：斗、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

3、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

4、下列运算正确的是()

A.a3*a2=a5B.(a2)3=«5C.D.(a+b)2=a2+b2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据同底数累乘法法则、幕的乘方法则、完全平方公式等逐一进行求解判断即可.

【详解】A.a3a2=a5(同底数幕相乘，底数不变，指数相加)A正确；

B.(a2)3=a6(骞的乘方,底数不变,指数相乘)B错误;

C.a3+a3=2a3(合并同类项时，只把系数相加，字母和字母的指数不变)C错误；

D.(a+b)2=a2+2ab+b2D错误；

故选A.

【点睛】本题考查了累的运算法则、合并同类项、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算

法则是解题的关键.

5、某校九年级“经典咏流传“朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成绩各不相同，

其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生

成绩的统计量是（)

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

【答案】A

【解析】

【分析】

15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了

解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断

是否进入前8名，故应知道中位数的多少.

故选：A.

【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量.

6.如图，ZkABC内接于。O,ZOBC=40°,则/A的度数为（）

A.80°B,100°C,110°D.130°

【答案】D

【解析】

【分析】

连接OC,然后根据等边对等角可得：ZOCB=ZOBC=40°,然后根据三角形内角和定理可

得NBOC=100。，然后根据周角的定义可求：Z1=260°,然后根据圆周角定理即可求出NA

的度数.

【详解】解：连接OC,如图所示，

A

VOB=OC,

.,.ZOCB=ZOBC=40°,

；.NBOC=I()0°,

VZ1+ZBOC=360°,

AZ1=260°,

VZA=—Zl,

2

AZA=130°.

故选D.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角是其圆心角的一半.

7.如图，点A是双曲线丫=&在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A

x

若四边形ABCD的面积是8,则k的值为（）

C.2D.-2

【答案】D

【解析】

点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，四边形ABCD是矩

形.•四边形ABCD的面积是8,.Mxl-kf,解得|k|=2.

又；双曲线位于第二、四象限，...kVO..,.k=-2.故选D.

8、在矩形ABC。中放置了一个直角三角形EFG,/EFG被AO平分，若NCEF=35°,

则NE”/的度数为（）

A.55°B.125°C.130°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据矩形的性质可得AD〃BC,然后根据平行线的性质可得NHFE的度数，再根据角平分线

的定义可得/“FG的度数，再根据三角形的外角性质即可求出结果.

【详解】解：•.•四边形ABCD矩形，

J.AD//BC,

：.NHFE=/CEF=35°,

•••/£FG被AO平分，

NHFG=NHFE=35°,

：./G=90°+35°=125°.

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质等知

识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.

k

9.已知正比例函数y=2x与反比函数），=—（厚0）的图象交于A、B两点，AB=2石，则k

x

的值是（）

A.2B.1C.4D.石

【答案】A

【解析】

【分析】

设点B的坐标为（n,2n）,则点A的坐标为（-n,-2n）,由两点间的距离公式结合AB=26，

即可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k

值，此题得解；

【详解】解：设点B的坐标为（n,2n）,则点A的坐标为（-n,-2n）,

贝UAB=_“）2+J”_2〃）2=26n.乂因为AB=2逐,

所以n=l所以B（1,2）,

将B（1,2）代入、=工，求得k=2故选：A

x

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、掌握正、反比例函数的图象以及反

比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

10、如图所示，正方形ABC。的边长为4,点P,Q分别为边cr>,AO的中点，动点E从点

A向点5运动，到点8时停止运动；同时，动点尸从点P出发，沿P-Q运动,

己知点E,F的运动速度相同，设点E的运动路程为的面积为>,则能大致表示>

【答案】A

【解析】

【分析】

分段求出^AEF的面积，根据函数解析式判断即可.

【详解】由题意知:DP=DQ=2,

；.DP+DQ=4=AB,

•.•点E、F同时同速开始运动，点E到点B时停止运动；同时，动点尸从点尸出发，沿

PfOfQ运动,

二点E与点F运动路程相等,

当点F在PD上运动，即0<九<2时，y=--AEx4=2x,此时是一次函数;

2

当点F在DQ上运动，即2<xW4时，如图，AF=4+2-x=6-x,

1

X2

/.y--•AE-AF--x(6-x)-2-+3x，此时是抛物线,开口向下,且对称轴为x=3,

故选：A.

二、填空题（每小题3分，共15分）

2x+3>5

11.不等式组｛.c,的解集是_____.

3x-2<4

【答案】l<x<2.

【解析】

【分析】

首先分别解出两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大：同小取小；

大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可.

【详解】由2x+3<5得x<l，

由3x-2>4得x>3，

.••不等式组无解，

故答案为无解.

考点：本题考查的是解一元一次不等式组

点评：解答本题的关键是掌握好求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大

中间找；大大小小找不到.

12、从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率

是.

【答案】1

【解析】

【分析】

先得出从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，一共有四种情况，再证明这四

种情况下得出的四边形都是等腰梯形，然后根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：如图，从正五边形ABCD的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，可得到

四边形BCDE,CDEA,DEAB,EABC,ABCD,•共四种情况.

连接BE,

,/五边形ABCDE是正五边形，

，BC=DE=CD=AB=AE,

根据多边形的内角和(n-2)xl据。得:

ZA=ZABC=ZC=ZD=ZAED=(5-2)X18°°=108°，

5

AZABE=ZAEB=—(180°-ZA)=36°,

2

ZCBE=ZABC-ZABE=72°,

.,.ZC+ZCBE=180°,

；.BE〃CD,

•••四边形BCDE是等腰梯形.

同理，可证四边形CDEA,DEAB,EABC,ABCD也都是等腰梯形，

从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是:

4

-=1.

4

【点睛】本题主要考查对多边形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，概率

公式，平行线的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

13、如图，。。为AABC的外接圆，ZA=72°,则NBCO的度数为

J

【答案】18,

【解析】

【分析】

连接0B,根据圆周角定理求出/BOC=2NA=144。，再根据等腰三角形的定义求出答案.

【详解】连接0B,

•/ZA=72°,

.../BOC=2NA=I44°,

VOB-OC,

ZBCO=1(180-144)=18',

故答案为：18°.

【点睛】此题考查圆周角定理，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟记

圆周角定理并运用解题是此题的关键.

14、如图，在人45。中，CA=CB,ZACB=90°,AB=2,点D为AB的中点，以点D

为圆心作圆心角为90。的扇形EDF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为

B

/\F

A

C

E

__.._711

【答案】———

【解析】

【详解】如解图，连接CO,过点。作DMJ_3C于点M,DN人AC于hN.

设£>E交AC于点”，DF交BC于点G,

•.•C4=CB，ZACB=90°,点。为A8的中点，DM工BC,DNA.AC,

DC=-AB=l,四边形DMQV是正方形，.•.OM=Y2，

22

_90^XP_£

“扇形皿.360~4

ZGDH=ZMDN=90°,

：.ZGDM=ZHDN,

ZDMG=NDNH

在ADMG和△DAW中，《OM=ON,

4GDM=NHDN

:ADMG珏DNH(ASA),

=

S四边形DCC”=S止方形OMCV~，

15.在RA4CB中，ZACB=90，AC=2BC=4,点P为AB中点，点。为AC边上不

与端点重合的一动点，将A4PZ）沿PD折叠得AEPD，点A的对应点为点E，若DELAB,

则的长为.

,5

ZT\\C

E

5-y/i或+5

【答案】

22

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，延长功＞交A3于尸，由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得

AP=PE=SN4=4,由锐角三角函数可求器=装,可求P尸的氏,可得AE的

长，再由锐角三角函数可求解.

【详解】解：如图，延长££＞交AB于尸，

A

vZACB=90°.4c=2BC=4,

・•.BC=2,AB=yjAC2+BC2=716+4=26，

:点尸为AB中点,

AP＜，

•••将^APD沿PD折叠得^EPD,DEYAB

\AP=PE=y/5»ZA=ZE，

\,BCPF

\sinA=----=-----

ABPE

2_PF

.•韭飞

：.PF=1.

\AF=B1.

、，AFAC

\cosA==

ADAB

.・・将皿。沿PD折叠得AEPD，

/.ZA=Z£，AD=DE，AP=PE=居，

、.a.口BCPF

\sinA=sinE==,

ABPE

2PF

,室=和

:,PF=1,

\AF=岳1，

QtanA=tanE,

.BC_DF_PF_£

-AC~~AF~~EF~2J

••・斯=2，0尸=亚口，

2

\非+5

\DE=-------=AD，

2

故答案为：三叵或叵吨

22

【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的

关键.

三'解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16、（8分）已知仪=：,求式子（』-----二一的值.

m3m+nm-nm-n~

.,2m6

【答案】----

n5

【解析】

【分析】

53

先根据分式混合运算的运算法则将原式进行化简，再将一n=/变形为lY一l=2后，整体代入

m3n5

即可得出结果.

【详解】解：，一—•+二=双根-〃),+〃),——

2

m+几m-n/n-rT(优+〃)(/%-〃)+n)

-2mn(m+n)(m-n)

(m+n)(m-n)n~

2m

n

n5m3

••,一—，_♦♦,—._

m3n5

一，36

二原式=_2xg=一歹

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握基本运算法则是解题的关键.

17.(9分)某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量

t(单位：小时)，采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0Wt<2,

2<t<3,3$t<4,仑4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据

绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题:

各种等级人数占调查

总人数的百分比统计图各种等级人数的条形统计图

(1)求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整;

（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足20tV4的人数；

（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量

都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不

同小组的概率.

3

【答案】（1）30,图见解析；（2）1000人；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x=30,再利用A等级的人数除以它所占

的百分比得到调查的总人数为200人,然后分别乘以30%和20%得到B等级和C等级人数，

再将条形统计图补充完整；

（2）满足2SV4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、C两等级所占的百分比

的和即可；

（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20

种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解.

【详解】解：（1）VX%+15%+I0%+45%=1,

x=30；

♦.•调查的总人数=90+45%=200（人），

，B等级人数=200x30%=60（人）；C等级人数=200xl0%=20（:人），

各种等级A数的条形统计图

（2）2500x（10%+30%）=1000（人）,

所以估计每周课外阅读时间量满足20<4的人数为100（）人;

（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为:

甲甲甲乙乙

甲甲乙乙甲甲乙乙甲甲乙乙甲甲甲乙甲甲甲乙

共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，

123

所以选出的2人来自不同小组的概率=一=

205

【点睛】考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图；4.列表法与树状图法.

18、（9分）如图，AABC为。。的内接三角形，为。。的直径，在线段OC上取点。

（不与端点重合），作OGLBC,分别交AC、圆周于E、尸，连接AG，已知AG=EG.

（1）求证：AG为。。的切线：

（2）已知AG=2,填空：

①当NAEG="时，四边形ABO尸是菱形；

②若OC=2Z）C，当AB=时，AAGE为等腰直角三角形.

【答案】（1）证明见解析；（2）①60°；②4桓.

【解析】

【分析】

（1）连接04,OF,AF,利用已知条件和圆的基本性质证明ZGEA+ZACO=90°,即可得

到直线AG是€）0的切线；

（2）①假设四边形A8O厂为菱形，易得AAOB为等边三角形，可得ZABC=120。，可得

NACB=3（）°,即可得出答案；

②假设AAGE为等腰直角三角形，可得NA£G=NDEC=NZ）CE=45°,可得：AEDC

和△班。都是等腰三角形，可证：四边形AODG为矩形，由OC=2OC,可得

OD=DC=AG，可证△AGEMACDE,计算可得4E=EC=Ji4G=2j5,即可得

出答案.

【详解】证明：（1）如图，连接0AoEAF,

-.AG=GE,

ZGAE=ZGEA,

DG_LBC,

;.NGDC=90。,

.-.ZACO+ZDEC=90°,

NDEC=NGEA,

NGEA+NACO=90。，

-.OA=OC,

ZCAO=ZACO,

ZC4O+ZG£A=90°,

即NG4O=90°

-.-OA半径，

.1AG为。。的切线；

（2）答案为：60°；40.提示如下:

①若四边形A8O厂为菱形，

AB-AO,

又•.•">=80,

.•.A4QB为等边三角形，

.'.ZABC=60°，

.•.ZAC8=9()°—60°=30°,

ZAEG=ZDEC=900-30°=60°：

②如图所示，若AAGE为等腰直角三角形，

ZAEG=ZDEC=ZDCE=45°,

，A£DC和ABAC都是等腰三角形，在等腰向八区4。中，AO为斜边中线,

ZAOC=90。，

ZAOC=Z.ODG=ZAGE=90°,

，四边形AQDG为矩形，

-.OC=2DC,

OD-DC——AG,

ZAGE=NEDC=90°,ZAEG=/DEC,AG=DC

.*.MGE=AC£>E,

AE=EC=CAG=2及■

r.AB=AC=24E=4上•

故答案为：60；4V2-

【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的性质、等边三角形、等边三角形的判定等，作

出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键.

19.(9分)如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数>=入+人与坐标轴交于A、B

m

两点，反比例函数)=一(x>0)经过一次函数上一点C(2,a).

x

(1)求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图像；

(2)依据图像直接写出当x>0时不等式"+8>%的解集；

X

(3)若反比例函数y=一与一次函数y=h+人交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造

x

x

【解析】

【分析】()

(1)读出A,B两点的坐标，将A.B坐标代入直线解析式，求出直线的解析式，然后求出点

C的坐标，将C点坐标代入＞=%,利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，然后

x

描点画出反比例函数的图象；

(2)结合图象读出不等式的解集；

(3)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.

解(1)由图知点A坐标为(0,4),点B的坐标为(8,0),一次函数了=履+。经过A、B

两点,

b=4

0=8k+b

k=—

解得：，2,

b=4

一次函数解析式为：y=-gx+4,

•••y=—；x+4经过点C

(2,a),

・・.a=—1+4=3，，点C坐标为（2,3）,

ni

・・•反比例函数丁=一经过点C（2,3）,

x

6=2x3=6，

...反比例函数解析式为：>=9；

X

（2）描绘出反比例函数）=%（x>0）的图像如下：

x

m

依据函数图像可得，当x>0时，不等式丘+〃>一的解集为2<x<6：

x

（3）由图像可知点C的坐标为（2,3）,点D的坐标为（6,1）,

依据勾股定理可得©D=亚彳=26，已知矩形面积为10的情况下，分类讨论：

若以CD为边构造矩形，则矩形的另一边为有；若以CD为对角线的情况下构造矩形，此

时矩形为正方形，得其边长为JI6,故构造符合题意的矩形共有两个，如图所示.

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法

求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.

20（9分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块。型钢板；用I块台型钢板可制成1

块C型钢板和3块。型钢板.现准备购买A、8型钢板共100块，并全部加工成C、。型

钢板.要求C型钢板不少于120块，。型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（X为

整数）

（1）求A、8型钢板的购买方案共有多少种？

（2）出售C型钢板每块利润为100元，。型钢板每块利润为120元.若将C、。型钢板

全部出售，请你设计获利最大的购买方案，并求出最大利润.

【答案】（1）有6种购买方案；（2）获利最大的购买方案是购买A型钢板20块，3型钢板

80块；可获得最大利润是43200元.

【解析】

【分析】

（1）根据“C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块”建立不等式组，即可得出结论;

（2）先建立总利润和x的关系，由一次函数性质即可得出结论.

【详解】解：（1）•••购买A型钢板x块（X为整数）

购买3型钢板（100—x）块（X为整数）

'2x+100-XN120

依据题意得:

x+3(100-%)>250

解①得x220解②得25

，不等式组的解集是20WXW25,X可以取20、21、22、23、24、25所以有6种购买方案

（2）设总利润为w,根据题意得，

卬=100（2x+100-x）+120（x+300-3%）

•*.140A：+46000

V-140<0,

/.当x=20时，wmax=-l40x20+46000=43200元，

即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大.

答：获利最大的购买方案是购买A型钢板20块，8型钢板80块.

可获得最大利润是43200元.

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的

等量关系是解题关键.

21（10分）如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱C点观察篮板

上沿D点的仰角为45。，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54。，点C与篮板下

沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，求篮板下沿E点与地面的

距离.（结果精确到0.1m,参考数据：sin54°~0.80,cos54°=0.60,tan54°~1.33）

【答案】篮板下沿E点沿与地面的距离为2.9米.

【解析】

【分析】

过D作DFJ_AB的延长线于F,连接CE,根据题目已知条件可以得到CE=DE=1.05,四边

形CBFE为矩形，利用矩形的性质CE=BF=L05,最后利用解直角三角形即可得出结果.

【详解】解：如图所示，过D作DFLAB的延长线于F,连接CE.

在RtADEC中，/DCE=45°,DE=1.（）5（米），

••.CE=DE=1.05（米），

；ZCBF=ZF=ZCEF=90°,

...四边形CBFE为矩形，

；.CE=BF=1.05（米），

；.AF=AB+BF=2.96（米），

在RtZkAFD中，AF=2.96（米），ZDAF=54°,

由DF=AF-ian54。得DF=3.94（米），

AEF=3.94-1.05-2.9（米）.

答：篮板下沿E点沿与地面的距离为2.9米.

【点睛】本题主耍考查的是解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关

键.

22(10分)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt^PMN中，ZMPN=90°.

(1)如图1,若点P与点O重合且PMLAD、PN1AB,分别交AD、AB于点E、F,请直

接写出PE与PF的数量关系；

(2)将图1中的RSPMN绕点O顺时针旋转角度a(0°<a<45°).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗，若成立，请证明；若不成立，请说明

理由；

②如图2,在旋转过程中，当/DOM=15。时，连接EF,若正方形的边长为2,请求出线段

EF的长;

③如图3,旋转后，若RJPMN的顶点P在线段OB上移动(不与点0、B重合)，当BD=

3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m.BP时，请直接写出PE与

PF的数量关系.

?[7

【答案】(1)PE=PF；(2)①成立，理由参见解析；②，③PE=2PF,理由见解析；PE=

(m-1)PF.

【解析】()

【分析】

(1)根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；

(2)①根据正方形的性质和旋转的性质证明AFOAg/XEOD,得到答案；

②作OGJ_AB于G,根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；

③过点P作HP±BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关

系，根据解答结果总结规律得到当BD=m-BP时，PE与PF的数量关系.

【详解】解：（1）PE=PF,理由：

•..四边形ABCD为正方形，

.\ZBAC=ZDAC,又PMJ_AD、PN1AB,

.*.PE=PF；

（2）①成立，理由：

VAC,BD是正方形ABCD的对角线，

.,.OA=OD,ZFAO=ZEDO=45°,ZAOD=90°,

.,.ZDOE+ZAOE=90°,

,/ZMPN=90°,

，NFOA+ZAOE=90°,

.,.ZFOA=ZDOE,

ZFAO=/EDO

在AFOA和AEOD中，（QA=。£>,

ZFOA=乙DOE

.'.△FOA^AEOD,

图2

②作OG_LAB于G,

VZD0M=15°,

.•,ZAOF=15°,则NFOG=30。,

VcosZFOG=,

OF

1_2>/3

T

又OE=OF,

.2A/6

..ERPF=-------；

3

③PE=2PF,

如图3,过点P作HPLBD交AB于点H,

则AHPB为等腰直角三角形，ZHPD=90°,

，HP=BP,

VBD=3BP,

；.PD=2BP,

；.PD=2HP,

又,/ZHPF+ZHPE=90°,ZDPE+ZHPE=90°,

ZHPF=ZDPE,

又；NBHP=/EDP=45°,

.".△PHF^-APDE,

.PFPH\

,~PE~~PD~2'

即PE=2PF,

由此规律可知，当BD=m・BP时，PE=(m-1)«PF.

【点睛】本题考查的是正方形的性质和旋转变换，掌握旋转变换的性质、找准对应关系正确

运用三角形全等和相似的判定和性质定理是解题的关键，正确作出辅助线是解答本题的重点.

23、(11分).如图，抛物线丁=公2+笈+0经过点A(_2,5),与x轴相交于3(—1,0),

。(3,0)两点，

(1)抛物线的函数表达式;

(2)点。在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将&BCD沿沿直线8。翻折得到

△BC'D,若点D'恰好落在抛物线的对称轴上，求点D'和点。的坐标;

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点。在抛物线的对称轴上，当ACPQ为等

边三角形时，求直线的函数表达式.

【答案】(1)y=V—2%一3：(2)点。的坐标为；(3)直线的函数表达式

"\/3\/3yfiy/3

为y=——x+——或丁=-----x-------

33.33

【解析】

【分析】

(1)根据待定系数法确定函数关系式即可求解;

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点“，则”点的坐标为(1,0),BH=2.

由翻折得C'B=CB=4,求出CH，的长，可得NC'BH=60°,求出DH的长