【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估（附答案）

综合质量评估

（第一至第四章）

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知圆的方程是（x-2¥+（y-3尸=4,则点P⑶2）满足（）

A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外

［解析］选C.因为（3-2）2+（2-3）2=2<4,故点P⑶2）在圆内.

2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相交且过圆心D.相离

【解析】选D.圆的方程为（x-1y+（y-1）2=4,

则圆心到直线的距离d二错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。>2,所以

直线与圆相离.

【补偿训练】（2015・郑州高一检测）对任意实数k,圆C:（x-3）2+（y-4）2=13与直

线/:kx-y-4k+3=0的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.与k取值有关

【解析】选A.对任意实数k,直线/:kx-y-妹+3=0恒过定点（4,3）,而

（4-3）2+（3-4）2<13,故定点（4,3）在圆C内部,所以直线与圆相交.

3.（2015・乌海高一检测）已知空间两点Pi（-1,3,5）,P2（2,4,-3）,则|PRI等于

A.错误!未找到引用源。B.3错误!未找到引用源。C.错

误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。

【解析】选A.错误!未找到引用源。=错误！未找到引用源尸错误!未找到引用源。.

4.已知两圆的方程是x2+y2=l和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是

()

A.外离B.相交C.外切D.内切

【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.

所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。=5,又C+Q=5,所以两圆外切.

5.设/,m,n表示三条直线，a,B,丫表示三个平面,给出下列四个结论：

①若Z±a,m±a,则/〃m;

②若meB,n是/在B内的射影,m±Z,则m±n;

③若mua,m〃n,贝n〃a；

④若aJ_y,BJ_y,则aJ_B.其中正确的为()

A.①②B.①②③C.①②③④D.③④

【解析】选A.①正确，②可用线面垂直证明，正确，③中，n可能在a内；④中，可

能有a,B相交或平行，故选A.

6.(2015•临汾高一检测)垂直于直线y=x+l且与圆x2+y2=l相切于第一象限的直

线方程是()

A.x+y-错误!未找到引用源。=0B.x+y+l=0

C.x+y-l=0D.x+y+错误!未找到引用源。=0

【解析】选A.由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由错误！未找到引用源。

=1,得k=±错误！未找到引用源。.由切点在第一象限知，k=错误！未找到引用源。.

故所求的直线方程y=-x+错误!未找到引用源。，即x+y-错误!未找到引用源。=0.

【补偿训练】过点(2,1)的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线

方程为()

A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0

C.x+3y-5=0D.x-3y+l=0

【解析】选A.依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程，得错误!

未找到引用源。=错误！未找到引用源。，即3x-y-5=0.

7.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()

A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)

C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)

【解析】选C.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).

【变式训练】(2014・宁波高一检测)已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射

影,则线段PQ的长等于()

A.2B.3C.4D.5

【解析】选D.由题意，Q(3,4,0),故线段PQ的长为5.

2222

8.与圆0,:x+y+4x-4y+7=0和圆02:x+y-4x-10y+13=0都相切的直线条数是

()

A.4B.3C.2D.1

【解析】选B.两圆的方程配方得,01：(x+2V+(y-2尸=1,。2：(x-2)2+(y-5)2=16,圆心

0,(-2,2),。2(2,5),半径n=l,r2=4,所以10QI=错误!未找到引用源。=5,n+n=5.

所以10i021=ri+r2,故两圆外切，故有3条公切线.

9.已知直线I与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线I的方程为()

A.4x+3y+5=0B.4x+3y-5=0

C.3x+4y+5=0D.3x+4y-5=0

【解析】选B.直线/的斜率与直线4x-3y+5=0的斜率互为相反数，且过点错误!

未找到引用源。，所以直线/的方程为4x+3y-5=0.

【拓展延伸】直线关于直线对称问题的两种情形

(1)两直线平行，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解.

(2)两直线相交.一般解题步骤是:①在所求曲线上选一点M(x,y);②求出这点关

于中心或轴的对称点M'a。,义)与M(x,y)之间的关系；③利用f(x°,y°)=0求出曲

线g(x,y)=0.

10.(2015•大连高一检测)当点P在圆x?+y2=l上变动时，它与定点Q⑶0)的连线

PQ的中点的轨迹方程是()

A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=l

C.(2x-3)2+4y2=lD.(2x+3)2+4y2=l

【解析】选C.设P(x“yi),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=错误!

未找到引用源。，y=错误！未找到引用源。，所以xi=2x-3,y1=2y.又点P(xi,y)在

圆x2+y2=l上,所以(2x-3)?+4y=1.

故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.

11.(2015•浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积

是()

俯视图

A.8cm1B.12cm3C.错误!未找到引用源。cm3D.错误！未找

到引用源。cm3

【解析】选C.由题意得，该几何体为一正方体与四棱锥的组合，所以体积V=2?+

错误！未找到引用源。X2?X2=错误！未找到引用源。(cm3).

12.(2015•潍坊高一检测)方程错误!未找到引用源。=lgx的根的个数是()

A.0B.1C.2D.无法确定

【解析】选B.设f(x)=错误！未找到引用源。，g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x)

与g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两

个函数的图象.

由图可得函数f(x)二错误！未找到引用源。与g(x)=lgx仅有1个交点，所以方程

仅有1个根.

【延伸探究】曲线y=l+错误!未找到引用源。与直线y=k(x-2)+4有两个交点，

则实数k的取值范围是()

A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。

【解析】选D.如图所示，曲线y=l+错误！未找到引用源。

变形为x2+(y—1)2=4(y21),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当直线/与半圆相切

时，有错误！未找到引用源。=2,解得k=错误！未找到引用源。.当直线/过点(-2,1)

时，k二错误!未找到引用源。.因此，k的取值范围是错误！未找到引用源。＜kW错

误！未找到引用源。.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线

±)

13.已知AABC的三个顶点为A(l,-2,5),B(-l,0,l),C(3,-4,5),则边BC上的中

线长为.

【解析】BC的中点为D(1,-2,3),则|AD|二错误!未找到引用源。=2.

答案:2

14.已知直线a和两个不同的平面a,B,且a_La,aJ_B,则a,B的位置关系

是.

【解析】垂直于同一直线的两个平面互相平行.

答案：平行

15.已知一个球的表面积为36arcm',则这个球的体积为cm!.

【解析】设球的半径为r,因为4111=36口，所以r=3,故体积为错误！未找到引用

源。nr3=36n.

答案：36n

16.(2015•大庆高一检测)方程x?+y2+2ax-2ay=0表示的圆,①关于直线y=x对称;

②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过

原点,其中叙述正确的是.

【解析】已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a#=0),圆心坐标为(-a,a),它在直

线x+y=0上，所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.

答案:②

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤)

17.(10分)已知直线/i：ax+by+l=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,

⑴若b=0且/山力求实数a的值.

⑵当b=3且IJ/M,求直线A与之间的距离.

【解题指南］(1)当b=0时，直线4的斜率不存在，此时即，2的斜率为

0,a-2-0.

(2)A〃/2,即AH-AZBFO且BG-BzG-0,求出a的值，利用平行线间距离公式d二错

误！未找到引用源。求解.

【解析】(1)当b=0时，&:ax+1=0,由/」心知a-2=0,解得a=2.

⑵当b=3时，点ax+3y+1=0,

当&〃/2时，有错误!未找到引用源。解得a=3,

此时，乙的方程为：3x+3y+1=0,

12的方程为:x+y+3=0,即3x+3y+9=0,

则它们之间的距离为d二错误！未找到引用源。;错误！未找到引用源。.

18.(12分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.

【解析】连接0P,则OP_LBC,设P(x,y),当x丰0时，降57,即错误！未找到引

用源。•错误！未找到引用源。=7.

即x2+y2-4x=0.①

当x=0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC中点P的轨迹方程为

X2+y2-4x=0(在已知圆内).

【一题多解】由上述解法可知OP_LAP,取0A中点M,则M(2,0),|PM|二错误！未找

到引用源。|0A|=2,由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的

圆.

故所求的轨迹方程为(x-2)2+yM(在已知圆内).

19.(12分)(2015,滁州高一检测)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m-，-l=0与圆

N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐

标.

【解析】由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1).两圆的

方程相减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m2-1-0.

因为A,B两点平分圆N的圆周，所以AB为圆N的直径，所以AB过点N(-1,-1).

所以2(m+1)X(-1)-2X(-1)-m2-1=0,解得m=-1.

故圆M的圆心M(-1,一2).

20.(12分)(2015-湖北高考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与

底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.

如图,在阳马P-ABCD中，侧棱PD_L底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接

DE,BD,BE.

⑴证明:DEJ_平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖麻,若是,写出其每个面的直

角(只需写出结论)；若不是,请说明理由.

⑵记阳马P-ABCD的体积为Vb四面体EBCD的体积为V2,求错误!未找到引用源。

的值.

【解析】(1)因为PD_L底面ABCD,所以PD±BC.由底面ABCD为长方形，有BC±CD,

而PDACD=D,所以BC_L平面PCD.DEc平面PCD,所以BCJ_DE.又因为PD=CD,点E

是PC的中点，所以DE_LPC.而PCABC=C,所以DE_L平面PBC.由BC_L平面PCD,DE

_L平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖

麻，其四个面的直角分别是NBCD,ZBCE,ZDEC,ZDEB.

(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，

所以V尸错误！未找到引用源。SABS・PD=错误！未找到引用源。BC-CD•PD;

由⑴知，DE是鳖襦D-BCE的高，BC_LCE,

所以V2二错误！未找到引用源。S-CE・DE=错误！未找到引用源。BC-CE•DE.

在RtAPDC中，因为PD=CD,点E是PC的中点，

所以DE=CE=错误！未找到引用源。CD,

于是错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=4.

21.(12分)(2015•广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的

平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.

p

AR

⑴证明：BC〃平面PDA.

(2)证明:BCJ_PD.

(3)求点C到平面PDA的距离.

【解析】(1)因为四边形ABCD是长方形,

所以BC〃AD,

因为BCQ平面PDA,ADu平面PDA,

所以BC〃平面PDA.

(2)因为四边形ABCD是长方形，

所以BC_LCD,

因为平面PDC_L平面ABCD,

平面PDC0平面ABCD=CD,BCc平面ABCD,

所以BCJ•平面PDC,

因为PDu平面PDC,

所以BC_LPD.

⑶取CD的中点E,连接AE和PE,

因为PD=PC,所以PE±CD,

在RtAPED中，PE二错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。二错误！未找

到引用源。，

因为平面PDC_L平面ABCD,

平面PDCCl平面ABCD=CD,

PEu平面PDC,

所以PEJ■平面ABCD,

由⑵知:BCJ_平面PDC,

由(1)知:BC〃AD,

所以ADJ■平面PDC,

因为PDu平面PDC,所以AD_LPD,

设点C到平面PDA的距离为h,

因为V三棱惟C-PDA二V三棱推P-ACD,

所以错误！未找到引用源。S“DA•h=错误！未找到引用源。SAACO-PE,

即卜二错误！未找到引用源。二错误！未找到引用源。二错误！未找到引用源。，

所以点C到平面PDA的距离是错误！未找到引用源。.

22.(12分)(2015•杭州高一检测)已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其

中kWT.

(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上.

(2)证明曲线C过定点.

⑶若曲线C与x轴相切，求k的值.

【解析】(1)原方程可化为小+卜)2+。+2卜+5)2=5&+1)2.因为k彳-1,所以

5(k+1)2>0.

故方程表示圆心为(-k,-2k-5)，半径为错误！未找到引用源。