人教新版八年级下学期《17.1勾股定理》同步练习卷

人教新版八年级下学期《17.1勾股定理》

同步练习卷

一.填空题（共19小题）

1.在凸四边形ABCD中，AD=«,AB+CD=2«,ZBAD=60",ZADC=120°.M是

BC的中点，则DM=.

2.如图所示，A、B是4X5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1,

请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C

3.如图，已知，直角aABC中，NACB,从直角三角形两个锐角顶点所引的中线

的长AD=5,BE=2V10-则斜边AB之长为.

4.如图，有一个直角三角形ABC,ZC=90",AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P、

Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时,

才能使4ABC与△QPA全等.

5.如图,P是长方形ABCD内一点，已知PA=3,PB=4,PC=5,那么PD?等于

6.如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜

边长为_______

7.直角三角形的两条直角边分别为3和4,则斜边上的高为.

8.若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8,则第三边长为.

9.如图，在4ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,AD=10cm,AC=8cm,那么D

点到直线AB的距离是cm.

10.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2,8cm2,

则以斜边为边长的正方形的面积为cm2.

11.两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为.

12.课堂上，老师给同学们出了一道题："有一直角三角形的两边长分别为6cm

和8cm,你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；"第三边是10cm.”你认为

第三边应该是cm.

13.已知：如图，^ABC中，过AB的中点F作DELBC,垂足为E,交CA的延

长线于点D.若EF=3,BE=4,NC=45。，则DF：FE的值为.

14.直角三角形的两条直角边长分别为亚cm、VlOcm,则这个直角三角形的斜

边长为,面积为.

15.如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为Si，S2,

S3,且8=4,S2=8,则S3=.

16.已知：如图，以RtZkABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边

AB=5,则图中阴影部分的面积为.

17.已知，如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD，AB于点D,若AC=4,BC=3,

则CD=.

18.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即

正方形的顶点），在这个4X4的方格纸中，找出格点C,使AABC是等腰三角

形，这样的点C共有个.

19.如图，三个正方形A,B,C如图放置，且正方形A,B的面积分别是2cm2

和3cm2,则正方形C的面积等于cm2.

Avsssa

二.解答题（共31小题）

20.如图，^ABC中，ZC=RtZ,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按

（:1A玲B玲C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.

（1）出发2秒后，求4ABP的周长.

（2）问t为何值时，4BCP为等腰三角形？

（笛图1）（备图2）（笛图3）

21.如图，Rt^ABC的斜边AB=5,cosA=2,

5

（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线I（保留作图痕迹，不要求写作法、证

明）；

（2）若直线I与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长.

22.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其

直角边长为a,b.利用这个图试说明勾股定理.

C

2n3.如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看.

24.在^ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为泥、屈、任，求这个三角形

的面积.小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的

边长为1）,再在网格中画出格点4ABC（即4ABC三个顶点都在小正方形的

顶点处），如图I所示.这样不需求^ABC的高，而借用网格就能计算出它的

面积.这种方法叫做构图法.

（1）△ABC的面积为：.

（2）若4DEF三边的长分别为旄、«、V17-请在图2的正方形网格中画出相

应的ADEF,并利用构图法求出它的面积.

（3）如图3,一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方•形PRBA,RQDC,

QPFE的面积分别为13、10、17

①试说明△PQR、△BCR、ADEQ>4AFP的面积相等；

②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积.

25.如图，在Z\ABC中,D为BC边上的一点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,

求CD的长.

26.如图，^ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.

A

RD

27.在^ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为泥，国,任，求这个三角形

的面积.小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的

边长为1),再在网格中画出格点4ABC(即4ABC三个顶点都在小正方形的

顶点处)，如图I所示.这样不需求^ABC的高，而借用网格就能计算出它的

面积.

(1)△ABC的面积为.

(2)若4DEF的三边DE、EF、DF长分别为近，后，-正，请在图2的正方形

网格中画出相应的^DEF,并求出4DEF的面积为.

(3)在4ABC中，AB=2巡，AC=4,BC=2,以AB为边向^ABC外作^ABD(D

28.如图，AD±AB,BC±AB,AB=20,AD=8,BC=12,E为AB上一点，且DE=CE,

求AE.

29.如图，在^ABC中，NBAC=90°,AB=20,AC=15,AD±BC,垂足为D,

(1)求BC的长；

(2)求AD的长.

30.如图，已知^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,BE±CE,垂足为E,AD±CE,垂

足为D,

(1)判断直线BE与AD的位置关系是；BE与AD之间的距离是线段

的长；

(2)若AD=6cm,BE=2cm,求BE与AD之间的距离及AB的长.

31.如图，将在Rt^ABC绕其锐角顶点A旋转90。得到在Rt^ADE,连接BE,延

长DE、BC相交于点F,则有NBFE=90。，且四边形ACFD是一个正方形.

(1)判断AABE的形状，并证明你的结论；

(2)用含b代数式表示四边形ABFE的面积；

(3)求证：a2+b2=c2.

32.如图，在一△ABC中,ZACB=90",AC=BC=10,CD是射线，ZBCF=60",点

D在AB上，AF、BE分别垂直于CD(或延长线)于F、E,求EF的长.

33.如图，直角坐标系中，已知A(2,4),B(5,0),动点P从B点出发，沿

BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动.两点同时出

发，速度均为每秒1个单位.设从出发起运动了x秒.

(1)点P的坐标是(,);

(2)点Q的坐标是(,);

(3)x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？

（1）图中格点正方形ABCD的面积为；

（2）若连接AC,则以AC为一边的正方形的面积为；

（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你

所画的正方形面积为.

35.在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为泥、国、后,求这个三角形

的面积.

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,

再在网格中画出格点AABC（即AABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如

图1.这样不需求^ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将4ABC的面积直接填写在横线上；

思维拓展：

（2）我们把上述求4ABC面积的方法叫做构图法.若AABC三边的长分别为&a、

V13a>V17a（a>0）,请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）

画出相应的^ABC,并求出它的面积填写在横线上；

探索创新：

（3）若4ABC中有两边的长分别为&a、V10a（a>0）,且^ABC的面积为2a2,

试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符

合题意的4ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填

写在横线上

图3

36.已知：在四边形ABCD中，ND=90°,DC=3cm,AD=4cm,AB=12cm,BC=13cm.求

四边形ABCD的面积.

37.已知a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2+b2)(a2+b2+l)=12,

求这个直角三角形的斜边长.

38.阅读下面的文字，解答问题:

大家知道证是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此加的小数部分我们不

可能全部地写出来，于是小明用血-1来表示我的小数部分，你同意小明的表

示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为后的整数部分是1,将这个数减去其

整数部分，所得的差就是小数部分.

又例如：因为«<近<瓜即2<<7<3,

所以校的整数部分为2,小数部分为(巾-2).

请解答：

(1)如果任的整数部分为a,那么a=.如果3+后b+c,其中b是整

数，且0<(:<1,那么b=,c=.

(2)将(1)中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度.

39.如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶

点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上.

(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1,求：

①△ABQ,△BCM,△CDN,4ADP的面积；②正方形ABCD的面积；

(2)设MB=a,BQ=b,利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你

能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程.

40.在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽.它

的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个

直角二角形。A1A2是等腰二角形，且。A1=A1A2=A2A3=A3A4=...=A8A9=1,请你先

把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条

41.如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角

形的两直角边分别为a、b,斜边为c.你能利用这个图形验证勾股定理吗？

42.在数轴上作出表示浜，后的点.

43.在Rt^ABC中，NACB=90°,CD，AB于D,AC=6,BC=8,

(1)求AB的长;

(2)求CD的长.

44.如图已知，每个小方格是边长为工的正方形，求^ABC的周长(结果用根号

表示).

45.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1,在图1中画出一个面积是3的

直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.

46.问题背景：在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为泥、历、任，求

这个三角形BC边上的高.

杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),

再在网格中画出格点4ABC(即4ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).借

用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高.

(1)请在正方形网格中画出格点△ABC；

(2)求出这个三角形BC边上的高.

47.美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，

他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请

你利用此图形验证勾股定理.

48.在图中，BC长为3,AB长为4,AF长为12,求正方形的面积.（其中NFAC

和NABC都为直角.）

49.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点.

-6-5-4-?-101456>

50.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线

的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的

勾股边.

（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名

称,.

（2）如下图（1）,请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角

线相同的所有勾股四边形OAMB.

（3）如图（2）,以^ABC边AB作如图正三角形ABD,NCBE=60°,且BE=BC,

连接DE、DC,ZDCB=30°.求证：DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边

形.

人教新版八年级下学期《”.1勾股定理》同步练习卷

参考答案与试题解析

一.填空题（共19小题）

1.在凸四边形ABCD中,AD=V3>AB+CD=2次,ZBAD=60",ZADC=120°.M是

BC的中点，则DM=1.5.

【分析】本题要靠辅助线的帮助.根据题意画出图形，作出辅助线，根据各边的

关系求解.

【解答】解：如图，延长DM、AB,交于E,在AE上取中点F,连接DF.

VZBAD=60°,ZADC=120",

AZBAD+ZADC=180",

，AB〃CD,

AZEBM=ZDCM；

在AEMB和△DMC中，

'NEBM=NDCM

<BM=CM,

（对顶角相等）

.♦.△EMB之△DMC,

.\BE=CD；

VAB+CD=2V3-点F为EA的中点，ZBAD=60°,AD=AF=EF=«,

AZEDA=90°；

根据勾股定理可得ED=JjAD,・..ED=3

为ED的中点

.\MD=1.5.

【点评】本题是一道根据三角形的中线定义结合勾股定理求解的综合题，有利于

锻炼学生综合分析、解答问题的能力.

2.如图所示，A、B是4X5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1,

请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C

【分析】根据等腰三角形的性质在表格中找出C点.

【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C2、C3；以B为圆

心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点G，

22=

/.BC1=AC2=AC3=AB=Jg+3V13>

•••因为AB的中点不在格点上，因此AB的垂直平分线不会经过格点

.'.Ci、C2、C3是所要找的点.

【点评】心动不如行动，赶快拿起圆规，画出图形，根据数形结合思想，利用全

等三角形的性质解答此题.

3.如图，已知，直角△ABC中，ZACB,从直角三角形两个锐角顶点所引的中线

的长AD=5,BE=2同，则斜边AB之长为星一

【分析】设BC=x,AC=y,根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得

斜边的长.

【解答】解：设BC=x,AC=y

X2+^-=40

根据题意运用勾股定理，得2

-^-+y2=25

整理得，白2号/=65,BPx2+y2=52

斜边的长是2任.

【点评】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定

理列方程组.求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直

角边的平方和，运用勾股定理即可.

4.如图，有一个直角三角形ABC,ZC=90°,AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P、

Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=5或10

时，才能使aABC与△QPA全等.

【分析】分两种情形分别求解即可.

【解答】解：当AP=5时，RtAABC^RtAQPA,

理由是：•.•/C=90。，AQ±AC,

AZC=ZQAP=90°,

当AP=5=BC时，

在RtAABC和RtAQPA中，J,

lBC=AP

ARtAABC^RtAQPA(HL),

当AP=AC=10,AQ=BC=5时，△ABC2△PQA,

故答案为：5或10.

A

o

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有:

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，

不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.

5.如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3,PB=4,PC=5,那么PD?等于18.

【分析】可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根

据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计

算.

【解答】解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；

由勾股定理得：

PA2=a2+b2,PC2=c2+d2；

PB2=b2+c2,PD2=a2+d2；

因此：PA2+PC2=PB2+PD2,

即：32+52=42+PD2,解得，PD2=18.

【点评】此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、

PD四条线段之间的数量关系至关重要.

6.如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜

边长为

A；A,

A,A

1

o1A

【分析】分别求出图中所给直角三角形的斜边长，找出规律，即可解答.

【解答】解：根据图形，运用勾股定理知，

第一个直角三角形的斜边是血，

第二个直角三角形的斜边是向，

推而广之，则第n个直角三角形的斜边是房，

所以第10个直角三角形的斜边长为

故答案为：VT1-

【点评】熟练运用勾股定理，能够根据具体数据进行推广，发现规律.

7.直角三角形的两条直角边分别为3和4,则斜边上的高为2.4.

【分析】根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高.

【解答】解：由勾股定理知，斜边C=J^M=5,设斜边上的高为h,根据直角

三角形的面积公式得：

SA=lx3X4=lx5h,

22

h=^-=2.4.

5

【点评】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解.

8.若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8,则第三边长为10或2区.

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边,

所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利

用勾股定理求解.

【解答】解：设第三边为X,

(1)若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，6?+82=x2解得：x=10,

(2)若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+X2=82,解得x=2折.

故第三边长为10或2行.

故答案为：10或2b.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确

哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.

9.如图，在4ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,AD=10cm,AC=8cm,那么D

点到直线AB的距离是6cm.

【分析】首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距

离相等，得D到AB得距离等于CD的长.

【解答】解：VAD=10cm,AC=8cm

/.CD=6cm

：AD平分NCAB

；.D点到直线AB的距离=CD=6cm

【点评】运用了勾股定理以及角平分线的性质.

10.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2,8cm2,

则以斜边为边长的正方形的面积为15cm?.

【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b,斜边是c,由勾股定理得出

a2+b2=c2,求出以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=15cm2,以斜边

c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2,代入求出即可.

【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b,斜边是c,

则由勾股定理得:a2+b2=c2,

则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=7cm2+8cm2=15cm2,

以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2=15cm2,

故答案为：15.

【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积，关键是得出c2=a2+b2=15cm2,题

目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

11.两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为4或遥乙.

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，

因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长

必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：当5是斜边时，第三边长=序m=4；

当5是直角边时，第三边长=便行=A/而.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确

哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.

12.课堂上，老师给同学们出了一道题："有一直角三角形的两边长分别为6cm

和8cm,你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；"第三边是10cm.〃你认为

第三边应该是10或2,再—cm.

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边,

因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的

长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：8是斜边时，第三边长信¥=2bcm；

8是直角边时，第三边长j62+g2=10cm.

故第三边应该是10或2j7cm.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确

哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.

13.已知：如图，^ABC中，过AB的中点F作DELBC,垂足为E,交CA的延

长线于点D.若EF=3,BE=4,ZC=45°,则DF：FE的值为7：3.

【分析】过点A作AGLBC,垂足为G,根据DELBC,F是AB中点，利用三角

形中位线定理求出EG=BE=4,AG=2EF=6,再根据NC=45。,DE±BC,求出DF,

然后即可得出答案.

【解答】解：过点A作AGLBC,垂足为G,

VDEXBCAEFZ/AG

又是AB中点

.•.E也为BG中点,EF=BF=1

AG-AB'^

AEG=BE=4AG=2EF=6

又•.•NC=45°，AG=GC=6

AEC=EG+GC=10

又：NC=45°DE±BC

ADE=EC=10

，DF=DE-EF=10-3=7

ADF：FE=7：3.

故答案为：7：3.

【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三

角形中位线定理求出EG=BE=4,AG=2EF=6.

14.直角三角形的两条直角边长分别为«cm、/cm,则这个直角三角形的斜

边长为2，Ecm,面积为.

【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可.

【解答】解：由勾股定理得，

直角三角形的斜边长2=2V§cm；

直角三角形的面积=*X&x5=J^cm2.

故填2「cm,V5cm2.

【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积.

15.如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为％,S2,

【分析】根据勾股定理的几何意义解答.

【解答】解：..♦△ABC直角三角形，

BC2+AC2=AB2,

222

VS^BC,S2=AC,S3=AB,SI=4,S2=8,

.*.S3=SI+S2=12.

故答案为12.

【点评】此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之

间的关.

16.已知：如图，以RtZkABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边

AB=5,则图中阴影部分的面积为—空

【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形

的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直

角三角形的面积.则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的

面积的2倍.

【解答】解：在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,AB=5,

=1(AC2+BC2+AB2),

4

=^AB2,

2

=1X52

2

=25

2,

故答案为25.

2

【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角

三角形的面积之间的关系.

17.已知，如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD，AB于点D,若AC=4,BC=3,

则CD=丝

一5一

【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可.

【解答】解：：AC=4,BC=3,

；.AB=5,

SAABC=—X3X4=1X5XCD,

22

.•.CD=丝.

5

故答案为：11.

5

【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用.

18.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即

正方形的顶点），在这个4X4的方格纸中，找出格点C,使^ABC是等腰三角

形，这样的点C共有8个.

A

B

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出以AB为腰的等腰三角形的

个数和以AB为底边的等腰三角形的个数即可得出答案.

【解答】解：如图所示：

以AB为腰的等腰三角形共4个，其底边长为五而=2&的共有4个；

以AB为底边的等腰三角形共有4个，其中腰长为正的2个，腰长为2正的有2

个.

故答案为：8.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题

难易程度适中，适合学生训练.

19.如图，三个正方形A,B,C如图放置，且正方形A,B的面积分别是2cm2

和3cm2,则正方形C的面积等于5cm?.

【分析】先根据角之间的关系以及正方形的性质证明两空白三角形全等，然后根

据勾股定理即可解答.

【解答】解：如图所示

VZl+Z5=90°,Zl+Z2=90°,

/.Z5=Z2,同理N1=N3,

又FD=DE,.,.△FGD^AEDH,

可得，FG=DH,

由勾股定理的几何意义可知SA+SB=SC即2+3=Sj

【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边

的平方等于另外两边的平方和.这里边的平方的几何意义就是以该边为边的

正方形的面积.

二.解答题（共31小题）

20.如图，^ABC中，ZC=RtZ,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按

C玲A1B1C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.

（1）出发2秒后，求4ABP的周长.

（2）问t为何值时，4BCP为等腰三角形？

【分析】（1）根据速度为每秒1cm,求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的

长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长.

（2）因为AB与CB,由勾股定理得AC=4因为AB为5cm,所以必须使AC=CB,

或CB=AB,所以必须使AC或AB等于3,有两种情况，4BCP为等腰三角形.

【解答】解：（1）如图1,由NC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

.•.AC=4,动点P从点C开始，按（:玲A玲B玲C的路径运动，且速度为每秒1cm,

二出发2秒后,则CP=2,

VZC=90",

,,PB=J2,3

.♦.△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+V13；

（2）①如图2,若P在边AC上时，BC=CP=3cm,

此时用的时间为3s,△BCP为等腰三角形

②若P在AB边上时，有三种情况:

i）如图3,若使BP=CB=3cm,此时AP=2cm,P运动的路程为2+4=6cm,

所以用的时间为6s,4BCP为等腰三角形；

ii）如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm,

作CD，AB于点D,

在Rt^PCD中，PD=1.8,

所以BP=2PD=3.6cm,

所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm,

则用的时间为5.4s,ABCP为等腰三角形；

iii）如图5,若BP=CP,此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm

则所用的时间为6.5s,4BCP为等腰三角形；

综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，4BCP为等腰三角形.

A

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及

到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，4BCP

为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题.

21.如图，Rt^ABC的斜边AB=5,cosA=旦，

5

（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线I（保留作图痕迹，不要求写作法、证

明）；

（2）若直线I与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长.

【分析】（I）分别以点A,c为圆心，以大于LAC为半径画弧，两弧相交于点c,

2

D,过CD作直线I即可.

（2）所求线段DE等于BC的一半，那么根据题中的数据利用三角函数求出BC

即可.

【解答】解：(1)如图,

(2)因为直线I垂直平分线段AC,所以CE=AE,

又因为BCLAC,所以DE〃BC,

所以DE=1BC.

2

因为在Rt^ABC中，AB=5,cosA=3，

5

所以AC=ABcosA=5X2=3,

5

由BC=VAB2-AC2=752-32=4

得DE=2.

【点评】本题考查基本作图和利用三角函数来解决相关问题.

22.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其

直角边长为a,b.利用这个图试说明勾股定理.

QC

【分析】根据大正方形面积=四个相同直角三角形面积+小正方形面积，得C2=4

222

xlab+(a-b)2即得c=a+b,在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三

2

角形中，这个式子就是勾股定理.

【解答】解：•.•大正方形面积为：c2,直角三角形面积为Lab,小正方形面积为:

2

(a-b)2,

所以c2=4X—ab+(a-b)2,

BPc2=a2+b2,

在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理.

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，要认真理解勾股定理.

23.如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看.

【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，有中间的小正方形的面积等于大

正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理

的表达式.

【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积2卜；

(b-a)2=C-4X

化简得a2+b2=c2,

即证在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.

【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握

和运用.

24.在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为掂、阮、任，求这个三角形

的面积.小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的

边长为1),再在网格中画出格点4ABC(即4ABC三个顶点都在小正方形的

顶点处)，如图1所示.这样不需求^ABC的高，而借用网格就能计算出它的

面积.这种方法叫做构图法.

(1)△ABC的面积为：工.

—

(2)若4DEF三边的长分别为加、册、V17-请在图2的正方形网格中画出相

应的ADEF,并利用构图法求出它的面积.

(3)如图3,一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA,RQDC,

QPFE的面积分别为13、10、17

①试说明△PQR、△BCR、ADEQ>4AFP的面积相等；

②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积.

B

【分析】(1)画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩

形的面积减去矩形内除去所求三角形的面积即可.

(2)构造时取(1,3)(2,2)(1,4)即可.

(3)过R作RHLPQ于H,设PH=h,在Rt^PRH和Rt^RQH中，利用勾股定理

列式表示出PQ,然后解无理方程求出h,从而求出△PQR的面积，再根据六

边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计

算即可得解.

【解答】解：(1)根据格子的数可以知道面积为S=3X3-1X3X2-1X1X2-1

222

X1X3=1；

2

故答案是：工；

2

(2)画图为

计算出正确结果S4DEF=2X4-上(1X2+1X4+2X2)=3；

2

(3)①如图3,过R作RHLPQ于H,设RH=h,

在R3RH中，PH寸PR2_RH2=后不，

在RtARQH中，QH=JRQ2_RH2=日不,

'PQW]3_h2+4]0_h2=5，

两边平方得，13-h2+10-h?+2、辰彳•几不=17,

整理得、13/2,V10-h2=2+h2,

两边平方得，(13-h2)(10-h2)=4+4h2+h4,

解得叵，

34

.•.SAPQR=1PQ.RH=H,

22

同理，SABCR=SADEQ=SAAFP=-^^>

.♦.△PQR、ABCR>△DEQ、4AFP的面积相等；

②利用构图法计算出SAPQR=',

△PQR、△BCR、ADEQ>AAFP的面积相等，

计算出六边形花坛ABCDEF的面积为S正方形PRBA+S正方形RQDc+S正方形QPFE+4SA

PQR=13+10+17+4X=62.

却

【点评】本题是一种简单的求解三角形面积的算法，可以求出任意三角形的面积,

方便省时.

25.如图，^AABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,

求CD的长.

【分析】根据勾股定理的逆定理可判断出4ADB为直角三角形，即NADB=90°,

在RtAADC中利用勾股定理可得出CD的长度.

【解答】解：VAB=13,AD=12,BD=5,

.*.AB2=AD2+BD2,

...△ADB是直角三角形，ZADB=90°,

/.△ADC是直角三角形，

在RtAADC中，CD=^AC2_A[)2=9.

【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关

键是判断出NADB=90。.

26.如图，^ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.

【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形.AD在这两个直角三角形中，设

BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长.求得BD长，再根据勾股定理

求得AD长.

【解答】解：设BD=x,则CD=14-x,在Rt/XABD中,AD2+x2=132,

在RtAADC中,AD2=152-(14-x)2,

所以有132-X2=152-(14-x)2,

132-X2=152-196+28X-x2,

解得x=5,

在RtAABD中，AD=^132_52=12.

【点评】本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共

边找到突破点.主要利用了勾股定理进行解答.

27.在4ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为泥，风,万，求这个三角形

的面积.小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的

边长为1）,再在网格中画出格点4ABC（即4ABC三个顶点都在小正方形的

顶点处），如图1所示.这样不需求^ABC的高，而借用网格就能计算出它的

面积.

（1）4ABC的面积为3.5.

（2）若4DEF的三边DE、EF、DF长分别为近，任，后,请在图2的正方形

网格中画出相应的^DEF,并求出4DEF的面积为5.

（3）在4ABC中，AB=2掂，AC=4,BC=2,以AB为边向^ABC外作^ABD（D

与C在AB异侧），使4ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为

2d15或2后或次历

【分析】（1）如图1,运用正方形和三角形的面积公式直接求出4ABC的面积,

即可解决问题.

（2）如图2,类似（1）中的方法，直接求出4DEF的面积即可解决问题.

（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理直接求出即可解决问题.

【解答】

解：（1）如图1,△ABC的面积=32卷义3X2-1-x2X3X1

=9-3-1-1.5=3.5,

故答案为3.5.

⑵如图2,AiDEF的面积=3X4-/X4X1总X2X2总X3X2

=12-2-2-3=5.

故答案为5.

（3）如图3、4、5,分别求出CD的长度如下:

CD=2、/Y^或CD=2、/i^或CD=3-72>

故答案为2而或2后或又伤.

r丁F

「TTTTTrLTTTTT1

F十T

卜+++++T中卜+++++3

++十T

AAt<b+-K++4

十

十+T

+++T

++/i"++T

十

十-T，+++T

-I-，

1一-1

CB图3图4CR

图5

【点评】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；牢固掌握勾股定理是灵活运用、

解题的基础和关键.

28.如图，AD±AB,BC±AB,AB=20,AD=8,BC=12,E为AB上一点，且DE=CE,

求AE.

【分析】由勾股定理建立等式，进而求解直角三角形即可.

【解答】解：VDE=CE,.，.AD2+AE2=BC2+BE2,BPAE2+64=BE2+144,又AE+BE=20,

解得BE=8,AE=12,

【点评】熟练掌握勾股定理的性质，能够求解一些简单的计算问题.

29.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=20,AC=15,AD±BC,垂足为D,

(1)求BC的长；

(2)求AD的长.

Bn

【分析】(1)根据勾股定理来求BC的长度;

(2)利用面积法来求AD的长度.

【解答】解：(1)如图，•.•在^ABC中，NBAC=90°,AB=20,AC=15,

/.BC=^AB2+AC2=^2Q2+152=25,即BC的长度是25；

(2)如图，•在^ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,

.•._LAB・AC=LBC・AD,

22

.•.AD，'AC.

BC

又：AB=20,AC=15,BC=25,

.•.AD」"15=12,即AD的长度是12.

25

【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方

之和一定等于斜边长的平方.

30.如图，已知^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,BE±CE,垂足为E,AD±CE,垂

足为D,

(1)判断直线BE与AD的位置关系是平行；BE与AD之间的距离是线段ED

的长；

(2)若AD=6cm,BE=2cm,求BE与AD之间的距离及AB的长.

【分析】(1)在同一平面内，同垂直一条直线的两条直线相互平行；根据两平行

线间的距离定义进行填空；

(2)根据全等三角形的判定定理AAS推知4CBE之4ACD.则由全等三角形的性

质易证BE=CD,EC=AC,则BE与AD之间的距离ED=6-2=4(cm).

【解答】解：(1)VBEXCE,AD±CE,

，BE〃AD,即直线BE与AD的位置关系是：平行；BE与AD之间的距离是线段

ED的长度;

(2)VBE±CE,AD±CE,ZACB=90°,

AZl+Z3=90°,Z2+Z3=90°,

/.Z1=Z2,

:在ACBE与AACD中，

，ZBEC=ZCDA

<Z2=Z1，

BC=AC

.,.△CBE^AACD(AAS),

.\BE=CD,EC=AD,

...BE与AD之间的星巨离ED=6-2=4(cm).

又•AC=BC=A/36+4=V40,

AB=4\/5(cm).

故答案是：平行；ED.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理.注意：勾股定理应用

的前提条件是在直角三角形中.

31.如图，将在Rt^ABC绕其锐角顶点A旋转90。得到在Rt^ADE,连接BE,延

长DE、BC相交于点F,则有NBFE=90。，且四边形ACFD是一个正方形.

(1)判断AABE的形状，并证明你的结论；

(2)用含b代数式表示四边形ABFE的面积；

(3)求证：a2+b2=c2.

【分析】(1)利用旋转的性质得出NBAE=NBAC+ZCAE=ZCAE+ZDAE=90",AB=AE,

即可得出4ABE的形状;

(2)利用四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，即可得出答案；

(3)利用四边形ABFE面积等于RtABAERtABFE的面积之和进而证明即可.

【解答】(1)4ABE是等腰直角三角形，

证明：：RtAABC绕其锐角顶点A旋转90。得到在RtAADE,

AZBAC=ZDAE,

ZBAE=ZBAC+ZCAE=ZCAE+ZDAE=90°,

又：AB=AE,

•••△ABE是等腰直角三角形；

(2)•四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，

...四边形ABFE的面积等于:b2.

(3)•S正方形ACFD=S^BAE+SABFE

即：b2=—c2+—(b+a)(b-a),

22

整理：2b2=c2+(b+a)(b-a)

a2+b2=c2.

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识,

根据已知得出SIEWACFD=SABAE+SABFE是解题关键.

32.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=BC=10,CD是射线，NBCF=60°,点

D在AB上，AF、BE分别垂直于CD(或延长线)于F、E,求EF的长.

【分析】找到BC中点，连接EG,求证4CEG是等边三角形，则CE=5,在RtA

ACF中，根据CF=「AC2_AF2即可求得CF,根据EF=CF-CE即可求得EF.

【解答】解：设BC的中点为G,连接EG,贝UEG=2BC=CG=5.

又NBCE=60°,

AACEG是等边三角形，

即CE=5.

在Rt^ACF中，ZACF=90°-6