2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第10章两角和与差的正切

10.1.3两角和与差的正切

课程

能从两角和与走的正弦、余弦公式推中出两角和与用的正切公式*了解它们的内在联系.

标准

》基础认知•自主学习④

概念认知

两角和与差的正切公式

名称简记符号公式使用条件

两角和tan(a+P)=

a,P，a+BHk7r+Z)且

的T(a+p)tana+tanB

tana-tan0=1

正切1-tanatan

两角差tan(a-P)=兀

a,6.a-6Wk7r+—(k£Z)

2

的T(a-P)tana-tanP

.且

正切1+tanatan0tanortan

自我小测

1.设角。的终边过点(2,3),则tan。局二()

A.gB.-TC.5D.-5

选A.由于角0的终边过点(2,3),因此tan9=|，故tan-幻=

tan0-12-1

l+tan01435

12

2.tan10°tan20。+仍(tan10°+tan20°)等于()

A.*B.1C.小D.加

选B.原式=tan10°tan20°+小tan300(l-tan10°tan20°)=

tan10°tan200+1-tan10°tan20°=1.

3•已知tana+tanB=2,tan(a+B)=4,则tanatanB等于()

1

A2B1c2-D4

tana+tanp

选C.因为tan(a+|3)=-----------------=4且tana+tan0=2,所以

1-tanatanP

21

-----------------=4,解得tanatanB.

1-tanatan|3--------------------------------2

117t

4.求值：tan~n

兀兀1A/3

tan7-tan7I-

11几7146_____3_

tan="tan

~n12♦兀兀一

l+tan不an%l

=-2+小.

答案：-2+73

兀

5,已知tana=2,则tana+<

7C

（九）tana+tan42+1

tana+7=----------------=-----------

k4J.711.Oy]

1-tanatan4121

套空

口司3-•_J3

tan75°-tan15°

6.---------------------=.

1+tan75°tan15°

一

一

1

兀

兀

的值

一

P一-

n5=a+5

la4tan

兀

兀

为

一

因

一P

a+55

兀

兀

一

一p

a+5a+5

21

兀-

na+pnP一-

lata5543

21

兀

P一--22

554

》学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.已知cosa="1，且a唔，兀］，则tan'-a）等于（

11

A-B7c-

-7-7

选D.因为cosa=-5，且兀

所以sina=1,

sina3

所以tana=

cosa4

1-tana

所以tan-----------=7.

1+tana

2.已知a,p都是锐角,tana=1,tan|3=|，则a+p的值为()

71_71_71-兀

A.7B.TC.7D.7

2346

-1---—1

tana+tanP23

选C.tan(a+P)=------------------=-----Jy=1,

1-tana-tanBi

1-2X3

TT

又因为a,p都是锐角，所以a+pe(0,K),所以a+0=-

tan100+tan500+tan120°

3-tan10°tan50°的值等于()

A.-1B.1C.y[3D.-小

tan10°+tan50°

选D.因为tan60°=tan(10°+50°)=

1-tan10°tan50°

所以tan100+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°.

tan600-tan60°tan10°tan500+tan120°

所以原式二tanman50。=一山.

二、填空题

.若

4tanj-a=3,贝(Jtana的值为

7t

tana=tan

3

nit

tanQ-tanH-a小-3

1+tan亲an-a)'+小、3

_(小-3)(3小-1)

"(35)2-1

12-10^36-5^3

=26~13~-

6-5-J3

型室------

口木,13

5.tan72°-tan42°-rtan72°tan42°=.

原式=tan(72°-42°)(1+tan720-tan42°)-牙tan72°tan42°

=tan30°(l+tan72°tan42°)-tan30°tan72°tan42°=tan30°=看

圣索•让

口•7

11

求

p且pezn

-n=--a(兀

2la7\2a-p

的值•

11

为

因+n-nnez

a=n=n=-a兀

-p-p一p(-

(ap)la(ap)2la7\

11

2--7-

tan(a-P)+tan0

所以tana=tan[(a-份+因=—7一而11

--

27

又2a-B=a+(a-B),

11

+

3-2-

一.tana+tan(a-|3)

所以tan(2a-p)=tan[a+(a-p)]=----------------；--------11

1-tanatan(a-p)3-2-

=1.

1

nnG

n-a兀

>0lap7<0p

则。<-兀，,

所以a-Pe(-7T,0),

而tan(a-0)=3>0,则a-昨|-兀，-野，

结合用，贝隋2a-0£(-2兀，-兀),

7冗

所以2a-B=.

综合突破练

一、选择题

1.已知tan[a-竽)=|,则tana=()

A.7B.-7C.5D.-5

3兀

tana-tan五'

选B.因为tan[a-y]

,3兀

1+tanatan

tana+121

3,所以tana=-g.

1-tana

【加固训练】

sina+cosai(

制-------------=2，则tana+j=()

sma-cosa"'以

11

A.-2B.2C.-2D.2

sina+cosa1

选C.因为7-------------

sina-cosa2，

tana+1i

所以-------=5,所以tana=-3.

tana-1人

n

/xtana+tanT

所以tan[a+^J=----------------

1-tanatan4

-3+11

=1-(-3)=

1JT.

2.已知tana=lg(10a),tan「=lg公，且a+p,，则实数a的值

为()

A.1B.七C.1或4D.1或10

兀tana+tanB

选C.因为a+p=T,所以tan(a+p)=；=1,

今1-tanatanp

tana+tanP=1-tanatan0,

即1g(10a)+1g1=1-1g(10a)lg1,1=1-1g(10a)lg1,所以1g

ddd

(10a)lg|=0,lg(10a)=0或1g[=0得2=+或2=1.

4'行

3.已知a,p为锐角,tana=,cos(a+P)=-、，则tan(a-p)

=()

24也

A•7a-5

2

C・-JYD.-2

选C.因为a,p为锐角，

所以a+PG(0,7i).

、

又因为cos(a+B)=-*A/5,

所以sin(a+p)=yj1-cos2(a+P),

因此tan(a+B)=-2.

、4

因为tana=Q,

bi、।-2tana24

所以tan2a=;丁=-亍，

1-tanza'

因此,tan(a-P)=tan[2a-(a+P)]

tan2a-tan(a+P)2

1+tan2atan(a+p)”

【加固训练】

1-tan15°

1.计算等于（)

1+tan15°

A.乎B.小C.11

,2

1-tan15°tan45°-tan15°

选A.--------------=--------------------------

1+tan1501+tan45°tan15°

必

=tan30°=.

sin15°-cos15°

2.----------------------=.

sin150+cos15°

sin150-cos15°tan150-1

sin150+cos15°tan150+1

tan15°-tan45°

=-----------------------=tan(15°-45°)

1+tan15°tan45°

-J3

=tan(-30°)=~'

林索,-近

口木•3

4.(多选)已知tana,tanp是方程x*12*4+3小+4=0的两个根，且宁

<a<5,-3<P<^,则()

A.tana+tanP=3小B.tan(a+P)=A/3

2兀

C.tana-tan0=4D.a+p=-

选BCD.由根与系数的关系得：

tana+tanP=-3小,tana-tanP=4,

所以tana<0,tanP<0,

tana+tan0-

所以tan(a+p)=--------------=--------=小,

1-tanatanB1-4

T，7i兀nit

又-5<a<5，-5<np<5，

且tana<0,tan附0,

所以-7i<a+p<0,

2兀

所以a+B=-y.

二、填空题

sin70+cos15°sin8°

5.----------------------=.

cos70-sin15°sin8°

sin(15°-8°)+cos15°sin8°

原式二

cos(15°-8°)-sin15°sin8°

sin150cos8°,…

=----77^-----=tan15

cos15cos8

tan45°-tan30°

=tan(45°30°)=------------------=2-小.

1+tan45°tan30°

答案：2-小

6.(l)tan(-75°)=；

tan740+tan760

(2)-----------------=.

1-tan74°tan76°

(l)tan75°=tan(450+30°)

tan45°+tan30°

1-tan45°tan30°

1+近rr

1+33+小12+6小心

=2+小’

1-3

所以tan(-75°)=-tan75°=-2-5.

(2)原式=tan(74°+76°)=tan150°=-.

答案：⑴-2-小(2)-芈

三、解答题

7.已知△ABC中tanB+tanC+小tanBtanC=事,日小tanA

+小tanB+1=tanAtanB,判断△ABC的形状.

由tanA=tan[K-(B+C)]=-tan(B+C)

tanB+tanC@-StanBtanC

=--------------=--------------------=-q3.

tanBtanC-1tanBtanC-1

而0。<A<180°,所以A=120°.

tanA+tanBtanA+tanB

由tanC=tan[K-(A+B)]=-------------------

tanAtanB-1•\/3tanA+StanB

当

而0。<C<180。，所以C=30°,所以B=30°.

所以△ABC是顶角为120。的等腰三角形.

》素养培优练④

(60分钟100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分)

1.已知tana=2,则sin(a-皆sin[a+皆=()

33「33

A-_ToB-WC-_5D,5

选B.sin(a-幻sin(a+彳)=

(.71.(.71.九)

Isinacos-cosasmI-Isinacos+cosasmI

1,、1sin2a-cos2a\tan2a-1i4-1

=5(sin2a-cos2aJ=5x------------------=-x------------=-x------

//sin2a+cos2a」tan2a+124+1

=lo,

2.已知顶点在原点的锐角a绕原点逆时针转过会后，终边交单位圆

于P（-；,y），则sina的值为（）

2啦-小2陋+小

A.B.

66

276-12^6+1

C.

6D・-^

选D.因为锐角a绕原点逆时针转过卷后，终边交单位圆于

y=¥或-平（舍去），p

2=1,

717T1

则sina+6,,cosa+6.

-33，

兀7T71三

故sina=sina+6-=sina+6cos

6,6

2#+l

71.Tt2/S1

cosa+6,sini3x2X26-

7177fl

3.已知cosa-6,4-sina=,则sin的值为（)

ACD.-；

-2B.坐-4

兀cosa+|sma二挈

选C.因为cosa-6,+sina=2

1

cosa+^S1na=|.

2-

4.在AABC中，A=£,cosB=，则sinC=()

空2^5

A也BR或

-5,5C.-5D.5

选D.因为A=：，所以cosA=sinA=乎

又cosB=,0<B,所以sinB=至铲，又C=兀-(A+B),

、丽、叵

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=为x-21^-+

37102小

X10-5

、_兀

5.已知函数f(x)=cos2x-cos(p-sin(2x+7r),sintp在x=§处取得最小

值，则函数f(x)的一个单调递减区间为()

27r兀)

B.

匹©

D.6'3)

选D.因为f(x)=cos2x-cos(p-sin(2x+n)-sin(p=

cos2x-cos(p+sin2x-sin(p=cos(2x-(p

且f(x)在x/处有最小值,

所以亍-(p=2k7r+7i,kGZ,

JTIT

所以(p=-3-2k;r,k£Z,取(p的一个值为-Q

所以f(x)=cos[2x+/J，令2k7r<2x+三<2kn+九,k£Z,

兀71

所以k兀-d<x<k7T+g,k£Z,令k=0,

所以此时单调递减区间为[w.

6.已知A,B,C是^ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x2

-5x+l=0的两个实数根，则4ABC是()

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.无法确定

选A.因为tanAJanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则tanA

51

+tanB=g,tanAtanB=,

tanA+tanB5

所以tan(A+B)==5,

1-tanAtanB2

所以0<A+B楼,得I<C<H,

所以△ABC是钝角三角形.

____YY__

7.(2021.全国乙卷)函数f(x)=sing+cosQ的最小正周期和最大值

分别是()

A.37r和啦B.3兀和2

C.6K和&D.6兀和2

xx

选C.由f(x)=sin+cos

可得f(x)他sin(泻)，故周期为T潦=y=6兀，最大值为

3

啦.

8.(多选)(2021・潍坊高一检测)若tanxi,tanX2是方程x2-kx+2=0的

两个不相等的正根，则下列结论正确的是()

A.tanxi+tanX2=-kB.tan(xi+X2)=-k

C.k>2啦D.k>2啦或k<-2啦

选BC.因为tanxi,tanX2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根，

所以tanxi+tanX2=k,tanxi-tanX2=2,

tanxi+tanX2

所以tan(xi+X2)==-k,

1-tanxi-tanX2

所以tanxi+tanX2>2-\/tanxi-tanX2=2蛆，

因为tanxi#tanX2,所以k>2啦.

9.(多选)下列式子中叙述正确的为()

A的加二磊

B.存在a、P,满足tan(a-P)=tana-tanp

C.存在a、P,满足tan(a+P)=tana+tanP

D.对任意a、P,tan(a+p)=tana+tan0

选ABC.tan-,A正确.

存在a=p=4,满足tan(a-p)=tana-tanp,B正确.

存在a=0,P=4,满足tan(a+p)=tana+tanp,C正确.对任意a、

tana+tanP

p,tan(a+p)=~,D不正确.

1-tanatanp

二、填空题(每小题5分，共15分)

10.已知tana=2,tanp=-3,其中0°<a<90°,90°<p<180°,贝!]

1八

7=________/a-P=________•

tan(a+阳

11-tanatanP

tan(a+0)tana+tanP

tana-tanP

因为tan(a-p)=---------------；=-1,

1+tanatanp

X0°<a<90°,90°<P<180°,

所以-180°<a-p<0°,所以a-p=-45°.

答案：-7-45°

11.已知角a,B的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，

若角a的终边经过点(2,1),cos(a+p)=|，且同，则

sinP=.

因为角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过

点(2,1),

所以sina=*,cosa=,又当〈],所以2k7r<a<2kjr+聿,

kGZ,

因为,引，所以2k兀<a+B<2kjr+专,k£Z,

因为cos(a+p)=1，所以sin(a+B)=|,

所以sin°=sin(a+0)-a=sin(a+B)cosa-

cosfa+B)sina4x^-，卓理.

答案:等

12.(2021•杭州高一检测)函数f(x)=2|sinx|-|cosx|的最小正周期

为f(x)的值域为

首先由f(x)=2|sinx|-Icosx|两项的系数特征知，周期是冗的正整数

倍，而f(x+兀)=2|sin(x+7i)|-|cos(x+TT)|=2|sinx|-|cosx|=f(x),故

最小正周期是兀；

最小正周期是兀，故只研究x£[0,7r]的值域即可.

当x£0,/时，f(x)=2sinx-cosx=

^5sin(x-(p),(cos(p=^,sin(p=^,

则x-好-<p,-<p212]1f(x)递增，故x-(p=-tp时，

f(x)min=小sin(-(p)=-y[5x4==-1,

当X-q=弓-<p时，f(x)max=y[5sin[j-(pj=y[5x泉=2,即值域

为[T,2]；

当x£g,兀时，f(x)=2sinx+cosx=小sin(x+<p),

则X+(P需+(P,兀+(P工/野,f(x)递减，故值域为f(兀)，电,

即[-1,2),

综上，f(x)值域为[-1,2].

答案：兀[-1,2]

三、解答题(每小题10分，共40分)

13.已知0<(14，J<p<0,且a,0满足sin01=乎,cosP=,

求a-仇

jrJr

因为0<a<2,-2<B<°，

且sina二cosp=

510

1-sin2a

VTb

io

,Tt兀.

由0<a<2,-2<B<0得,0<a-p<兀,

2垂3VibA/5

故cos(a-P)=cosacos0+sinasinP=5X10+5X

邛

jr

又cos(a-p)>0,所以a-p为锐角,所以a-.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a,

P,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐

标分别为*，喏.

⑴求tan(a+(3)的值；

⑵求a+2p的值.

【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出cosa,cosB,再求sin

a,sinp,从而求出tana,tanp,然后求tan(a+p),最后利用a+23

=(a+p)+p,求tan(a+2p),进而得到a+2P的值.

由条件得cosa=噂,co