初二数学上第1教学设计教案

第一章勾股定理

第1课时1.1探索勾股定理(1)

名师导学

1、创意引入

(1)H/AA8C的主要性质是：(NC=90°,用几何语言表示)

①两锐角之间的关系：

ZA+ZB=90°_______________________________

②若D为斜边中点，则斜边中线等于斜边的一半

③若NB=30°,则NB的对边和斜边：对边是斜边的一半

(2)思考：如图是2002年世界数学家大会的会标，也称“赵爽弦图”，揭示了直角三角形的边有怎样

的关系?

2、自主学习

思考：

(1)观察图l-loA的面积

是个单位面积；

B的面积是个单位

面积；

C的面积是个单位

面积。

(图中每个小方格代表一个单位面积)

面积A:9,B:9,C:18

(2)你能发现图1―1中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系吗？图1―2中的呢？SA+SB=Sc

(3)你能发现图1—1中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗？两直角边的平方和等于斜边的平方

(4)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说

明你的理由。成立

由此我们可以得出什么结论？可猜想：

命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

_a2+b2=c2»

勾股定理证明：

如图，剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

1,,

S正方形=_4x-ab+(b-a)=c-

2、知识应用

目标一：勾股定理中直角三角形三边的关系

例一：下列说法正确的是()

A.若a、b、。是△ABC的三边，则

B.若a、b、。是RtZ\ABC的三边，则。2+从=。2

C.若a、b、。是RtZXABC的三边，44=90°,则

D.若a、b、。是RtaABC的三边，ZC=90°,则/+/=。2

解析：只有才能应用勾股定理，并且斜边2=两条直角边2的和，切记不能认为a,b一定为直角边，c

一定为斜边。

答案：D

点评：习惯上认为a,b为直角边，c为斜边是易错点

追问：锐角三角形三边有什么关系？钝角三角形呢？勾股定理是直角三角形的边特有的关系吗？

答案：锐角三角形和钝角三角形的三边都满足：任意两边的和＞第三边，勾股定理只在直角三角形中适用。

变式：一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为。

答案：13cm或J119cm

目标二：利用勾股定理求边长

例二、在RtaABC中，ZACB=90°,CDLAB于D,AC=20,BC=15,

（1）求AB的长；

（2）求CD的长.

解析：（1）根据勾股定理AB=JAC2+BC2,代入计算即可；

（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长.

点拨：等面积法是求高的一种常用的办法

追问：若（2）问是求AD的长呢？

答案：16

变式：如图，在^ABC中，BD1AC,垂足为D,AB=AC=9,BC=6,求BD的长.

解析：作AELBC于E,由等腰三角形的性质得出BE=CE=J_BC=3,由勾股定理求出AE,证明△AECwA

2

BDC,得出对应边成比例，即可求出BD的长为4衣.

目标三：勾股定理的简单应用

例3、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为遮近.

~2~

解析：根据三角形的面积公式求出第1个三角形的面积，根据勾股定理求出OAi，求出第2个三角形

的面积，根据规律解答.

点拨：本题考查的是勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是关键

追问：第n个三角形的斜边长为？第n个三角形的面积为？

答案：向4

变式：如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大正方形的边长为5cm,则正方形A、B、C、D的面积和是25cm2

答案：答cm?

二、反思感悟

知识归纳：

如果直角三角形两直角边长分别为b,斜边长为C,那么_/+02=。2

方法提炼：

1、勾股定理的适用范围

2、等面积法的应用

三、课堂过关检测

1、在RtZXABC中，NC=90°,

(1)如果a=3,b=4,则。=____5；

(2)如果a=6,b=8,贝Uc=_10_；

(3)如果a=5,b=12,贝i]c=___13；

(4)如果a=15,b=20,则c=25

2、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的长为5cm或"cm。

3、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为10。

4、若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为(C)

A.6B.7C.8D.9

5、如图，已知NACB=90。，AC>BC,分另U以4ABC的边AB,BC,CA为一边向AABC夕卜作正方形ABDE,

正方形正方形连接设的面积分别为则下列结论正

BCMN,CAFG,EF,GM,AAEF,ACGMSi,S2,

确的是(A)

E

D

MN

A.Si=S2B.S1VS2C.Si>S2D.S1WS2

6、如图1,有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图

2,其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形.再经过一次“生长"后，变成图3；"生长”10次后,

如果继续"生长"下去，它将变得更加"枝繁叶茂随着不断地"生长"，形成的图形中所有正方形的面

积和也随之变化.若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，求回答：

(1)So=1,Si=2.S；=3.S3=4；

(2)S0+S1+S2+…+Sio=66.

7、已知：如图，在aABC中，AD是BC边上的高，AB=13cm,AC=15cm,AD=12cm,求aABC的面积.

答案：84cm2.

四、趣味应用

我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引

葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？"这道题的意思是说："有一个边长为10尺的正方形水

池，在水池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺，若将芦苇拉到水池一边的中点处，芦苇

的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB，=x尺，则水深AC=(x-1)尺，因为BE=10尺，所以Bt=5

尺

在RtAAB'C中，VCB，2+AC2=AB，2

52+(x-1)2=x2,

第二课时1.1探索勾股定理(2)

一、名师导学

1、创意引入

1、直角三角形性质有：如图，直角AABC的主要性质是：(NC=90°,用几何语言表示)

(1)两锐角之间的关系：ZA+N8=90°；

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(4)三边之间的关系：“2+〃-。

(5)已知在Rt^ABC中，NB=90°,a、b、c是AABC的三边，则

c=_yjb2-a2__o(已知a、b,求c)

a=-Jb2-C2___o(已知b、c,求a)

b=yla2+C2。(已知a、c,求b).

2、(1)在Rt/SABC,ZC=90°,a=3,b=4,则c=5。

(2)在RtAABC,ZC=90°,a=6,c=8,贝Ub=10

(3)在RtZXABC,ZC=90°,b=12,c=13,则a=5。

2、自主学习

(1)勾股定理迄今为止有500多种证明方法，介绍其中一种

已知：在aABC中，ZC=90°,NA、/B、NC的对边为a、b、c。

求证：a2+b2=c2o实际问题O数学模型

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.

左边S=_2ah+c2

右边S=_a2+b2+2ab

左边和右边面积相等，

即2ab+c2=a2+b2+2ab

化简可得：

a2+h2=c2

(2)知识应用：

目标一、勾股定理的证明

例一：如图1是我国古代著名的“赵爽弦图"的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的

直角边BC=5,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车",

若4BCD的周长是30,则这个风车的外围周长是76

解析：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则

x2=4y2+52,又x+2y+5=30

则x=13,y=6故答案是：76.

点拨：注意隐含的已知条件来解答此类题.

追问：题目中若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长2倍，其他不变呢？

答案：84

变式：（2017•襄阳）“赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图

所示的"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较

长直角边长为a,较短直角边长为b,若（a+b）2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为

5D.6

目标二：折叠问题中的勾股定理

例二：（2017•鄂州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.

(1)求证：AAFE^ACDE；

（2）若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.

ZB=ZD=90",ZF=ZB,AB=AF得证aAFE^4CDE

(2)设DE=X，由DE2+CD2=CE2,

则X2+42=(8-X)2

得X=3

图中阴影部分的面积=SMCF-S/\AEF=L><4X8-1X4X3=10.

22

点拨：折叠问题常常用设未知数结合勾股定理列出方程的办法求得某边长度（方程思想）。

追问：（2）问中求阴影部分面积还有那些办法？（1）问中的结论对所有沿对角线翻折的情况都成立吗？若不沿对

角线翻折呢，仍然成立吗？

答案：（2）问中可以直接求出AE后，用底乘高的办法求面积；（1）问中的结论对所有沿对角线翻折的情况都成立;

若不沿对角线翻折，须分情况讨论。

变式：在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把AABC沿着

直线DE折叠，顶点B的对应点是B\

（1）如图（1）,如果点E和顶点A重合，求CE的长；

（2）如图（2）,如果点夕和落在AC的中点上，求CE的长.

42

设CE=x,类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32=（8-x）2,解得：x=区.

16

目标三：勾股定理的简单应用

例3、如图，一个3米长的梯子A8,斜靠在一竖直的墙A。上，这时4。的距离为2.5米.如果梯子的顶端A沿墙

下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）

解析：要求出梯子的底端8是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而8。=。。-。8=3拒-有*1.08

2

点评：本题关键在于梯子长AB始终不变。

追问：题目改为OD的距离是2.5米，梯子底端外移0.5,那么梯子顶端沿墙下滑多少米？

答案还是1.08

变式：如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人

以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是

直的，结果保留根号）

答：船向岸边移动了（12-J西）米.

二、反思感悟，知识归纳：

勾股定理的表现形式是/+。2=。2,a,b,c为线段长，由1可想到以a为边长的正方形的故勾股

定理的证明一定与图形的有关。

方法提炼：

1、勾股定理是求线段长度的主要方法，如图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法构造直角三角形；

2、如果不能直接使用勾股定理求直角三角形边长，则可通过引入未知数，建立方程求解，折叠问题中常常使

用该办法。

三、课堂过关检测

1、（2017秋•贵阳期末）如图，图中小正方形的边长为1,三角形ABC的周长为（）

A.16B.12+472C.7+772D.5+1172

故选B.

2、（2017秋•资中县期末）国家八纵八横高铁网络规划中"京昆通道”的重要组成部分一西成高铁于2017

年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时.张明和王强相约从成都

坐高铁到西安旅游.如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30。的方向且相距4000米,

王强家（记作C）在成都东站南偏东60。的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（）

A.6000米B.5000米C.4000米D.2000米

选：B.

3、（2017•邵东县三模）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一

只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）

A.8米B.9米C.10米D.11米

选C.

4、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图"，后人称其为“赵爽弦图"（如图1）.图

2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正

方形MNKT的面积分别为Si,S2,S3.若SI+S2+S3=21,则S2的值是7.

图1图］

5、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC

边上的点F处，那么EF=-

6、如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，快子露出杯子外1cm,当筷子倒

向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度.

解：设杯子的高度是xcm,那么筷子的高度是（x+1）cm,

x2+52=（x+1）2,

x2+25=x2+2x+l

x=12,

12+l=13cm.

答:杯高12cm,筷子长13cm.

7、如图，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF,若AB=3cm,

BC=4cm.求线段EF.

A

E

B」FC

解：由折叠知，BF=DF.

在Rtz^DCF中，DF2=(4-DF)2+32,

解得DF=%:m,

8

由折叠的性质可得，NBFE=NDFE,

：AD〃BC,

，NBFE=NDEF,

/.ZDFE=ZDEF,

.\DE=DF,

四边形BFDE是平行四边形，

四边形BFDE是菱形，

连接BD,

在RtABCD中，BD=7BC2+CD2=5,

•S菱形BFDE二J-EFXBD=BFXCD,

2

.".1EFX5=2§,X3,

28

解得EF=li.

4

四、趣味栏目：

勾股定理的加菲尔德证法（总统证法）

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，ZAEC=ZCDB=90°,AAEC^ACDB,

AF.=CD=h

CE二RD二a

AC.=R（?二r

S&AEC=5ACDB=­2

c2

SAACB=y

c(a+b)x(a+b)

“EDB=-----------o-----------

SA4FC+SACDJ?+SA4CR=SAEDR

ababc1_(a+b)2

-----1----+一

"2222

22

c2o+b

ab+—=ab+

-2-

c2=a2+b2

第3课时1.2一定是直角三角形吗？

一、名师导学

1、创意引入

1、怎样判定一个三角形是直角三角形？

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c

5、12、137、24、258、15、17

(1)这三组数满足/+〃=。2吗？

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

2、自主学习：

(1)猜想命题：如果三角形的三边长。、b、C,满足/+02=。2,那么这个三角形是—三角形

如果三角形的三边长4、b、。满足/+》2=,2,那么这个三角形是直角三角形.

己知：在△A8C中，AB=c,BC=a,CA=b,ELa2+b2=c2

求证：ZC=90°/A'

思路：构造法一一构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，/

利用对应角相等来证明.J\

bh

rc

BCB'

证明：作明处TB'C',NC'=90°淇中A'B'=a,8'C'=b,则

A'B'=^a2+b2=c,则AABCMAA'B'C',得ZC=ZC=90°

（2）知识应用：

目标一：利用勾股定理逆定理判断直角三角形

例一：已知仇c是AABC的三边长，根据下列条件，判断AABC是不是直角三角形

（1）a=10,Z?=31,c=17

（2）a=m2-n2,b=m2+n2,c=2相《（加〉〃，相，”为正整数）

解析：（1）显然b>c>a,又。2+。2则八48c不是直角三角形

（2）先判断出m2+/是最长边，又42+，=",则AABC是直角三角形

点评：找准最长边是解题的关键

追问：（2）问中是否一定要m>n这个条件？如果不一定，还可以改成其他条件吗？

不一定，也可变为<0m<n,

变式：有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）

A.3B.V41C.3或VID.以上都不对

故选C.

目标二：勾股定理逆定理的综合运用

例2；如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=L\D,试猜测ACMN

4

是什么三角形，请证明你的结论.（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

解析:设正方形ABCD的边长为4a,利用勾股定理分别求出NC,MN.CM的值，计算得出MN2+MC2=NC2,

根据勾股定理的逆定理可判定^CMN是直角三角形.

点评：用a表示出三角形的三边长，从而利用勾股定理逆定理是本题关键；运用勾股定理逆定理，通过代数法计

算得出等式，是证明两直线垂直的一种重要方法。

追问：这是数形结合的用之后勾股定理逆定理的办法，还有其他证明办法吗？

当我们学习了相似三角形之后，可以用相似的办法

变式：（2式7春•安庆期末）如图，在AABC中，CD_LAB于D,AC=20,BC=15,DB=9.

（1）求CD,AD的值；

（2）判断aABC的形状，并说明理由.

解：，

(1)VCD1AB,..CD=^152_92=12,AD=^T^2=16.

ADa

(2)Z^ABC为直角三角形,

理由：VAD=16,BD=9,

.*.AB=AD+BD=16+9=25,

AC2+BC2=202+152=625=252=AB2,

.,.△ABC为直角三角形.

目标三：勾股定理逆定理的应用

例三：已知：如图，四边形ABCD中，AB1BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.

解析：先根据勾股定理求出AC=^的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出4ACD的形状为直角三角

形，再利用三角形的面积公式得四边形ABCD的面积为1+V5.

点评：四边形问题一般转化为三角形来解决。

追问：本题是连接AC将四边形转化为三角形解决的，可否连接BD,或者延长DA,BC相交于一点转化

为三角形？

连接BD破坏了这个直角，而延长的办法由于新建构的三角形缺乏某些条件而无法计算

变式：如图，每个小正方形的边长为1.

(1)求四边形ABCD的周长；

(2)求证：ZBCD=90°.

解：AB=3&，BC=V34-CD=V^i，AD=5我,

/.四边形ABCD的周长为8&+2雇.

(2)证明：连接BD.

BC=<>/34»CD=A/34，BD=A/68，

/.BC2+CD2=BD2,

.'.△BCD是直角三角形，

即NBCD=90°.

二、课堂过关检测

1、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）

①9,12,15；②13,12,6；③9,12,14；@12,16,20

A.①④B.①②C.③④D.②④

故选A.

2、如图，在aABC中，AB=8,BC=10,AC=6,则BC边上的高AD为（）

5

故选C.

3、三边为a,b,c且（a+b）（a-b）=c2,则（）

A.边a的对角是直角B.b边的对角是直角

C.c边的对角是直角D.是斜三角形

故选A.

4、已知△ABC的三边长为a、b、c,满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为直角三角形.

5、如图，在4ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,AD是^ABC的角平分线，DE_LAB于点E,则DE长是

12

BDC

6、如图，在四边形ABCD中,ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,DA=5&,求BD的长

D

N

解：作DMJ_BC,交BC延长线于M,如图所示：

D

则NM=90。，

/.ZDCM+ZCDM=90°,

VZABC=90°,AB=3,BC=4,

.,.AC2=AB2+BC2=25,

；.AC=5,

：AD=5&,CD=5,

.,.AC2+CD2=AD2,

...△ACD是直角三角形，ZACD=90°,

ZACB+ZDCM=90°,

，NACB=/CDM,

VZABC=ZM=90°,

在aABC和aCMD中

，ZACB=ZCDM

<ZABC=ZM

AC=CD=5

/.△ABC^ACMD,

/.CM=AB=3,DM=BC=4,

；.BM=BC+CM=7,

BDWBM2+D+Y72+产屈，

7、如图，在AABC中，AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线，交BC于点D,交AB于点E,AF1BC

于点F.

(1)若NBAC=90。，求AE的长；

(2)若DF=0.7,求证：aABC为直角三角形.

IA

Ey\

解：(1)连接CE,

设AE=x,

VAB=4,

ABE=4-x,

「DE是BC的垂直平分线，

ACE=BE=4-x,

VZBAC=90°,AC=3,

/.X2+32=(4-x)2,

Ax=—,即AE=—.

88

(2)证明：设BD=y,贝I」CD=y,

VDF=0.7,

BF=y+0.7,CF=y-0.7,

VAF1BC,

/.AB2-BF2=AC2-CF2=AF2,

A42-(y+0.7)2=32-(y-0.7)2,

y=2.5>

，BC=5,

V32+42=52,

.'.△ABC为直角三角形.

三、反思感悟，知识归纳：

如果三角形的三边长4、b、。满足/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形.

满足。2+/=。2的三个正整数，称为勾股数。

方法提炼：

勾股定理的逆定理体现了数形结合的数学思想，可以用来判断一个三角形是否是直角三角形或一个角是否是直角

四、趣味栏目

在寻找马航MH370的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是，一

艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口。（如图）沿北偏东40。的方向向目标A的前进，同时，

另一艘搜救艇也从港口。出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分

别到达目标A、B.此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？

解：根据题意得：0A=16海里/时X1.5小时=24海里；0B=12海里/时X1.5小时=18海里，

VOB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900,

.".OB2+OA2=AB2,

/.ZAOB=90°,

•••艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口。（如图）沿北偏东40。的方向向目标A的前进，

/.ZBOD=50°,

即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.

第4课时1.3勾股定理的应用

一、名师导学

1、创意引入

如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在侧面B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么

路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？

请你设计一种最短的爬行路线.

2自A主学习

引入中的问题，各个同学给出了自己的方案

小玲的方案C小平的方塞c〃由加方案C

根据以上信息，你认为小伟同学的方案最正确,理由是两点之间，线段最短

目标一：圆锥，圆柱的最短路径问题

例一：已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=20，j^cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发.在侧

面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为80出cm.

解析：蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA，的长度.根据勾股定理求得母线长AE=80cm

后，利用弧长等于底面周长2X2071=让酒求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角

180

形的性质求解AA'=^A/E2+AE2=80V2cm..

点评：空间中的最短路径问题一般都是将空间问题转化为平面图形问题

追问：若蚂蚁爬行一周回到AE的中点F点呢，蚂蚁爬行的最短距离为多少？（注意题目要求为爬行一周,

有学生会认为可以直接由A爬去F,从而AF=40,得最短距离为40cm）

答案：40百cm

变式：如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

4V13cm.（结果保留根号）

目标二：正方体，长方体的最短路径问题

例二：如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm.D为BC的中点，一动点P从A

点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是一，礴m.

,*D

AN

解析：1）如图1,BD=l.BC=8cm,AB=5+10=15cm,在Rt^ADB中，AD=J^^声&^cm；

（2）如图2,AN=5cm,ND=8+10=18cm,

RtAADN中，AD=7AN2+DN2=V52+1,

（3）如图3,AD=^1Q2+132=>/269,

点评：长方体的最短路径问题，依然是将空间问题转化为平面图形问题，在转化为直角三角形问题

追问：如图，A,B是长方体的两个顶点，要求A,B沿长方体表面的最短距离，其思路是将长方体的表面展开，将问

题转化为平面问题，有三种情况，如图1,图2,图3,运用勾股定理计算、比较

变式：如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假

设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟.

目标三：勾股定理与方位角的综合应用

例三：如图，根据天气预报，某台风中心位于M市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向

北偏西60。的方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响.若台风移动的速度和方向不变，

则M市受台风影响持续的时间是_型—小时・

解析：以M为圆心250km为半径作圆，交台风中心运行轨道于点A、B,过点M作MC±AB于点C,

则AB=2AC,解含30度角的直角三角形可求出CM=150km,在RtAACM中，利用勾股定理可求出

AC=200km,进而可得出AB=400km,由400+20=20h,M市受台风影响持续的时间是20小时.

点拨：本题的关键是作图作出受影响的路程

追问：把台风中心的运动方位角改为北偏西30度，其他数据不变?

当台风中心沿北偏西30度移动时MC=15073>250,所以M市将不会受到影响;

变式：如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东

方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、

C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不

变，最早会在什么时间进入我国领海？

、、、、144

答案：的2=122一。石2=52—（13—C石）02,得CE=工

13

144

则t=/_。0.85,最早会在10点41分进入我国领海

二、课堂过关检测

1、如图所示，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部

A落在离旗杆底部C点8米处，已知旗杆长16米，则旗杆断裂的地方距底部（）

A.4米B.5米C.6米D.8米

故选：C.

2、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上

两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B

的最短路程为（）dm.

20

B

A.20B.25C.30D.35

故选B.

3、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯

子外面的长度为hem,则h的取值范围是（）

A.12cmWhWl9cmB.12cmWhWl3cme.llcmWhWl2cmD.5cmWhWl2cm

故选C.

4、如图，有一棱长为2dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳,

使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为_2&_dm.

5、为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已

知圆筒高108cm,其平行底面的截面周长为36cm,如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为180

6、如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着

木柜表面爬到柜角Ci处.

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4,BC=4,CJ=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

（3）在（2）的条件下，求点Bi到最短路径的距离.

(1)如图,

木柜的表面展开图是矩形ABC'iDi或ACCiAi.

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC，或ACi；

(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABCiDi爬过的路径AC，的长是11寸/+(4+5产

蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形ABiJD爬过的路径ACi的长1尸丁第，

蚂蚁沿着木柜表面ACCiAi爬过的路径ACi的长是12=^(4+4)2+52.

11>12»故最短路径的长是12d西.

(3)作BiE_LACi于E,

VZCiEBi=ZCiAiA,NA1C1A是公共角，

/.△AAiCi^ABiECi，

B1E_B1C1

即

AAiACi

则BIE'BL’L.AA尸2・5=义■为所求.

ACi89

ABC

7、按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区

等噪声敏感建筑物.

如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的

两点，点C、A、B在一直线上，且DALCA,NACD=30。.小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与

售楼人员的对话如下：

(1)小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由;

(2)若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？

(温馨提示：血心1.4,Vs^l.7,愿衿6.1)

解：(1)作过点A作AG_LMN,垂足为G,

VZACD=30°,DA1CA,

二ZADC=60°,

VAD=220米，

.,.AG=ADsin60°=110V3^187<200,

•♦.A单元用户会受到影响，售楼人员的说法不可信.

(2)在MN上找到点S、T,使得AS=AT=200米

GT=GS=72002-(110^/3)

/.ST=2GT=2OV37^122米

又：速度v=252X1000=70(米/秒)

3600

时间t=122+228=5秒,即受影响的时间为5秒.

70

三、反思感悟，知识归纳：

如果直角三角形两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么

如果三角形的三边长a、b、c满足/+。2=。2,那么这个三角形是直角三角形.

方法提炼：

2立体图形例________图形笆生直角三角形问题(如图).

四、趣味栏目

《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在"勾股"章，记载了一道“折竹抵地”问题，叙

述为："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？"翻译成数学问题是：在RtZXABC中,

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=x,可列出的方程为x?+32=(10-x)2

第5课时回顾与思考

一、自主复习

1、双基题组

(1)在RtAABC中，若NC=90°,a=4,b=3,则。=_________.

(2)在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是()卜-----d

A.12,15,17B.9,16,25C.5a,12a,13a(a>0)D.2,3,4

(3)如图一^"b圆柱，底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外

A--------->

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm.

2、易错题组

(1)己知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长为

解析：5或近

点评：习惯上“3,4,5”的勾股数，忽略了4还可以作为斜边

22

(2)AABC中，a+b^c\则^ABC_直角三角形。(填“是”或“不是”或“不一定”)

解析：不一定

点评：易错点在于认为只要/+〃就一定不是直角三角形，/=从+。2或者=/+合也是直

角三角形

(3)Z\ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12.则AABC的面积为24或84.

解析：分两种情况考虑：

①当aABC为锐角三角形时，在RtaABD中，得：BD=^AB2_AD2=9,

在RtaADC中，得：DC=^AC2_AD2=5,BC=BD+DC=9+5=14,贝|S,、ABC=*BC・AD=84；

②当aABC为钝角三角形时，在Rt^ABD中，得：BD=^AB2_AD2=9,

在Rt^ADC中,得：DC=^AC2_AD2=5,.*.BC=BD-DC=9-5=4,则SAABC=LBC・AD=24.

点评：本题的易错点在于要考虑锐角和钝角三角形两种情况

二.名师导学

目标一：勾股定理与其逆定理的综合计算

如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AB=9,BC=12,AD=8,CD=17.

求：（1）AC的长及R/A/LBC中AC边上的高。

（2）四边形ABCD的面积.

解析：（1）在Rt^ABC中，.•.AC=J^^I=亚耳亍=15；高为行

（2）由AD2+AC2=DC2,得NDAC=90°,，S四边形ABCD=114.

点评：本题关键是利用勾股定理解直角三角形的能力及勾股定理的逆定理解答。

追问：本题可否设置成ND4C=90°,而去掉NB=90。？

可以，做法是完全一样的。

变式：如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，ZADC=90°,AB=13米，BC=12米，则这块地

解析：连接AC.

在aACD中，ZADC=90°,得AC=5米，

又：AC2+BC2=52+122=132=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，

,这块地的面积=4ABC的面积-aACD的面积=24（平方米）.

目标二：方程思想的应用

例2、如图，在^ABC中，ZACB=90°,AC=6,AB=10,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点

E,求CE的长.

解析：连接AE,由DE为AB的垂直平分线，得AE=BE,

在aABC中，ZACB=90°,由勾股定理得BC=8,设CE的长为X,则BE=AE=8-x,在RtAACE中,

由勾股定理得:X2+62=(8-x)2,解得:x=工,

4

点拨：利用方程思想是解答此题的关键，也是本章解题的一种重要思想方法

追问：该题是否可以设置为将“AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E”改为“AA3C沿着

DE折叠使得B点与A点重合”，其他数据不变？

可以的，其实是同一种意思的两种说法，实质是一样的

变式：如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D，处，求重叠部分4AFC

的面积.

解析：解：易证△AFD'g^CFB,.•.D'F=BF,

设D'F=x,则AF=8-x,

在Rt^AFD'中，(8-x)2=X2+42,

解之得：x=3,；.AF=5,.,.SAAFC=^AF*BC=10.

2

目标三：勾股定理的实际应用(利用转化思想求最值)

课外小组的同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠绕4圈后，恰

好上升至108cm的高度，则此时牵牛花藤的长度至少是.

解析：抽象出来平面图形，根据勾股定理可得180cm

点评：本题难点在于要在管子上缠绕几圈，其实实质都是抽象转化为平面图形

追问：这道题如果改为缠绕6圈呢？

方法是一样的

变式：如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2,A和B是这个台阶两个相对的

端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是—

25.

A20

B

反思感悟

1.勾股定理:如果用。、〃和c分别表示直角三角形的两直

角边和斜边，那么.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ad"满足

，那么这个三角形是直角三角形•

3.勾股数：满足的三个-----

数，称为勾股数•

方法归纳

1.勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，是几何中

最重要的定理之一.勾股定理也是