初中数学知识点框架图

第一部分《数与式》知识点

定义：有理数和无理数统称实数.

［有理数：整数与分数

“关［无理数：常见类型（开方开不尽的数、与;r有关的数、无限不循环小数）

实数‘广蜀'云篁［法则：加、减、乘、除、乘方、开方

头［运算定律：交换律、结合律、分配律

,二必，［数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法

相关概令，，

'心［有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（〃2，M，G）

分米［单项式：系数与次数

1多项式：次数与项数

加减法则:（加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项）

/

累的运算：。叫。"=amfn;a"'=武";（。”厂=/,（而）"=a'V=—;a°=V,ap=—

bbma

整式I「n

旷性、云算j单项式X单项式；单项式X多项式；多项式X多项式'

乘‘运舁:〔单项式+单项式；多项式+单项式，

混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先

乘法八式［平方差公式:（。+历伍-匕）=/-&?

'［完全平方公式：（4±历2=力±2而+/

'分式的定义：分母中含可变字母

分式分式有意义的条件：分母不为零

分式值为零的条件：分子为零，分母不为零

分式分式的性质:仁=竺巴;凹=竺小（通分与约分的根据）

\bbxmbb-Tin

1通分、约分，力口、减、乘、除

分式的运算］先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）

化简求值［整体代换求值

定义：式子面（a20）叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于0.

二次根式的性质J（向=卜".

L［-«（«<0）

‘最简二次根式（分解质因数法化简）

二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式

分母有理化（“单项式与多项式”型）

.加减法：先化最简，再合并同类二次根式

二次根式的运算乘广除L法JG-；（结果化简）

-JbU

定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）

［提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

分解因式方法公式法

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

十字相乘法：X2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

分组分解法：（对称分组与不对称分组）

第二部分《方程与不等式》知识点

定义与解：

一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

应用：确定类型、找出关键量、数量关系

定义与解:

解法：代入消元法、加减消元法

二元一次方程（组）

方程简单的三元一次方程组：

简单的二元二次方程组：

定义与判别式（△=b'4ac）

一元二次方程

解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.

［定义与根（增根）：

1万在［解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.

1.行程问题：

2.工程（效）问题：

3.增长率问题：（增长率与负增长率）

4数.字问题（数位变化）

类型

5.图形问题（周长与面积（等积变换））

方程与不等式

方程的应用6.销售问题（利涧与利率）

7.储蓄问题（利息、本息和、利息税）

8.分配与方案问题:

i线段图示法:

常用方法■2冽表法：

3.直观模型法:

一般不等式解法

一元一次不等式

、条件不等式解法

f解法：（借助数轴）

1不等式与不等式

不等式（组乂

2不等式与方程

一元一次不等式组

应用，3不等式与函数

4最.佳方案问题

5.最后一个分配问题

第三部分《函数与图象》知识点

・①各象限内点的特点:

②坐标轴上点的特点档既示个

[y轴：横坐标x=0.

③平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）

直角坐标系

④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）

♦关于x轴对称（x相同，y相反）

⑤对称点的坐标关于y轴对称（x相反，y相同）

关于原点0对称（x,y都相反）

函数表达式卜比例函数："刈-点求解析式）仁瑞％覆工

一次函数：y=kx+b（kWO）（两点求解析式）

增减性:丫=1«与丫=1«+13增减性一样，k>0时，x增大y增大；k<O,x增大y减小.

诙函数

平移性:y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若丫=1</+4与y=k?x+b2平行，则勺=&力节%

垂直性:若丫=1</+瓦与丫=1<2*+152垂直，则占a=-1.

求交点:（联立函数表达式解方程组）

正负性：观察图像）>0与y<0时，.曲取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）

表达式：y=4（KW0）（一点求解析式）

X

・①区域性：图像在一、三象限；*<（»寸，图像在二、四象限.

②理减性[k>0在每个象限内，y随X的增大而减小；

，口1k<0在每个象限内，y随x的增大而减小.

反比例函数性质

③恒值性：（图形面积与出值有关）

④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.

函数

求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）

①一般式：〉=0?+法+如其中（。v0）,

表达式■②顶点式：y=a（x-k）2+〃,其中gxo）,（k,h）为抛物线顶点坐标；

③交点式：）=。。-4）（》-%）,其中（“#0）,4、W是函数图象与x轴交点的横坐标;

.①开口方向与大小：a>0向上，a<0向下;同越大，开口越小;时越小，开口越小.

②对称性：对称轴直线

“>0,在对称轴左侧,x增大减小；在对称轴右侧，x增大y增大:

③增减性

性质”<0,在对称轴左侧,x增大y增大；在对称轴右侧，x增大），减小;

二次函数④顶点坐标：（-2,处土）

2a4a

⑤最值：当a>0时,x=-?,y=曲衿；a<0时，x=-（,y"；".

2a4a2a4。

示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标）

〃与a开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；

风勺符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.

符号判断公二/-4讹：A>0与x轴有两个交点；A=0与x轴有两个交点；AV0与x轴无交点.

a+b+c：当x=l时，y=a+b+c的值.

a-b+c：当x=T时,y=a-b+c的值.

.①求函数表达式：

飞粉广用②求交点坐标：

函数应用4

③求围成的图形的面积（巧设坐标）：

④比较函数的大小.

第四部分《图形与几何》知识要点

直线：两点确定一条直线

线射线：

线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）

'角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.

缶角的度量与比较：1°=60,,1'=60"；

余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等,

角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角

加六处［对顶角：对顶角相等.

几何初步

［垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短.

定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线

平行线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;

［同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行

判定:平行于同一条直线的两条直线平行

平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

邻边

边

湎

的

a对

的对边

定义:a

斜边

斜边tana二

a的邻边

1也6

n1

-一

si30°C

M23

亚

三角函数＜一

7一2

特殊三角函数值22

固

1

C=-

2OS60°2

、应用：要构造R他，才能使用三角函数.

△米［按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形

［按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

‘三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;

边，1

面积与周长：C=a+b=c,S:一底x高.

I2

'三角形的内角和等于180度，外角和等于360度；

角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；

三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.

•般二角形中线：一条中线平分三角形的面积

性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

角平分线判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上

内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.

线段高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）

中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

中垂线卜淀：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上

外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等

三角形

性质等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形.

.等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为60度.

'有两边相等的三角形是等腰三角形；

等腰三角形

.户有两角相等的三角形是等腰三角形；

有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形;

有两个角是60度的三角形是等边三角形.

一个角是直角或两个锐角互余；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

性质，

直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半;

直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.

,证一个角是直角或两个角互余；

判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形;

勾股定理的逆定理：若a?+b2=c2,1ZC=9O°.

全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；

性质

全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.

判定：ASA,SAS,AAS,SSS,HL.

‘多边形：多边形的内角和为(n-2)-180°,外角和为360°.

f定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

'直角梯形

什生质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等.

梯形

特殊梯形‘两腰相等的梯形是等腰梯形；

等腰梯形

判定对角线相等的梯形是等腰梯形；

同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形;

'两组对边分别平行且相等

性质：平行四边形的两组对角分别相等

两条对角线互相平分

‘两组对边分别平行

平行四边形

一组对边平行且相等

判定:■两组对边分别相等n的四边形是平行四边形.

两组对角分别相等

、对角线互相平分

'共性：具有平行四边形的所有性质.

性质

.个性：对角线相等，四个角都是直角.

四边形

矩形I"先证平行四边形，再证有一个直角；

判定先证平行四边形，再证对角线相等;

三个角是直角的四边形是矩形.

.共性：具有平行四边形的所有性质.

性质＜

、个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等.

菱形'先证平行四边形，再证对角线互相垂直；

判定先证平行四边形，再证一组邻边相等；

四条边都相等的四边形是菱形.

行生质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

正方形'证平行四边形7矩形f正方形

判定

证平行四边形一菱形—正方形

梯形：S=L(上底+下底)乂高=中位线X高

2

平行四边形：5=底、高

面积求法，

矩形：5=长、宽

菱形：5=底、高=对角线乘积的一半

正方形：S=边长x边长=对角线乘积的一半

’点在圆外：d>r

点与圆的三种位置关系点在圆上：d=r

点在圆内：d<r

.弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系

圆的轴对称性不久1Hli定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理《

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧

在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、

五组量的关系T

两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等.

同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

圆的中心对称性<圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是90°；

90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.

相交线定理：圆中两弦AB、CD相交于P点，则PA：PA=PCLPD.

,圆中两条平行弦所夹的弧相等.

相离：d>r

直线和圆的三种位置关系强切：d=r（距离法）

圆相交：d<r

哂方/性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）

直线和圆的位置关系’［判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

切线长定理：如图，PA=PB,P0平分/APB

切割线定理：如图，PA2=PCTD.

外心与内心：

,相离：外离（d>R+r），内含（d<R-r）

圆和圆的位置关系相切:外切（d=R+r）,内切（d=R-r）

相交：R-r<d<R+r)

弧长公式:IMV.=—Inr=—nr

弧长360180

扇形面积公式：S=—7ir-=--L.

圆的有关计算3602弧长

圆锥的侧面积：S恻=；・2勿,/=仃/（「为底面圆的半径，/为母线）

圆锥的全面积:S金=〃+%”

第五部分《图形的变化》知识点

①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等

②对应点的连线段被对称轴垂直平分

轴对称（折叠），

③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）

轴对称

④图形折叠后常用勾股定理求线段长

Q指一个图形

轴对称图形

②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等

,①平移前后两个图形全等

②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）

平移

③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）

④平移的两个要素：平移方向、平移距离

①旋转前后的两个图形全等

②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角

旋转

③旋转前后对应角相等，对应线段相等

.④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角

‘①大小、比例要适中

视图的画法

②实线、虚线要画清

’平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线

视图与投影

中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行

投影I

视点、视线、盲区

投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用

基本性质t-=—<^ad=bc

图形的变化bd

合比性质，=£=心=包

比例的性质

bdbd

等比性质，=£=...=巴=*=>"+"…+阳=%(条件b+d+...+*HO)

bdnb+d+…+〃

黄金分割：线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC>BC）,满足AC^BCAB,

则点C为AB的一个黄金分割点

性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等

相似多边形

判定：全部的对应边成比例、对应角相等

・①对应角相等、对应边成比例

性质②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比

相似形

③面积的比等于相似比的平方

・①有两个角相等的两个三角形相似

相似图形

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

相似三角形判定

③三边对应成比例的两个三角形相似

④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似

射影定理：在RSABC中,ZC=90°,CD1AB,则A