2017-2018学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年山东省济南市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.COS60。的值为（）

1根小小

A.-B.—C.—D.—

2223

【答案】A

【解析】

试题分析：8$60。=1.故选A.

2

考点：特殊角的三角函数值.

2.已知反比例函数y=X的图象经过点（2,-2）,则k的值为

X

1

A.4B.—C,-4D.-2

2

【答案】C

【解析】

,反比例函数丫=与的图象经过点（2,-2）,

x

k=xy=2x（-2）=-4。故选C。

3.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）

【答案】C

【解析】

看到的棱用实线体现.故选C.

4.一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球

的概率是（）

5131

A.~B.—C.—D.~

8583

【答案】A

【解析】

试题分析：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球,

从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是二一=3故选A.

3+58

考点：概率公式.

【而视频T

5.关于x的一元二次方程（m-l）x2-2xT=0W两个实数根，则实数机的取值范围是（）

A.m>0B.ni>0C.，定0且〃?¥1D.〃?>0且，存1

【答案】C

【解析】

解：•••关于x的一元二次方程（m-l）x2-2xT=0有两个实数根，，b-+；W：>0，解得：机却且小1.故

选C.

3

6.已知在中，NC=90°,sinJ=-,则tan4的值为（）

5

4453

A.—B.—C.—•D.—

3544

【答案】A

【解析】

试题解析：・•.在RSABC中，NC=90。，

ab

sinA=-,tanB二一和a2+b2=c2.

ca

3

sinA=-,设a=3x,则c=5x,结合a2+b2=c2得b=4x.

5

b4x4

tanB=-=—=

a3x3

故选A.

考点：1.锐角三角函数的定义；2.互余两角三角函数的关系.

7.如图，△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形

不相似的是()

【答案】c

【解析】

试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选C.

点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.

两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.

三组边对应成比例，两个三角形相似.

8.抛物线y=x2-4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为()

A.(4,-1)B.(0,-3)C.(-2,-3)D.(-2,-1)

【答案】A

【解析】

解：：抛物线y=N-4x+3可化为：y=(x-2)2-1,.•.其顶点坐标为(2,-I),.,.向右平移2个单位得

到新抛物线的解析式，所得抛物线的顶点坐标是(4,-1).故选A.

点睛：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

9.如图，AB、AC是。O的两条切线，B、C是切点，若/A=70。，则NBOC的度数为()

B

A.130°B.120°C.110°D.100°

【答案】C

【解析】

,：AB.AC是。。的两条切线，B、C是切点，

：.ZB=ZC=90°,ZBOC=1800-ZA=110°.

故选C.

3

10.如图，点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=—(x<0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四

x

A.y="x"B.y="x+l"C.y="x+2"D.y=x+3

【答案】C

【解析】

试题分析：先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为(-3,1)、B点坐标为(-

1,3),再作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,根据对称的性质得到C点坐标为(-3,

-1),D点坐标为(1,3),CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ

的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的解析式.连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形

PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y=kx+b,

把C(-3,-1),D(1,3)分别代入1,解得「二；，所以直线CD的解析式为y=x+2.故选C.

11.如图,00的半径为的点A的坐标为的,2由）,直线AB为。。的切线，B为切点.则B点的坐标为（）

49

(-^5,1)c.(--

255

【答案】D

【解析】

【分析】

过B作BE_Lx轴于E,过A作ADJ_x轴于D,求出/AOD=60。，根据HL证RsABO空RsADO,求出

ZAOB=60°,求出NBOE=60。,求出NEBO=30。,根据OB=2,求出OE、BE即可.

【详解】过B作BELx轴于E,过A作ADJ_x轴于D,

；A(2,2物,

.•.OD=2=OB.AD=2而,

在RtAAOD中.tan/AOD=^^

OD

二NAOD=60°,

•；AD_Lx轴，AB切O于B,

二ZADO=ZABO=90°,

在RtAABO和RtAADO中

OA=OA

OB=OD

ABO^RtAADO,

AZAOD=ZAOB=60°,

...NBOE=60。,

Z.NEBO=30°,

；.OE=1,

由勾股定理得：BE=/,

同

故答案选D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的性质,解题的关键是熟练

的掌握全等三角形的判定与性质以及切线的性质.

12.如图，直线y=x与抛物线y=x2-x-3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ_Lx

轴，交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（)

A.m<-1或m>-B.m<-1或』<m<3C.m<-1或m>3D.m<-1或l<m<3

22

【答案】D

【解析】

【分析】

联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值

和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围.

所以,A(T,-1),B(3,3),

—11

抛物线的对称轴为直线X=-----=-,

2x12

当T<x<3时,PQ=X-(X2-X-3)=-X?+2X+3=-(X-1)2+4,

当x<-l或x>3B;t,PQ=x2-x-3-x=x2-2x-3=(x-1)2-4,

线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是m<-l或l<m<3.

故答案选D.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，解题的关键是熟练的掌握二次函数与不等式组.

二、填空题(本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.)

13.关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根是0,则k的值是.

【答案】0

【解析】

分析：由于方程的一个根是0,把产。代入方程，求出火的值.因为方程是关于x的二次方程，所以未知数

的二次项系数不能是0.

详解：由于关于x的一元二次方程(k-1)/+6*+公-h0的一个根是o,把40代入方程，得：

：0，解得：h=l,的=0.

当上1时，由于二次项系数k-1=0,方程(&-1)/+6%+r-仁0不是关于x的二次方程，故&W1.

所以k的值是0.

故答案为：0.

点睛：本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义.解决本题的关键是解一元二次方程

确定A的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件.

14.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在。，。的位置.若NEFB=65。,则N4E。的

度数为_________.

E

【答案】50°

【解析】

试题解析：8G

:.NEFB=/FED=65。,

由折叠的性质知，^DEF=ZFEDf=65",

：.AAED,=180°-2/7=2庐50°.

【点睛】此题考查了翻折变换的知识，本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平

角的概念求解.

15.如图，在平行四边形ABCD,E为AD的中点，△DEF的面积为1,则△BCF的面积为.

【答案】4

【解析】

解：由平行四边形的性质可知：ADIIBC,BC=2DE,

△DEF-△BCF,且相似比为1：2,

••・面积比为1：4,

△DEF的面积为1,

•••△BCF的面积为4.

故答案为：4.

16.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC.若

ZABC=ZBEF=60。，则叫的值为____.

解：如图,

延长GP交DC于点H.

P是线段DF的中点,

FP=DP,

由题意可知DC"GF,

ZGFP=ZHDP,

在AGFP和^HDP中

'/GPF=NHPD

-PF=DP，

ZGFP=ZHDP

AGFP合AHDP(ASA),

r.GP=HP,GF=HD,

V四边形ABCD是菱形，

CD=CB,

CG=CH,

…CHG是等腰三角形，

PG±PC,(三线合一)

又ZABC=ZBEF=60°,

ZGCP=60°,

史=5小60°=返；

CG2

故答案为：返.

2

17.如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、B(-2,-2)、C(4,-2),则△ABC外接圆

半径的长度为.

y,

x

【答案】713

【解析】

【分析】

根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标可知，圆心M必在直线x=l上；由图知：AC的垂

直平分线正好经过(1,0),由此可得到M(1,0)；连接MB,过M作MDLBC于D,由勾股定理即可求

得M的半径长.

【详解】设AABC的外心为M;

VB(-2,-2),C(4-2),

M必在直线x=l上，

由图知：AC的垂直平分线过(1,0),

故M(l,0)；

过M作MDLBC于D,连接MB,

RtAMBD中，MD=2,BD=3,

2

由勾股定理得：MB=A(^MD+

即4ABC的外接圆半径为拒.

故答案为：驱

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心与坐标与图形性质，解题的关键是熟

练的掌握三角形的外接圆与外心与坐标与图形性质.

18.如图，反比例函数yf的图象经过点(-1,-2啦)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并

X

延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D,

【解析】

试题解析：连接。C,分别过点4c作x、y轴的平行线交于£点，CE交x轴于。点，如图:

由反比例的性质可知，AB两点关于中心O对称，即04=08,

又•••△AC8为等腰直角三角形，

：.COLAB,且0C=0A

设直线AB的解析式为y=flx(a>0),则0c的解析式为y=--x.

a

设点A(肛的i),点C(an-n)9

,•*0A=OC,即m?+(am)2=(an)2+n2,

解得n=±mt

・・・A在第一象限，C在第三象限，

.\n=m>0y

B|JC(ani-ni).

VAEIIxtt,CEIIy轴,

・・・4CDF=Z.CAEZCFD=匕CEA=90°,

:•△CDFs/\CAE,

.CF_CD

•五一五’

„AD

乂・・•一=也rAC=AD+CD

CD'9

bCF_CD_1

CECAy12.+1

'・,点A(m,aM点C(am-m),

・•・点点

.CF_O-(-m)_1_1

CEam-(-m)a+1亚+1'

即a=板.

;反比例函数产质的图象经过点(-1,-2例，

.*.-2^=—,解得k=2卷

-1

反比例函数的解析式为y=生,

X

又,点A("M〃)在反比例函数的图象上，且a=扬，

解得m=啦或m=-啦(舍去).

m

将2=扬m=m代入点C(M,F)中，可得：点C的坐标为(2,-物.

故答案为：(2,-啦).

三、解答题(本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

19.解方程：2x2+3=7x.

【答案】xi=-,X2=3.

2

【解析】

【分析】

移项后得到2X2-7X+3=0,然后分解因式得到(2x-l)(x-3)=0,即可得出两个一元一次方程，求出方程的解

即可.

【详解】丫2x?+3=7x,

2x2-7x+3=0,

/.(2x-1)(x-3)=0,

2x-1=0或x-3=0,

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程.

20.如图，在。0中，0CJ_AB于点C,AB=4,0C=l,求。0的半径.

【答案】而

【解析】

【分析】

连接OA,先根据勾股定理求出AC的长，再在RtAAOC中利用勾股定理求出OA的长即可.

【详解】连接0A,

OCJLAB于点C,AB=4,

AC=BC=2,

在RtAAOC中：

•1,OC=1,AC=2

22

由勾股定理得：A0=5/AC2+0C2=^2+1=V5-

【点睛】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理.

k

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=-(Q0)在

X

第一象限内的图象交于点B,且点B的横坐标为1.过点A作AC_Ly轴交反比例函数y2(kxO)的图象于点

X

C,连接BC.

(1)求反比例函数的表达式.

(2)求4ABC的面积.

【解析】

试题分析：（1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B,且点B的横坐标为1,将x=l代入y=3x+2,求出y的

值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y=±利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；

X

（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,求出点A的坐标为（0,2）,再将y=2代入y=±求出x

X

的值，那么AC=2.过B作BD_LAC于D,则BD=yB-yc=5-2=3,然后根据SAABC^ACBD,将数值代入计算即可

22

求解.

试题解析：（1）・「一次函数y=3x+2的图象过点B,且点B的横坐标为1,

y=3xl+2=5,

二点B的坐标为（1,5）.

•.・点B在反比例函数y="的图象上，

X

：k=lx5=5,

反比例函数的表达式为y=-；

X

（2）一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,

当x=0时，y=2,

点A的坐标为（0,2）,

AC_Ly轴，

.・•点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2,

•.・点C在反比例函数y2的图象上，

X

/.当y=2时，2=3解得x=-,

x2

5

/.AC=-.

2

过B作BDJLAC于D,贝ljBD=yB-yc=5-2=3,

11515

=

•SAABC=_ACBD=­x—x3—.

2224

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题，2.待定系数法求反比例函数的解析式，3.反比例函数图象上点

的坐标特征，

.1111

22.设方程x2-2x-3=0的两个根为Xi、X2,令111=—+—,n=----,若点P的横坐标和纵坐标为Xi、X2>m、n

X[x2X]x2

这四个数中任意两个数，则点P落在第二象限的概率是多少？

3

【答案】一.

16

【解析】

试题分析：先求出方程的解及m、n的值，再求点P落在第二象限的概率即可.

试题解析：解方程x?-2x-3=0得：

X1=-1,X2=3

21

m=—，n=——

33

共有16种情况，第二象限的有三种，

点P落在第二象限的概率是3.

16

考点：1.解一元二次方程；2.概率公式.

23.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF±AM,垂足为F,交AD的延长线于点

E,交DC于点N.

(1)求证：△ABMsaEFA；

(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.9

【解析】

试题分析：(1)由正方形的性质得出AB=AD,ZB=90",ADIIBC,得出NAMB=NEAF,再由NB=NAFE,即

可得出结论；

(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM-△EFA得出比例式，求出AE,即可得出DE的长.

试题解析：(1).•.四边形ABCD是正方形，

AB=AD,ZB=90",ADIIBC,

ZAMB=ZEAF,

又EF±AM,

ZAFE=90",

ZB=ZAFE,

△ABM”△EFA；

(2)•・,2B=90°,AB=12,BM=5,

AM=^122+52=13,AD=12,

F是AM的中点，

1

/.AF=-AM=6.5,

2

△ABM-△EFA,

BMAM

/.——=——,

AFAE

口「513

即一=—，

6.5AE

AE=16.9,

/.DE=AE-AD=4.9.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

QN视频门

24.已知：如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的。0与边AB相交于点D,DE±AC,垂足为点E.

(1)求证：点D是AB的中点；

(2)求证：DE是。。的切线；

(3)若。0的直径为18,cosB=-,求DE的长.

3

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4位

【解析】

【分析】

（1）连接CD,由BC为直径可知CDLAB,又BC=AC,由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接0D,则OD为aABC的中位线，OD〃AC,已知DELAC,可证DE_LOC,证明结论；

（3）连接CD,在RsBCD中，已知BC=18,cosB=-,求得BD=6,则AD=BD=6,在RtAADE中，已知

3

AD=6,cosA=cosB=",可求AE,利用勾股定理求DE.

3

•••BC是。。的直径，

CD±AB,又丫AC=BC,

AD=BD,

二点D是AB的中点;

（2）证明：连接0D,

•1,BD=DA,BO=OC,

口0是4ABC的中位线,

DOIIAC,

又；DE±AC,

DE±DO,即DE是00的切线;

(3)•/AC=BC,

/.ZB=ZA,

coszB=cosZA=—.

3

COSZB=—=—,BC=18,

BC3

BD=6>

AD=6,

C°SZA=W=f

/.AE=2,

在RtAAED中，DE={AD2_AEJ4g.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理与切线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理、圆

周角定理与切线的判定与性质.

25.(1)如图1,△ABC中，NC=90。,ZABC=30°,AC=m,延长CB至点D,使BD=AB.

①求ND的度数;

②求tan75°的值.

（2）如图2,点M的坐标为（2,0）,直线MN与y轴的正半轴交于点N,ZOMN=75°.求直线MN的函数表

达式.

【答案】⑴①15。，②2+自（2）y=（-2-由）x+4+2由.

【解析】

【分析】

（1）在直角三角形中利用角和边之间的关系求角的度数及边长即可；

（2）分别求得点M和N的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可.

【详解】（1）①BD=AB,

，ZD=NBAD,

ZABC=ZD+ZBAD=2ZD=30",

ZD=15",

②•；ZC=90。，

ZCAD=90。-ZD=90。-15°=75°,

­.,ZABC=30°,AC=m,

BD=AB=2m,BC="\/^m,

CD=CB+BD=(2+5/3)m，

tanZCAD=2+^/3，

tan75°=2+-\/3；

(2)•.,点M的坐标为(2,0),ZOMN=75°,ZMON=90°,

ON=OM»tanZOMN=OM«tan750=2x(2+«)=4+25/3,

J.点N的坐标为(0,4+273).

设直线MN的函数表达式为y=kx+b,

(2k+b=0

b=4+2V3,

'k=-2-«

解得：,

b=4+2V3

J,直线MN的函数表达式为y=(-2-«)x+4+2«.

【点睛】本题考查了解直角三角形与求一次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形与根据待

定系数法求一次函数的解析式.

26.如图，点B的坐标是(4,4),作BA_Lx轴于点A,作BC_Ly轴于点C,反比例函数y」(k>0)的图象

经过BC的中点E,与AB交于点F,分别连接0E、CF,0E与CF交于点M,连接AM.

(1)求反比例函数的函数解析式及点F的坐标；

(2)你认为线段0E与CF有何位置关系？请说明你的理由.

(3)求证：AM=A0.

Q

【答案】（1）y=-,点F的坐标是（4,2）；（2）线段0E与CF的位置关系是OEJ_CF,理由见解析；（3）见

x

解析.

【解析】

【分析】

（1）求出E的坐标，求出反比例函数的解析式，把x=4代入即可求出F的坐标；

（2）iiEAOCE^ACBF,推出NCOE=/BCF,求出ZECF+NCEO=90。即可；

（3）过M作MNLOC于N,证△CMO和△ECO相似，求出CM、0M,根据三角形的面积公式求出MN,

根据勾股定理求出ON,得出M的坐标，根据勾股定理求出AM的值即可.

【详解】（1）解：1•正方形ABCO,B（4,4）,E为BC中点,

OA=AB=BC=OC=4,CE=BE=2,F的横坐标是4,

・•.E的坐标是（2,4）,

把E的坐标代入y=K得：k=8,

X

8

・.y=一,

x

・「F在双曲线上，

・•・把F的横坐标是4代入得:y=2,

F（4,2）,

答：反比例函数的函数解析式是y=3■，点F的坐标是（4,2）.

X

（2）线段0E与CF的位置关系是OE±CF,

理由是：「E的坐标是（2,4）,点F的坐标是（4,2）,

/.AF=4-2=2=CE,

...正方形OABC,

/.OC=BC,ZB=ZBCO=90°,

在4OCE和^CBF中

'OC=BC

«ZB=Z0CE-

CE=BF

AOCE邕ACBF,

，ZCOE=ZBCF,

---ZBCO=90°,

ZCOE+ZCEO=90",

ZBCF+ZCEO=90",

ZCME=180°-90°=90°,

即OE±CF.

(3)证明：•■•0C=4,CE=2,由勾股定理得:0E=2遥,

过.M作MN±OC于N,

OE±CF,

ZCMO=ZOCE=90°,

ZCOE=ZCOE,

△CMO-AECO,

.OC_CM_OM

"而一丽衣’

即冬空磔

2V524

解得：CM=^S,OM=^&,