2020-2021学年高中数学-第一讲-不等式和绝对值不等式达标检测课时作业（含解析）新人教A版选修

PAGE第一讲不等式和绝对值不等式达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a>b>c，则eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)()A．大于0 B．小于0C．小于等于0 D．大于等于0解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，∴eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)>0.故选A.答案：A2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b解析：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0,0>b>－a，∴a>－b>b>－a.答案：C3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是()A.eq\f(3\r(3,2),2) B．eq\f(2\r(3,3),3)C.eq\f(3,2)eq\r(3) D．eq\f(2,3)eq\r(2)解析：由logxy＝－2得y＝eq\f(1,x2)，而x＋y＝x＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(1,x2))＝3eq\r(3,\f(1,4))＝eq\f(3,2)eq\r(3,2).答案：A4．已知|x－a|<b的解集为{x|2<x<4}，则实数a等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：由|x－a|<b得，a－b<x<a＋b，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a＋b＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))答案：C5．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．2 B．eq\r(2)C．4 D．6解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.答案：A6．若x∈(－∞，1)，则函数y＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)有()A．最小值1 B．最大值1C．最大值－1 D．最小值－1解析：y＝eq\f(x－12,2x－2)＋eq\f(1,2x－2)＝eq\f(x－1,2)＋eq\f(1,2x－1)≤－2eq\r(\f(1－x,2)·\f(1,21－x))＝－1.答案：C7．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()A．a＜－1 B．|a|≤1C．|a|＜1 D．a≥1解析：取a＝0时，|x|≥0恒成立，所以a＝0符合，可以排除A，D.取a＝1时，|x|≥x恒成立，所以a＝1符合，从而排除C，所以正确答案为B.答案：B8．使eq\r(\f(3－|x|,|2x＋1|－4))有意义的x所满足的条件是()A．－3≤x<eq\f(3,2)B．－eq\f(5,2)<x≤3C．－3≤x<－eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3D．－3≤x≤3解析：使式子有意义的x所满足的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－|x|≥0，,|2x＋1|－4>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－|x|≤0，,|2x＋1|－4<0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤3，,|2x＋1|>4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,2x＋1>4或2x＋1<－4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,x>\f(3,2)或x<－\f(5,2).))∴－3≤x<－eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3.故选C.答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a，b，c且a＋b＋c＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为()A．27 B．54C．52 D．56解析：∵9＝a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c＝3时取得最大值27∴abc≤27，此时其表面积为6×32＝54.故选B.答案：B10．若a>0，b>0，a＋b＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))的最小值是()A．6 B．7C．8 D．9解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))＝eq\f(1－a1＋a1－b1＋b,a2b2)＝eq\f(1＋a1＋b,ab)＝eq\f(2,ab)＋1，∵a＋b＝1，∴2eq\r(ab)≤1.∴ab≤eq\f(1,4)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))≥9.答案：D11．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数aA．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x＋3|－|x－1|≤4，且|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x恒成立，所以a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，解得a≥4，或a≤－1.答案：A12．设0<x<1，a，b都为大于零的常数，若eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)≥m恒成立，则m的最大值是()A．(a－b)2 B．(a＋b)2C．a2b2 D．a2解析：∵eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝[eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)][x＋(1－x)]＝a2＋b2＋eq\f(a21－x,x)＋eq\f(b2x,1－x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当eq\f(a21－x,x)＝eq\f(b2x,1－x)时等号成立．所以m≤(a＋b)2，m的最大值为(a＋b)2，选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．解析：法一：当x>eq\f(1,2)时，原不等式转化为4x≤6⇒x≤eq\f(3,2)；当－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x<－eq\f(1,2)时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－eq\f(3,2).由上综合知，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).法二：原不等式可化为|x－eq\f(1,2)|＋|x＋eq\f(1,2)|≤3，其几何意义为数轴上到eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(3,2)时，到eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)两点的距离之和恰好为3，故当－eq\f(3,2)≤x≤eq\f(3,2)时，满足题意，则原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2)))14．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是________．解析：因为x，a，b，y成等差数列，所以x＋y＝a＋b，又x，c，d，y成等比数列，所以xy＝cd，eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＋2＝4，当且仅当x＝y时，取等号．答案：415．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(xa,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，∴1＋a＋2eq\r(a)≥9，即a＋2eq\r(a)－8≥0，故a≥4.答案：416.下面四个命题：①若a>b，c>1，则algc>blgc；②若a>b，c>0，则algc>blgc；③若a>b，则a·2c>b·2c；④若a<b<0，c>0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).其中正确命题有________．(填序号)解析：②不正确，因为0<c<1时，lgc<0.①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设x、y、z>0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．解析：∵6＝x＋3y＋4z＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋y＋y＋y＋4z≥6eq\r(6,x2y3z)，∴x2y3z≤1(当eq\f(x,2)＝y＝4z时，取“＝”)．∴x＝2，y＝1，z＝eq\f(1,4)时，x2y3z取得最大值1.18．(12分)已知ab≠0，且a>b，试比较eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小．解析：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵ab≠0，a>b，∴b－a<0，如果ab<0，eq\f(b－a,ab)>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，如果ab>0，eq\f(b－a,ab)<0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b).19．(12分)解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.解析：①当x>2时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,2x－4－3x＋9<1))⇒x>2.②当－3≤x≤2时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤2,－2x－4－3x＋9<1))⇒－eq\f(6,5)<x≤2.③当x<－3时，原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3,－2x－4＋3x＋9<1))⇒x<－12.综上所述知不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>－\f(6,5)或x<－12)).20．(12分)已知a>0，b>0，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,b)＋\f(1,a2)))≥9.证明：因为a>0，b>0，所以a＋b＋eq\f(1,a)≥3eq\r(3,a·b·\f(1,a))＝3eq\r(3,b)>0. ①同理可证a2＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,a2)≥3eq\r(3,\f(1,b))>0. ②由①，②结合不等式的性质得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,b)＋\f(1,a2)))≥3eq\r(3,b)×3eq\r(3,\f(1,b))＝9，当a＝b＝1时，取等号．21．(13分)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＝－1，,a＋3＝5，))解得a＝2.(2)法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x<－3；,5，－3≤x≤2；,2x＋1，x>2.))所以当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x>2时，g(x)>5.综上所述，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．则m的取值范围为(－∞，5]．法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保