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文档简介
PAGE第一讲不等式和绝对值不等式达标检测时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a>b>c,则eq\f(1,b-c)-eq\f(1,a-c)()A.大于0 B.小于0C.小于等于0 D.大于等于0解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,∴eq\f(1,a-c)<eq\f(1,b-c),∴eq\f(1,b-c)-eq\f(1,a-c)>0.故选A.答案:A2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b解析:∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,0>b>-a,∴a>-b>b>-a.答案:C3.若logxy=-2,则x+y的最小值是()A.eq\f(3\r(3,2),2) B.eq\f(2\r(3,3),3)C.eq\f(3,2)eq\r(3) D.eq\f(2,3)eq\r(2)解析:由logxy=-2得y=eq\f(1,x2),而x+y=x+eq\f(1,x2)=eq\f(x,2)+eq\f(x,2)+eq\f(1,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(1,x2))=3eq\r(3,\f(1,4))=eq\f(3,2)eq\r(3,2).答案:A4.已知|x-a|<b的解集为{x|2<x<4},则实数a等于()A.1 B.2C.3 D.4解析:由|x-a|<b得,a-b<x<a+b,由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b=2,,a+b=4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=1.))答案:C5.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为()A.2 B.eq\r(2)C.4 D.6解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.答案:A6.若x∈(-∞,1),则函数y=eq\f(x2-2x+2,2x-2)有()A.最小值1 B.最大值1C.最大值-1 D.最小值-1解析:y=eq\f(x-12,2x-2)+eq\f(1,2x-2)=eq\f(x-1,2)+eq\f(1,2x-1)≤-2eq\r(\f(1-x,2)·\f(1,21-x))=-1.答案:C7.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是()A.a<-1 B.|a|≤1C.|a|<1 D.a≥1解析:取a=0时,|x|≥0恒成立,所以a=0符合,可以排除A,D.取a=1时,|x|≥x恒成立,所以a=1符合,从而排除C,所以正确答案为B.答案:B8.使eq\r(\f(3-|x|,|2x+1|-4))有意义的x所满足的条件是()A.-3≤x<eq\f(3,2)B.-eq\f(5,2)<x≤3C.-3≤x<-eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3D.-3≤x≤3解析:使式子有意义的x所满足的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-|x|≥0,,|2x+1|-4>0,))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-|x|≤0,,|2x+1|-4<0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤3,,|2x+1|>4,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3≤x≤3,,2x+1>4或2x+1<-4,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3≤x≤3,,x>\f(3,2)或x<-\f(5,2).))∴-3≤x<-eq\f(5,2)或eq\f(3,2)<x≤3.故选C.答案:C9.一个长方体的长,宽,高分别为a,b,c且a+b+c=9,当长方体体积最大时,长方体的表面积为()A.27 B.54C.52 D.56解析:∵9=a+b+c≥3eq\r(3,abc),当且仅当a=b=c=3时取得最大值27∴abc≤27,此时其表面积为6×32=54.故选B.答案:B10.若a>0,b>0,a+b=1,则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)-1))的最小值是()A.6 B.7C.8 D.9解析:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)-1))=eq\f(1-a1+a1-b1+b,a2b2)=eq\f(1+a1+b,ab)=eq\f(2,ab)+1,∵a+b=1,∴2eq\r(ab)≤1.∴ab≤eq\f(1,4),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)-1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)-1))≥9.答案:D11.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数aA.(-∞,-1]∪[4,+∞)B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞)解析:因为-4≤|x+3|-|x-1|≤4,且|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意x恒成立,所以a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0,解得a≥4,或a≤-1.答案:A12.设0<x<1,a,b都为大于零的常数,若eq\f(a2,x)+eq\f(b2,1-x)≥m恒成立,则m的最大值是()A.(a-b)2 B.(a+b)2C.a2b2 D.a2解析:∵eq\f(a2,x)+eq\f(b2,1-x)=[eq\f(a2,x)+eq\f(b2,1-x)][x+(1-x)]=a2+b2+eq\f(a21-x,x)+eq\f(b2x,1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当eq\f(a21-x,x)=eq\f(b2x,1-x)时等号成立.所以m≤(a+b)2,m的最大值为(a+b)2,选B.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)13.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为________.解析:法一:当x>eq\f(1,2)时,原不等式转化为4x≤6⇒x≤eq\f(3,2);当-eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时,原不等式转化为2≤6,恒成立;当x<-eq\f(1,2)时,原不等式转化为-4x≤6⇒x≥-eq\f(3,2).由上综合知,原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|-\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).法二:原不等式可化为|x-eq\f(1,2)|+|x+eq\f(1,2)|≤3,其几何意义为数轴上到eq\f(1,2),-eq\f(1,2)两点的距离之和不超过3的点的集合.数形结合知,当x=eq\f(3,2)或x=-eq\f(3,2)时,到eq\f(1,2),-eq\f(1,2)两点的距离之和恰好为3,故当-eq\f(3,2)≤x≤eq\f(3,2)时,满足题意,则原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|-\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).答案:eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|-\f(3,2)≤x≤\f(3,2)))14.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则eq\f(a+b2,cd)的最小值是________.解析:因为x,a,b,y成等差数列,所以x+y=a+b,又x,c,d,y成等比数列,所以xy=cd,eq\f(a+b2,cd)=eq\f(x+y2,xy)=eq\f(x2+y2+2xy,xy)=eq\f(x,y)+eq\f(y,x)+2≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))+2=4,当且仅当x=y时,取等号.答案:415.已知不等式(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(a,y)))≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.解析:(x+y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(a,y)))=1+a+eq\f(y,x)+eq\f(xa,y)≥1+a+2eq\r(a),∴1+a+2eq\r(a)≥9,即a+2eq\r(a)-8≥0,故a≥4.答案:416.下面四个命题:①若a>b,c>1,则algc>blgc;②若a>b,c>0,则algc>blgc;③若a>b,则a·2c>b·2c;④若a<b<0,c>0,则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).其中正确命题有________.(填序号)解析:②不正确,因为0<c<1时,lgc<0.①③④正确.答案:①③④三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)设x、y、z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解析:∵6=x+3y+4z=eq\f(x,2)+eq\f(x,2)+y+y+y+4z≥6eq\r(6,x2y3z),∴x2y3z≤1(当eq\f(x,2)=y=4z时,取“=”).∴x=2,y=1,z=eq\f(1,4)时,x2y3z取得最大值1.18.(12分)已知ab≠0,且a>b,试比较eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小.解析:eq\f(1,a)-eq\f(1,b)=eq\f(b-a,ab),∵ab≠0,a>b,∴b-a<0,如果ab<0,eq\f(b-a,ab)>0,∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b),如果ab>0,eq\f(b-a,ab)<0,∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b).19.(12分)解不等式|2x-4|-|3x+9|<1.解析:①当x>2时,原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,2x-4-3x+9<1))⇒x>2.②当-3≤x≤2时,原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3≤x≤2,-2x-4-3x+9<1))⇒-eq\f(6,5)<x≤2.③当x<-3时,原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-3,-2x-4+3x+9<1))⇒x<-12.综上所述知不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>-\f(6,5)或x<-12)).20.(12分)已知a>0,b>0,求证:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a+b+\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2+\f(1,b)+\f(1,a2)))≥9.证明:因为a>0,b>0,所以a+b+eq\f(1,a)≥3eq\r(3,a·b·\f(1,a))=3eq\r(3,b)>0. ①同理可证a2+eq\f(1,b)+eq\f(1,a2)≥3eq\r(3,\f(1,b))>0. ②由①,②结合不等式的性质得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a+b+\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2+\f(1,b)+\f(1,a2)))≥3eq\r(3,b)×3eq\r(3,\f(1,b))=9,当a=b=1时,取等号.21.(13分)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.解析:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-3=-1,,a+3=5,))解得a=2.(2)法一:当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2x-1,x<-3;,5,-3≤x≤2;,2x+1,x>2.))所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.综上所述,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立.则m的取值范围为(-∞,5].法二:当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].22.(13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保
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