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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−3<x<2},B={x∈Z|x≥0},则A∩B=(
)A.{0,1,2} B.{−2,0,1} C.{0} D.{0,1}2.已知向量a=(−1,2),b=(1,m),且a//b,则A.0 B.−5 C.4 D.33.函数f(x)=(1x−x)cosx的部分图象大致是A. B.
C. D.4.函数f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,|f(π)|=1,将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=35,则cosA.725 B.1625 C.−95.2023年第19届亚运会在杭州举行,亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱,某商家统计了最近5个月销量,如下表所示:时间x12345销售量y/万只54.543.52.5若y与x线性相关,且线性回归方程为y=−0.6x+aA.由题中数据可知,变量y与x负相关
B.当x=5时,残差为0.2
C.可以预测当x=6时销量约为2.1万只
D.线性回归方程y=−0.6x+6.某体育器材厂生产一批篮球,单个篮球的质量Y(单位:克)服从正态分布N(600,4),从这一批篮球中随机抽检300个,则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为(
)A.246 B.252 C.286 D.2937.若a∈N,且502024+a能被17整除,则a的最小值为(
)A.0 B.1 C.15 D.168.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游,由于是旅游的旺季,他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间,并约定每个房间都要住人,每个房间最多住2人,且男女不能混住.则不同的安排方法有( )种.A.1960 B.2160 C.2520 D.2880二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(
)A.若z=1−2i,则|z|=5
B.若z=i+1,则z⋅z−=−2
C.已知m,n∈R,i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n=1
D.若复数10.下列说法中,正确的是(
)A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32
B.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2),P(ξ<4)=0.84,则P(2<ξ<4)=0.34
C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bx,若b=2,x−=1,y−=3,则a=1
D.若样本数据11.对于任意的x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪,y=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是(
)A.函数y=[x],x∈R的图象关于原点对称
B.函数y=x−[x],x∈R的值域为[0,1)
C.对于任意的x,y∈R,不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立
D.不等式2[x]2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.函数y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)13.已知(2x−3)8=a0+14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知(2x+1x)n(n∈N∗).
(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等,求n的值,并求常数项;16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA).
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD17.(本小题15分)
有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.18.(本小题17分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为π3,故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,点A的曲率为2π3,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC.
(1)证明:CN⊥平面ABB1A119.(本小题17分)
数列{an}中,从第二项起,每一项与其前一项的差组成的数列{an+1−an}称为{an}的一阶差数列,记为{an(1)},依此类推,{an(1)}的一阶差数列称为{an}的二阶差数列,记为{an(2)},…如果一个数列{an}的p阶差数列{an(p)}是等比数列,则称数列{an}为p阶等比数列(p∈N∗).答案解析1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了描述法和列举法的定义,交集及其运算,考查了计算能力,属于基础题.
进行交集的运算即可.【解答】
解:∵A={x∈Z|−3<x<2},B={x∈Z|x≥0},
∴A∩B={x∈Z|0≤x<2}={0,1}.
故选:D.2.【答案】B
【解析】解:∵a//b,
∴−m−2=0,
∴m=−2,
∴b=(1,−2),
∴a⋅b=−1−4=−5.
故选:B.
3.【答案】D
【解析】解:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为f(−x)=(−1x+x)cos(−x)=−(1x−x)cosx=−f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;
易知f(1)=f(π2)=0,排除B;
当x>0且无限趋近于0时,1x−x>0,cosx>0,即f(x)>0,排除C.
故选:D.
4.【答案】A
【解析】解:令ωx=3π2可得,x=3π2ω,令ωx=5π2可得x=5π2ω,
因为函数f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心,
所以3π2ω≤π5π2ω<πω>0,
解得,32≤ω<52,
因为|f(π)|=|cosωπ|=1,
所以ωπ=kπ,k∈Z,
故ω=k,k∈Z,
所以ω=2,f(x)=cos2x,
将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象,则g(x)=cos(2x−2π3),5.【答案】B
【解析】解:对于选项A,从数据看y随x的增大而减小,所以变量y与x负相关,故A正确;
对于选项B,由表中数据知x−=1+2+3+4+55=3,5+4.5+4+3.5+2.55=3.9,
所以样本中心点为(3,3.9),将样本中心点(3,3.9)代入y=−0.6x+a中得3.9+1.8=5.7,
所以线性回归方程为y=−0.6x+5.7,
所以y5=−0.6×5+5.7=2.7,e=2.5−2.7=−0.2,故B错误;
对于选项C,当x=6时销量约为y=−0.6×6+5.7=2.1(万只),故C正确.
对于选项D6.【答案】D
【解析】解:因为单个篮球的质量Y(单位:克)服从正态分布N(600,4),
所以P(596<Y<604)=0.9544,
所以P(Y<596)=12(1−0.9544)=0.0228,
所以P(Y≥596)=1−P(Y<596)=1−0.0228=0.9772,
被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为300×0.9772≈293.
故选:D.
7.【答案】D
【解析】解:502024+a=(51−1)2024+a
=C20240⋅512024×(−1)0+C20241⋅512023×(−1)1+⋯+C2024r⋅512024−r×(−1)r+⋯+C20242024⋅(−1)2024+a,
因为8.【答案】C
【解析】解:若3名女生住2个房间,则4名男生其中有两人住一个房间,则不同的方法种数为C32C42A55,
若3名女生住3个房间,则4名男生每两人住一个房间,则不同的方法种数为12C42A55,
则不同的安排方法有C9.【答案】ACD
【解析】解:对于A:若z=1−2i,则|z|=1+4=5,A正确;
对于B:若z=i+1,则z⋅z−=(i+1)(−i+1)=2,B错误;
对于C:由已知i2+mi+n=n−1+mi=0,所以n−1=0,m=0,
所以m=0,n=1,即m+n=1,C正确;
对于D:设z=x+yi,则|z−1|=|x−1+yi|=2,所以(x−1)2+y2=4,
所以x2+y2=3+2x,且4=(x−1)2+y2≥(x−1+y)22,即x+y≤22+1,当且仅当x=10.【答案】BC
【解析】解:数据40,27,32,30,38,54,31,50按从小到大排列为:27,30,31,32,38,40,50,54,
改组数据的第50百分位数即为中位数,等于32+382=35,故A错误;
已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2),P(ξ<4)=0.84,
则P(2<ξ<4)=1−2×0.162=0.34,故B正确;
已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bx,若b=2,x−=1,y−=3,
则a=3−2×1=1,故C正确;
若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据2x1−1,11.【答案】BCD
【解析】解:对于A,当0≤x<1时,y=[x]=0,当−1<x<0时,y=[x]=−1,
所以y=[x],x∈R不是奇函数,即函数y=[x]的图象不关于原点对称,故A项错误;
对于B,由取整函数的定义知,[x]≤x<[x]+1,所以x−1<[x]≤x,
可得0≤x−[x]<1,函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1),故B项正确;
对于C,由取整函数的定义,对任意的x、y∈R,[x]≤x,[y]≤y,
所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y],故C项正确;
对于D,由2[x]2+[x]−1<0,得(2[x]−1)([x]+1)<0,解得−1<[x]<12,
结合取整函数的定义可得[x]=0,即x∈[0,1),故D项正确.
故选:BCD.
结合取整函数的定义,利用奇偶性的定义判断A选项的正误;根据取整函数的定义得到[x]≤x<[x]+1,从而判断出B、C12.【答案】(−1【解析】解:令3x+2=1,解得x=−13,又y=loga[3×(−13)+2]+5=5,
所以函数y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−13.【答案】−448
【解析】解:(2x−3)8=(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+14.【答案】429【解析】解:设BC=3a,因为AB⊥BC,tan∠BAC=34,
所以AB=4a,AC=5a,
设△ABC的内切圆的半径为r,
则由三角形的面积相等得:12(AB+BC+AC)r=12AB⋅BC,
即12(4a+3a+5a)r=12×(4a)×(3a),解得r=a,
因为三棱柱ABC−A1B1C1有内切球,所以AA1=2a,
因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球就是以BA,BC,BB1为棱的长方体的外接球,
即直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径就是以15.【答案】解:(Ⅰ)二项式(2x+1x)n的第3项和第5项的二项式系数相等,
故Cn2=Cn4,解得n=6;
根据(2x+1x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等,求出n的值,进一步求常数项;
(Ⅱ)利用赋值法求出n的值,进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项.
本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于中档题.16.【答案】解:(1)依题意,12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC,
所以csinC+bsinB−asinA=bsinC,
由正弦定理可得,c2+b2−a2=bc,
由余弦定理,c2+b2−a2=2bccosA,解得cosA=12,
因为A∈(0,π),所以A=π3【解析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边,再利用余弦定理即可得解;
(2)根据三角形的周长,结合余弦定理求出bc,再向量化即可得解.
本题考查正弦定理,及余弦定理的应用,向量的运算性质的应用,属于中档题.17.【答案】解:(1)记事件A为任取一个零件,计算它是次品,
P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第(i=123)台车床加工的概率,就是计算在A发生的条件下,事件B发生的概率,
P(AB1)=0.06×0.25=0.015,
P(B1|A)=P(AB【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可;
(2)分别计算第i台车床的次品率,再根据条件概率公式计算即可.
本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率,是基础题.18.【答案】(1)证明:在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC,AB⊂平面ABC,
则AA1⊥AC,AA1⊥AB,所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3,
所以∠BAC=π3,因为AB=AC,所以△ABC为正三角形,
因为N为AB的中点,所以CN⊥AB,
又AA1⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,所以AA1⊥CN,
因为AA1∩AB=A,AA1、AB⊂平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.
(2)证明:取AB1的中点D,连接DM,DN,
因为N为AB的中点,所以DN//BB1且DN=12BB1,
又CM//BB1且CM=12BB1,所以DN//CM且DN=CM,
所以四边形CNDM为平行四边形,则DM//CN,
由(1)知CN⊥平面AB
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