2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−3<x<2}，B={x∈Z|x≥0}，则A∩B=(

)A.{0,1,2} B.{−2,0,1} C.{0} D.{0,1}2.已知向量a=(−1,2)，b=(1,m)，且a//b，则A.0 B.−5 C.4 D.33.函数f(x)=(1x−x)cosx的部分图象大致是A. B.

C. D.4.函数f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，|f(π)|=1，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=35，则cosA.725 B.1625 C.−95.2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：时间x12345销售量y/万只54.543.52.5若y与x线性相关，且线性回归方程为y=−0.6x+aA.由题中数据可知，变量y与x负相关

B.当x=5时，残差为0.2

C.可以预测当x=6时销量约为2.1万只

D.线性回归方程y=−0.6x+6.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为(

)A.246 B.252 C.286 D.2937.若a∈N，且502024+a能被17整除，则a的最小值为(

)A.0 B.1 C.15 D.168.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有(    )种．A.1960 B.2160 C.2520 D.2880二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(

)A.若z=1−2i，则|z|=5

B.若z=i+1，则z⋅z−=−2

C.已知m，n∈R，i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n=1

D.若复数10.下列说法中，正确的是(

)A.数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32

B.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，则P(2<ξ<4)=0.34

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x−=1，y−=3，则a=1

D.若样本数据11.对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是(

)A.函数y=[x]，x∈R的图象关于原点对称

B.函数y=x−[x]，x∈R的值域为[0,1)

C.对于任意的x，y∈R，不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立

D.不等式2[x]2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)13.已知(2x−3)8=a0+14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(2x+1x)n(n∈N∗)．

(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求n的值，并求常数项；16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．

(1)求A；

(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD17.(本小题15分)

有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率．18.(本小题17分)

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC．

(1)证明：CN⊥平面ABB1A119.(本小题17分)

数列{an}中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{an+1−an}称为{an}的一阶差数列，记为{an(1)}，依此类推，{an(1)}的一阶差数列称为{an}的二阶差数列，记为{an(2)}，…如果一个数列{an}的p阶差数列{an(p)}是等比数列，则称数列{an}为p阶等比数列(p∈N∗).答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

进行交集的运算即可．【解答】

解：∵A={x∈Z|−3<x<2}，B={x∈Z|x≥0}，

∴A∩B={x∈Z|0≤x<2}={0,1}．

故选：D．2.【答案】B

【解析】解：∵a/​/b，

∴−m−2=0，

∴m=−2，

∴b=(1,−2)，

∴a⋅b=−1−4=−5．

故选：B．

3.【答案】D

【解析】解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，

因为f(−x)=(−1x+x)cos(−x)=−(1x−x)cosx=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；

易知f(1)=f(π2)=0，排除B；

当x>0且无限趋近于0时，1x−x>0,cosx>0，即f(x)>0，排除C．

故选：D．

4.【答案】A

【解析】解：令ωx=3π2可得，x=3π2ω，令ωx=5π2可得x=5π2ω，

因为函数f(x)=cosωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，

所以3π2ω≤π5π2ω<πω>0，

解得，32≤ω<52，

因为|f(π)|=|cosωπ|=1，

所以ωπ=kπ，k∈Z，

故ω=k，k∈Z，

所以ω=2，f(x)=cos2x，

将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=cos(2x−2π3)，5.【答案】B

【解析】解：对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；

对于选项B，由表中数据知x−=1+2+3+4+55=3，5+4.5+4+3.5+2.55=3.9，

所以样本中心点为(3,3.9)，将样本中心点(3,3.9)代入y=−0.6x+a中得3.9+1.8=5.7，

所以线性回归方程为y=−0.6x+5.7，

所以y5=−0.6×5+5.7=2.7,e=2.5−2.7=−0.2，故B错误；

对于选项C，当x=6时销量约为y=−0.6×6+5.7=2.1(万只)，故C正确．

对于选项D6.【答案】D

【解析】解：因为单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，

所以P(596<Y<604)=0.9544，

所以P(Y<596)=12(1−0.9544)=0.0228，

所以P(Y≥596)=1−P(Y<596)=1−0.0228=0.9772，

被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为300×0.9772≈293．

故选：D．

7.【答案】D

【解析】解：502024+a=(51−1)2024+a

=C20240⋅512024×(−1)0+C20241⋅512023×(−1)1+⋯+C2024r⋅512024−r×(−1)r+⋯+C20242024⋅(−1)2024+a，

因为8.【答案】C

【解析】解：若3名女生住2个房间，则4名男生其中有两人住一个房间，则不同的方法种数为C32C42A55，

若3名女生住3个房间，则4名男生每两人住一个房间，则不同的方法种数为12C42A55，

则不同的安排方法有C9.【答案】ACD

【解析】解：对于A：若z=1−2i，则|z|=1+4=5，A正确；

对于B：若z=i+1，则z⋅z−=(i+1)(−i+1)=2，B错误；

对于C：由已知i2+mi+n=n−1+mi=0，所以n−1=0，m=0，

所以m=0，n=1，即m+n=1，C正确；

对于D：设z=x+yi，则|z−1|=|x−1+yi|=2，所以(x−1)2+y2=4，

所以x2+y2=3+2x，且4=(x−1)2+y2≥(x−1+y)22，即x+y≤22+1，当且仅当x=10.【答案】BC

【解析】解：数据40，27，32，30，38，54，31，50按从小到大排列为：27，30，31，32，38，40，50，54，

改组数据的第50百分位数即为中位数，等于32+382=35，故A错误；

已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，

则P(2<ξ<4)=1−2×0.162=0.34，故B正确；

已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x−=1，y−=3，

则a=3−2×1=1，故C正确；

若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，11.【答案】BCD

【解析】解：对于A，当0≤x<1时，y=[x]=0，当−1<x<0时，y=[x]=−1，

所以y=[x]，x∈R不是奇函数，即函数y=[x]的图象不关于原点对称，故A项错误；

对于B，由取整函数的定义知，[x]≤x<[x]+1，所以x−1<[x]≤x，

可得0≤x−[x]<1，函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)，故B项正确；

对于C，由取整函数的定义，对任意的x、y∈R，[x]≤x，[y]≤y，

所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y]，故C项正确；

对于D，由2[x]2+[x]−1<0，得(2[x]−1)([x]+1)<0，解得−1<[x]<12，

结合取整函数的定义可得[x]=0，即x∈[0,1)，故D项正确．

故选：BCD．

结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义判断A选项的正误；根据取整函数的定义得到[x]≤x<[x]+1，从而判断出B、C12.【答案】(−1【解析】解：令3x+2=1，解得x=−13，又y=loga[3×(−13)+2]+5=5，

所以函数y=loga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−13.【答案】−448

【解析】解：(2x−3)8=(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+14.【答案】429【解析】解：设BC=3a，因为AB⊥BC,tan∠BAC=34，

所以AB=4a，AC=5a，

设△ABC的内切圆的半径为r，

则由三角形的面积相等得：12(AB+BC+AC)r=12AB⋅BC，

即12(4a+3a+5a)r=12×(4a)×(3a)，解得r=a，

因为三棱柱ABC−A1B1C1有内切球，所以AA1=2a，

因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，

即直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径就是以15.【答案】解：(Ⅰ)二项式(2x+1x)n的第3项和第5项的二项式系数相等，

故Cn2=Cn4，解得n=6；

根据(2x+1x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等，求出n的值，进一步求常数项；

(Ⅱ)利用赋值法求出n的值，进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项．

本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，

所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，

由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，

由余弦定理，c2+b2−a2=2bccosA，解得cosA=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3【解析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；

(2)根据三角形的周长，结合余弦定理求出bc，再向量化即可得解．

本题考查正弦定理，及余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)记事件A为任取一个零件，计算它是次品，

P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第(i=123)台车床加工的概率，就是计算在A发生的条件下，事件B发生的概率，

P(AB1)=0.06×0.25=0.015，

P(B1|A)=P(AB【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；

(2)分别计算第i台车床的次品率，再根据条件概率公式计算即可．

本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率，是基础题．18.【答案】(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，

则AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，

所以∠BAC=π3，因为AB=AC，所以△ABC为正三角形，

因为N为AB的中点，所以CN⊥AB，

又AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN，

因为AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，

所以CN⊥平面ABB1A1．

(2)证明：取AB1的中点D，连接DM，DN，

因为N为AB的中点，所以DN//BB1且DN=12BB1，

又CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//CM且DN=CM，

所以四边形CNDM为平行四边形，则DM/​/CN，

由(1)知CN⊥平面AB