2020-2021学年高中数学-第四章-定积分-2-微积分基本定理课后作业（含解析）北师大版选修2-

PAGE第四章定积分[A组基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝eq\i\in(0,3,)(1＋2x)dx，S20＝17，则S30等于()A．15 B．20C．25 D．30解析：S10＝eq\i\in(0,3,)(1＋2x)dx＝(x＋x2)|eq\o\al(3,0)＝12.又{an}为等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20.∴S30＝3(S20－S10)＝3×(17－12)＝15.答案：A2．f(x)是一次函数，且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝5，eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\f(17,6)，那么f(x)的解析式是()A．4x＋3 B．3x＋4C．－4x＋2 D．－3x＋4解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax＋b)dx＝(eq\f(1,2)ax2＋bx)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)a＋b＝5， ①eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋bx)dx＝(eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(17,6). ②联立①②，解得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3.答案：A3．m＝eq\i\in(0,1,)exdx与n＝eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx的大小关系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．无法确定解析：m＝ex|eq\o\al(1,0)＝e－1，n＝lnx|eq\o\al(e,1)＝1，∴m>n.答案：A4.eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝()A.eq\f(21,3) B.eq\f(22,3)C.eq\f(23,3) D.eq\f(25,3)解析：eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝eq\i\in(0,2,)(4－x2)dx＋eq\i\in(2,3,)(x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,2)))＝eq\f(23,3)，故选C.答案：C5．函数F(x)＝eq\i\in(0,x,)t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，无最大值D．即无最大值也无最小值解析：F(x)＝eq\i\in(0,x,)(t2－4t)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(x,0)))＝eq\f(1,3)x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0，得x＝0或4，列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－eq\f(32,3).又F(－1)＝－eq\f(7,3)，F(5)＝－eq\f(25,3)，所以最大值为0，最小值为－eq\f(32,3).答案：B6.eq\i\in(0,2,)(3x2＋k)dx＝10，则k＝________.解析：eq\i\in(0,2,)(3x2＋k)dx＝(x3＋kx)|eq\o\al(2,0)＝10，则k＝1.答案：17．若x2dx＝18(a>0)，则a＝________.解析：x2dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(a,－a)＝eq\f(a3,3)－eq\f(－a3,3)＝18⇒a＝3.答案：38．求下列定积分．(1)sin2eq\f(x,2)dx；(2)cos(x－eq\f(π,6))dx.解析：(1)sin2eq\f(x,2)dx＝eq\f(1－cosx,2)dx＝eq\f(1,2)dx－eq\f(1,2)cosxdx，因为x′＝1，(sinx)′＝cosx，所以原式＝eq\f(1,2)x|－eq\f(1,2)sinx＝eq\f(π－2,4).(2)法一：因为cos(x－eq\f(π,6))＝cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx，又因为(sinx)′＝cosx，(－cosx)′＝sinx，所以cos(x－eq\f(π,6))dx＝(eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx)dx＝(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝0.法二：∵[sin(x－eq\f(π,6))]′＝cos(x－eq\f(π,6))，∴cos(x－eq\f(π,6))dx＝sin(x－eq\f(π,6))＝sineq\f(5,6)π－sineq\f(π,6)＝0.9．已知函数f(x)＝∫eq\o\al(x,0)(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，试求a，b的值．解析：f(x)＝eq\i\in(0,x,)(at2＋bt＋1)dt＝(eq\f(a,3)t3＋eq\f(b,2)t2＋t)|eq\o\al(x,0)＝eq\f(a,3)x3＋eq\f(b,2)x2＋x.∵f(x)为奇函数，∴eq\f(b,2)＝0，即b＝0.又∵f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a,3)＋1＋eq\f(a,3)＋1＝eq\f(1,3).∴a＝－eq\f(5,2).[B组能力提升]1．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,2x，x<0，))则f(x)dx的值是()A.x2dx B.2xdxC.x2dx＋eq\i\in(0,1,)2xdx D.2xdx＋eq\i\in(0,1,)x2dx解析：f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(,0,)－12xdx.答案：D2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则eq\i\in(1,2,)f(－x)dx等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,6)解析：f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，n＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴eq\i\in(1,2,)f(－x)dx＝eq\i\in(1,2,)(x2－x)dx＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(5,6).答案：A3．若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝________.解析：因为eq\i\in(0,1,)f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋cx))|eq\o\al(1,)0，解得c＝－eq\f(2,3)，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x2＋c)dx＝eq\f(1,3)x3－eq\f(2,3)xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝(eq\f(1,3)－eq\f(2,3))－0＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．(1)若φ＝eq\f(π,6)，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))，则ω＝________.(2)若在曲线段eq\x\to(ABC)与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．解析：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，所以f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)．当φ＝eq\f(π,6)时，f′(x)＝ωcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))).又该函数过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))，故eq\f(3\r(3),2)＝ωcoseq\f(π,6).所以ω＝3.(2)设A(x0,0)，不妨取ωx0＋φ＝eq\f(π,2)，所以x0＝eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω).又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为eq\f(2π,ω)，所以|AC|＝eq\f(π,ω)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,ω)，0)).依题意曲线段与x轴围成的面积为S＝＝2.因为|AC|＝eq\f(π,ω)，|yB|＝ω，所以S△ABC＝eq\f(π,2).所以满足条件的概率为eq\f(π,4).答案：(1)3(2)eq\f(π,4)5．物体在力F(x)＝2016x＋1(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝1处运动到x＝2处(单位：m)，求力F所做的功．解析：W＝eq\i\in(1,2,)(2016x＋1)dx＝(1008x2＋x)|eq\o\al(2,1)＝3025(J)．即力F所做的功是3025J.6．计算eq\i\in(0,4,)|x－a|dx，a∈R.解析：当a<0时，eq\i\in(0,4,)|x－a|dx＝eq\i\in(0,4,)(x－a)dx＝(eq\f(1,2)x2－ax)|eq\o\al(4,0)＝8－4a；当0≤a<4时，eq\i\in(0,4,)|x－a|dx＝eq\i\in(0,a,)|x－a|dx＋eq\i\in(a,4,)|x－a|dx＝eq\i\in(0,a,)(a－x)dx＋eq\i\in(a,4,)(x－a)dx＝(ax－eq\f(1,2)x2)|eq\o\al(a,0)＋(eq\f(1,2)x2－ax)|eq\o\al(4,