2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|2x>1}，B={x|x2A.{x|x>−2} B.{x|x≥−2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}2.若复数z满足z+i=2i(z−i)，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 3.已知向量a=(3,4)，|b|=3，且a与b的夹角θ=A.10 B.10 C.13 4.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为(

)A.10π B.20π C.8π D.16π5.某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为(

)A.5 B.4.5 C.3.5 D.186.已知α为锐角，且cos(α+π6)=3A.3+110 B.2−357.命题p：0<a<1，命题q：函数f(x)=loga(6−ax)(a>0,a≠1)在(−∞,3)上单调，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则A.[53,136) B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(m,n)(m,n∈R)，b=(1,2)，则以下说法正确的是(

)A.a//b⇔1m=2n

B.a⊥b⇒m+2n=0

C.若m≠0，n=0，则10.已知正数a，b满足a+5b=ab，则(

)A.1a+5b=1 B.a与b可能相等

C.11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDDA.动点F轨迹的长度为2

B.三棱锥B1−D1EF体积的最小值为13

C.B1F与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若角α满足tanα=2，则sin(π−α)+cos(3π13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．14.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1<x1<x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设a为常数，函数f(x)=asin2x+cos(2π−2x)+1(x∈R)．

(1)设a=3，求函数y=f(x)的严格增区间；

(2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数在16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．

(1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)若OP=2，点E为PD的中点，求二面角P−AC−E的余弦值．17.(本小题15分)

2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：

(1)求a，b的值；

(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的95和18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

(1)求角B；

(2)若△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，求19.(本小题17分)

若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．

(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；

(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；

(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.A

6.D

7.A

8.C

9.BCD

10.BD

11.AB

12.2

13.120份

14.[−315.解：(1)当a=3时，函数f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，

得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．

所以此函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；

(2)由题意，得函数f(x)的定义域为R，

因为函数y=f(x)为偶函数，

所以对于任意x∈R，均有f(−x)=f(x)成立，16.解：(1)证明：因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PO⊥AC，

因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

又BD∩PO=O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD．

(2)如图，连接OE，则OE⊂平面ACE，

由AC⊥平面PBD，OE⊂平面PBD，OP⊂平面PBD，

得AC⊥OE，AC⊥OP，

故∠POE即为二面角P−AC−E的平面角，

在菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=120°，

所以BD=23,OD=3，

又PO=2，所以PB=PD=22+(3)2=7，

由点E为PD的中点，得OE=12PD=72,PE=12PD=17.解：(1)由题意知，所以0.0162=0.008a，

解得a=0.032，

又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，

解得b=0.004．

所以a=0.032，b=0.004；

(2)成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，

落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，

设第80百分位数为m，则(m−70)0.04=0.8−0.48，

解得m=78，所以晋级分数线划为78分合理；

(3)x−=90，

故x1+x2+x3+⋯+x10=10×90=900，

又s2=110(x12+x22+⋯+x102)−902=6218.解：(1)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−ac=sinC−sinAsinB+sinA．

由正弦定理得b−ac=c−ab+a，

所以a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)△ABC为锐角三角形，AC=2，D是线段AC的中点，

因为a2+c2−b2=ac，所以a2+c219.解：(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ<x<2π+2kπ，

故f(x)∈[0,2]，|f(x)|≤2，

故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2；

(2)证明：令lnx+x=t∈(ln23+23,2+ln2)，

故原函数化为g(t)=t+1t−4，

由对勾函数性质可知，g(t)在t∈(ln23+