2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果(z−1)i=1，则z+z=(

)A.−2 B.−1 C.1 D.22.已知某圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为(

)A.22π B.4π C.43.在△ABC中，点D在边AB上，BD=23BA.记CA=a，CDA.3a−2b B.−2a+3b4.下列区间中，函数f(x)=1−sin(π6A.(0,π2) B.(π2,π)5.已知a=(1,0)，b=(3,4)，c=λa+b，若<a，cA.−6 B.−5 C.5 D.66.若tan(θ+π4)=−13A.−65 B.−25 C.7.已知正三棱台上、下底面的面积分别为2734和123，高为1，所有顶点都在球O的表面上，则球A.100π B.128π C.144π D.192π8.在△ABC中，已知sinA+3cosA=2，a=2，2A.3+1 B.23+2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于函数f(x)=2sin2x，下列说法正确的是(

)A.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)在区间[−π4,π4]上是单调递增函数

C.当x∈[−π6,π3]10.在平面直角坐标系中，点A1(cosα,sinα)，A2(cosβ,−A.|OA1|=|OA2| 11.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，CC1=2，A.A1E的最小值为2

B.A1E/​/平面AD1C

C.A1E+EC的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z=−1−i，则|z−1|=

．13.已知α∈(0,π)，若cos(2π3−α)=314.在△ABC中，|AB|=1，∠C=60∘，点D为AC的中点，点E为BD的中点，AB=3AF，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面上两个向量a，b，其中|a|=22，|b(1)若2a+λb与4a(2)求a+b与b16.(本小题15分)

如图(1)，在梯形PBCD中，BC//PD，PD=2BC，A是PD中点，现将△ABP沿AB折起得图(2)，点M是PD的中点，点N是BC的中点．(1)求证：MN/​/平面PAB;(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面EMN/​/平面PAB?若存在，请指出点E的位置并证明你的结论;若不存在，请说明理由．17.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S(1)求角B;(2)若△ABC的面积为3+3，求c18.(本小题17分)

如图，PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB，AB⊥AC，E是PB的中点．

(1)求证：OE/​/平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30∘，PO=4，OA=3，求三棱锥P−ABC19.(本小题17分)已知函数f(x)=asinx+bcosx，称非零向量p=(a,b)为f(x)(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3(2)若函数f(x)的“特征向量”为p=(1,3)，求当f(x)=85(3)若p=(3,1)的“特征函数”为f(x)，x∈[0,11π6]且方程f答案解析1.D

【解析】解：由题设z=1+1i=1−i，

2.B

【解析】解：设圆锥的母线长为l，

∵圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，

又圆锥的底面圆周长等于半圆的弧长，

∴πl=2π×2，解得l=22，

∴该圆锥的侧面积为．3.B

【解析】解：因为BD=23BA，

所以BD=23BA4.A

【解析】解：函数f(x)=1−sin(π6−x)=1+sin(x−π6)，

令

5.C

【解析】解：a=(1,0)，b=(3,4)，c=λa+b，

则c=(λ,0)+(3,4)=(λ+3,4)，

〈a,c〉=〈b,c〉6.C

【解析】解：∵tan(θ+π4)=−13，则tanθ+11−tanθ7.A

【解析】解：如图，

由正三棱台上、下底面的面积分别为2734和123，

得S△ABC=34AB2=123,S△A1B1C1=34A1B12=2743

故

AB=4

3，A1B1=33

，

设

△

A1

B1

C1的外心为

O1，

△ABC的外心为

O2，球心为O，

则O一定在直线

O1O2上，易得

A1O1=3，

AO2=4．

当球心在线段

O1

O2上时，如图

 ①所示，设

OO1=x，0<x<1，球半径为r，

则

OO2=1−x，

r2=

A1O128.A

【解析】解：由题意，，

因为A∈(0,π)，则，即A=π6，

由2bsinC=csin2B，得2bsinC=2csinBcosB，

由正弦定理得2bc=2bccosB，得cosB=22，

又B∈(0,π)9.BC

【解析】解：对于f(x)=2sin2x，它的最小正周期为2π2=π，故A错误；

当x∈[−π4,π4]时，2x∈[−π2,π2]，函数f(x)单调递增，故B正确；

当x∈[−π6,π3]10.AC

【解析】解：对于A、|OA1|=cos2α+sin2α=1，|OA2|=

cos2β+−sinβ2=1，故A正确；

对于B、因为A1B=1−cosα,−sinα，A2B=1−cosβ,sinβ，11.BCD

【解析】解：对于A.如图：

连接A1C1、A1B．

因为E是线段BC1上的一动点(包括端点)，所以A1E的最小值是点A1到BC1的距离．

因为长方体ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱，

所以A1B=BC1=5，A1C1=2，因此由三角形面积等量得A1E的最小值为355，故A错误；

对于B.如图：

因为ABCD−A1B1C1D1是长方体，所以AC//A

 ​1C

 ​1，而AC

⊂平面AD1C，A1C1

⊄平面

AD1C，

因此A

 ​1C1//平面

AD1C，同理可证A1B//平面

AD1C．

又因为A1C1和A在中，因为∠BCC1为直角，所以cos ∠BC因此cos=所以由余弦定理可得A1C2因此A1E+EC的最小值为170对于D．因为长方体ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱，所以AD⊥平面DCC1D1，且AD=1，

因此以A为球心，2为半径的球面与侧面DCC1D112.5【解析】解：∵z=−1−i，

∴z−1=−2−i，，

∴|z−1|=|−2−i|=−22+−113.13【解析】解：，

，

．14.1324【解析】解：因为CF=CA+AF=CA+13AB，

CE=12(CD+CB)=12(12CA+CA+AB)=12(32CA+AB)，15.解：(1)若2a+λb与4a+3b共线，则存在实数k，使得2a+λb=k(4a+3b)，即(2−4k)a+(λ−3k)b=0，因为向量a与b不共线，所以λ−3k=02−4k=0解得【解析】(1)根据题意，利用(2−4k)a+(λ−3k)b=0，即可求解；

16.(1)证明：取AP的中点Q，连接MQ，BQ，因为M，Q分别为PD，PA的中点，所以MQ//AD，MQ=12AD，

又因为N为BC的中点，所以BN//AD，BN=12AD．

所以MQ//BN，MQ=BN，所以四边形MNBQ为平行四边形，

所以MN//BQ，

又因为MN⊄平面PAB，BQ⊂平面PAB，所以MN/​/平面PAB．

(2)解：存在点E，当E为PC中点时，平面EMN/​/平面PAB.证明如下：

由图(1)因为A是PD中点，BC//PD，PD=2BC，

所以BC//AD且BC=AD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB/​/CD．

因为E，M分别为PC，PD中点，所以EM//CD，所以EM/​/AB，

因为AB⊂平面PAB，EM⊄平面PAB，所以EM/​/平面PAB，

同理可知EN/​/平面PAB，又因为EM∩EN=E，EM，EN⊂平面EMN，所以平面【解析】由线面平行的判定定理即可证明；

(2)由线线平行，推出线面平行，进而得面面平行求解即可．17.解：(1)因为S1+S2−S3=64ab，

所以34a2+34b2−34c2=64ab，

所以a2+b2−c2=2ab，

由余弦定理a2+b2−c2=2abcosC，

可得cosC=a2+b2−c22ab=2ab2ab=22，

因为【解析】(1)根据正三角形的面积写出S1，S2，S3，代入S1+S2−S3=64ab进行化简可得a2+b2−c2=2ab，代入余弦定理中可得cosC=a2+b2−c22ab18.解：(1)证明：取AB中点F，连接EF，OF．

因为OA=OB，F为AB的中点，

所以OF⊥AB，

又因为AB⊥AC，

所以OF//AC．

因为OF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以OF//平面PAC．

因为E，F分别是PB，AB的中点，

所以EF//PA，

因为EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以EF//平面PAC，

又因为EF∩OF=F，EF、OF⊂平面OEF，

所以平面OEF//平面PAC，

因为OE⊂平面OEF，

所以OE//平面PAC．

(2)因为OA=OB=3，∠ABO=30∘，

所以AB=33，

因为∠ABO=∠CBO=30∘，

所以∠ABC=60∘，

又因为AB⊥AC，所以AC=9，

所以S△ABC=12AB⋅AC=【解析】

(1)取AB中点F，由线面平行判定得证OF//平面PAC，EF//平面PAC，由面面平行的判定得平面OEF//平面PAC，由面面平行的性质得证；

(2)由题意得PO是三棱锥P−ABC的高，代入棱锥体积公式求解．19.解：(1)因为ℎ(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)=2(32cosx−12sinx)−(32cosx−12