2024年贵州省遵义市红花岗区中考数学三模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年贵州省遵义市红花岗区中考三模数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列有理数中比−1小的是(

)A.2 B.0 C.−3 D.12.如图所示的几何体为商兽面纹觚，其俯视图为(

)A.B.C.D.3.2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学.将1878万用科学记数法表示为(

)A.1.878×103 B.1.878×106 C.4.某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则不受影响的统计量是(

)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差5.正安县誉为“吉他之都，音乐之城”.吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦.弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行(如图①)，其部分截图如图②所示，AB/​/CD，则下列结论正确的是(

)A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠4=180° D.∠3+∠4=180°6.化简2m−2−mm−2A.1m−2 B.−1 C.−1m−27.如图，是某小区地下车库示意图.A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为(

)A.13B.23

C.148.如图，在△ABC中，∠A=48°，∠ABC=14°，延长AC到D，使得CD=CB，连接BD.则∠D的度数为(

)A.48° B.54° C.59° D.62°9.我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是(

)A.9x+11=6x−16 B.9x−11=6x+16

C.6x+11=9x−16 D.6x−11=9x+1610.如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1,0)与点A′(−2,0)是对应点，△ABC的面积是4，则△A′B′C′的面积是(

)A.4 B.8 C.12 D.1611.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，连接BO并延长至D，使得DO=BO，连接AD和CD.①以点D为圆心，DC的长为半径画弧交BD于点E；②分别以点C、E为圆心，大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线DP交BC于点F，连接EF.若AB=22+2，则CFA.2 B.2+1 C.412.已知一次函数y1=mx+n和y2=ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab>0；②a+b>m+n；③2(a−m)=b−n；④P(x1,y1)、A.①④

B.①③

C.②④

D.②③二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。13.化简2m+3m的结果是______．14.已知n是一元二次方程x2−x−1=0的根，代数式n(n−1)+2的值是______．15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB.若⊙O的半径为5，AB=8，则cos∠ACB的值为______．

16.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=5，AC=7，点E为AD的中点，∠BED=60°，则BE的长为______．

三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

(1)计算：(−1)2024+|3−2|−2cos30°；

(2)如图，点A，B(不重合)在数轴上所表示的数分别为x+32，3，求x的正整数解．

小磊分析过程如下：

因为点B在点A的右侧，列不等式为______；

18.(本小题10分)

中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献(分别记为A，B，C，D，E)某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：

(1)随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图；

(2)若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数；

(3)该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率．

19.(本小题10分)

已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(−1,4)和点B(m,−2)．

(1)求m的值及反比例函数的解析式；

(2)20.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AC的中点，AE/​/BC交BD的延长线于点E，EF⊥BC，交BC的延长线于点F．

(1)求证：AE=BC；

(2)若∠ABC=60°，BC=3，连接CE，求四边形ABCE21.(本小题10分)

某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”.提供以下信息：

信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元；

信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元；

信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元．

(1)在信息①②③中任选两个作为条件______(填序号)，求A型笔记本和B型笔记本的单价；

(2)在(1)的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？22.(本小题10分)

贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”.某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．实物图课题测量公馆桥的高度测量示意图方案一方案二方案说明无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为45°，C的俯角为37°(A,C在桥面上)．无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为37°．(1)根据以上数据判断，方案______不能求公馆桥的高度；

(2)利用以上可行方案求公馆桥的高度(参考数据tan37°≈34，sin37°≈323.(本小题12分)

如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于点D.下面是两位同学的对话：

(1)选择其中一位同学的说法并进行证明；

(2)在(1)的条件下，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于E，若BC=12，⊙O的半径为5，求tan∠CAE的值．

24.(本小题12分)

综合与实践

如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型.若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y(单位：m)与水流到喷水池中心的距离x(单位：m)之间的函数图象如图②所示.当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高103m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线.若喷水头的位置用(n,0)表示(n>0)．

①求n的取值范围；

②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值．

25.(本小题12分)

如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，连接DF，BE．

(1)【问题发现】如图①，线段BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；

(2)【问题探究】如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由；

(3)【拓展延伸】将△AEF绕点A旋转至AF/​/BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出BG的长．

答案解析1.C

【解析】解：∵正数大于0，0大于负数，

∴−3<0<1<2，

∵|−3|=3，|−1|=1，3>1，

∴−3<−1，

∴−3<−1<0<1<2，

∴选项中的有理数比−1小的是−3，

故选：C．

2.D

【解析】解：从上面看，是两个同心圆，其中里面的是虚线，故选项D符合题意．

故选：D．

3.D

【解析】解：1878万=18780000=1.878×107，

故选：D4.B

【解析】解：依题意，捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，方差都要用到第一个数，

故不受影响的统计量是中位数．

故选：B．

5.D

【解析】解：A、由AB/​/CD推出∠1和∠2的对顶角互补，得到∠1和∠2互补，∠1和∠2不一定相等，故A不符合题意；

B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出∠3和∠4互补，∠3和∠4不一定相等，故B不符合题意；

C、∠1和∠4不是同旁内角，由AB/​/CD不能判定∠1+∠4=180°，故C不符合题意；

D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出∠3+∠4=180°，故D符合题意．

故选：D．

6.B

【解析】解：2m−2−mm−2

=2−mm−2

=−17.C

【解析】解：∵有B、C、D、E四个不同的出口，

∴王师傅恰好从D出口驶出的概率为14，

故选：C．8.C

【解析】解：∵∠A=48°，∠ABC=14°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ACB=118°，

∵CD=CB，

∴∠D=∠CBD，

∵∠ACB=∠D+∠CBD，

∴∠D=59°，

故选：C．

9.B

【解析】解：由题意可得，

9x−11=6x+16，

故选：B．

10.D

【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′位似，点A(1,0)与点A′(−2,0)是对应点，

∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，

∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，

∵△ABC的面积是4，

∴△A′B′C′的面积是16，

故选：D．

11.A

【解析】解：∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

∵DO=BO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=22+2，

∴BD=2AB=4+22，

∵DE=CD=22+2，

∴BE=BD−DE=2，

由作图知，DF平分∠CDB，

∴∠CDF=∠EDF，

∵DE=DC，DF=DF，

∴△DEF≌△DCF(SAS)，

∴∠DEF=∠DCB=90°，EF=CF，

∴∠BEF=90°，

∵∠EBF=45°，12.B

【解析】解：①∵y2=ax+b的图象过第二、三、四象限，

观察图象可知，a<0，b<0．

所以ab>0．

故①正确．

②将x=1分别代入y1和y2得，

y1=m+n，y2=a+b．

观察图象不难发现点(1,m+n)在点(1,a+b)的上方，

所以m+n>a+b．

故②不正确．

③观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为−2．

∴当x=−2时，两者的函数值相等．

∴−2a+b=−2m+n，

∴2(a−m)=b−n

故③正确．

④P(x1,y1)、Q(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，

由y13.5m

【解析】解：2m+3m=(2+3)m=5m．

故答案为：5m．

14.3

【解析】解：∵n是一元二次方程x2−x−1=0的一个根，

∴n2−n−1=0，

∴n2−n=1，15.35【解析】解：作直径BD，连接AD，则BD=2×5=10，

则∠ACB=∠D，∠DAB=90°，

在Rt△DAB中，∵⊙O的半径为5，AB=8，

由勾股定理得：AD=BD2−AB2=1016.256【解析】解：过点C作CF/​/AD，交BA的延长线于F，延长AE交CF于G，连接AG，如下图所示：

则△BAE∽△BFG，△BED∽△BGC，

∴BE：BG=AE：FG，BE：BG=DE：CG，

∴AE：FG=DE：CG，

∵AD=5，点E为AD的中点，

∴AE=DE=52，

∴FG=CG，

即点G为CF的中点，

∵CF/​/AD，

∴∠F=∠BAD，∠ACF=∠CAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠F=∠ACF，

即△ACF为等腰三角形，

根据等腰三角形三线合一定理得：AG⊥CF

∴AG⊥AD，

在Rt△AEG中，∠AEG=∠BED=60°，AE=52，

∴∠AGE=90°−∠AEG=30°，

∴EG=2AE=2×52=5，

由勾股定理得：AG=EG2−AE2=52−(52)2=532，

在Rt△ACG中，AC=7，AG=532，

由勾股定理得：CG=AC2−AG2=72−(532)2=112，

∴BG=BE+EG=BE+5，

∵BE：BG=DE：CG，

∴BE：(BE+5)=52：112，

∴BE=256．

过点C作CF/​/AD，交BA的延长线于F，延长AE交CF于G，连接AG，则△BAE∽△BFG，△BED∽△BGC，从而得BE：BG=AE：FG，17.x+32<3

x<3

1或【解析】解：(1)(−1)2024+|3−2|−2cos30°

=1+2−3−2×32

=1+2−3−3

=3−23；

(2)因为点B在点A的右侧，列不等式为x+32<3，

解得18.60

【解析】解：(1)随机抽取的学生人数为21÷35%=60(人)．

故答案为：60．

D类的人数为60−15−21−3−9=12(人)．

补全条形统计图如图所示．

(2)900×21+1260=495(人)．

∴估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．

ABCDA(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B的结果有2种，

∴恰好选中A和B的概率为212=19.解：(1)∵反比例函数y1=kx的图象过点A(−1,4)和点B(m,−2)，

∴k=−1×4=−2m，

∴k=−4，m=2，

∴反比例函数的解析式为y=−4x；

(2)观察图象，kx>ax+b【解析】(1)由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出k的值，从而得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值；

(2)根据图象结合交点坐标即可求得．

20.(1)证明：∵点D是边AC的中点，

∴AD=CD，

∵AE//BC，

∴∠AED=∠CBD，

在△ADE和△CDB中，

∠AED=∠CBD∠ADE=∠CDBAD=CD，

∴△ADE≌△CDB(AAS)，

∴AE=BC；

(2)解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3，

∴tan∠ABC=ACBC=AC3=3，

∴AC=3，

由(1)知，AE=BC，

又【解析】(1)利用AAS证明△ADE≌△CDB，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证；

(2)解直角三角形求出AC=3，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形ABCE是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可．

21.①③

【解析】解：(1)选①③，设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，

由题意可得：10x+3y=45x+y=8，

解得：x=3y=5，

答：A型笔记本的单价为3元，B型笔记本的单价为5元；

故答案为：①③(答案不唯一)；

(2)设A型笔记本购买a个，购买B型笔记本(50−a)个，

由题意可得：3a+5(50−a)≤200，

∴a≥25，

答：A型笔记本至少购买2522.一

【解析】解：(1)根据以上数据判断，方案一不能求公馆桥的高度，

故答案为：一；

(2)延长BA交MN于点C，

由题意得：AC⊥MN，BC=61米，MN=91米，

设MC=x米，

∴CN=MN−MC=(91−x)米，

在Rt△ACM中，∠AMC=37°，

∴AC=MC⋅tan37°≈34x(米)，

在Rt△ACM中中，∠ANC=45°，

∴AC=CN⋅tan45°=(91−x)米，

∴34x=91−x，

解得：x=52，

∴AC≈3423.解：(1)选择小杰的说法，

证明：连接AD，

∵AB是圆的直径，

∴AD⊥BC，

∵BD=CD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC；

(2)过C作CH⊥AB于H，

∵AB是圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴BD=12BC=12×12=6，

∵圆的半径是5，

∴AB=2×5=10，

∴AD=AB2−BD2=8，

∵△ABC的面积=12BC⋅AD=12AB⋅CH，

∴12×8=10CH，

∴CH=485，

∴AH=【解析】(1)连接AD，由圆周角定理得到AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质推出AB=AC；

(2)过C作CH⊥AB于H，由圆周角定理得到∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得到BD=12BC=6，由勾股定理求出AD=AB2−BD2=8，由三角形面积公式求出24.解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(4,6)，

∴设y=a(x−4)2+6．

点A(0,103)代入得：103=16a+6．

∴a=−16．

∴抛物线的解析式为y=−16(x−4)2+6．

(2)①抛物线为y=−16(x−4)2+6，

∴令y=0，则−16(x−4)2+6=0．

∴x1=10，x2=−2 (舍去)．

又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求．

∴此时抛物线解析式为：y=−16x2+6．

令y=0，则−16x2+6=0，

∴x1=6，x2=−6 (舍去)．

∴n的取值范围为：6≤n≤10．

②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为【解析】(1)依据题意得，抛物线的顶点坐标为(4,6)，从而可设y=a(x−4)2+6，再将点A代入求出a后即可得解；

(2)①依据题意，令y=0，则−16(x−4)2+6=0，求出x的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为：y=−16x2+6，故可令y=0，则−16x2+6=025.BE=DF

BE⊥DF

【解析】解：(1)延长DF交BE于点N，

∵△AEF为等腰直角三角形，四边形