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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年四川省绵阳市高二下学期期末教学质量测试数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知首项为−1的数列{an},满足an+1A.a1=a4 B.a1<2.已知(x+1)7=a0A.32 B.64 C.127 D.1283.现有3名学生,每人从四大名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》中选择一种进行阅读,每人选择互不影响,则不同的选择方式有(
)A.34种 B.43种 C.C43种4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a4A.32 B.64 C.84 D.1085.已知y=f′(x)为函数f(x)的导函数,如图所示,则f(x)的大致图象为(
)
A. B.
C. D.6.某市政道路两旁需要进行绿化,计划从甲,乙,丙三种树木中选择一种进行栽种,通过民意调查显示,赞成栽种乙树木的概率为13.若从该地市民中随机选取4人进行访谈,则至少有3人建议栽种乙树木的概率为(
)A.527 B.427 C.8817.某高校派出5名学生去三家公司实习,每位同学只能前往一家公司实习,并且每个公司至少有一名同学前来实习,已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习,则不同的安排方案有(
)A.48种 B.36种 C.24种 D.18种8.已知函数f(x)=x2−ax+1,x⩽0(a−1)x+lnx+1,x>0图象与xA.[−2,+∞) B.(−1,0)
C.(−∞,−2]∪[0,+∞) D.(−1,+∞)∪{−2}二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.庚续绵延鱼水情,军民携手谱新篇,绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属,拥政爱民”主题作文,共收到500篇作品,由专业评委进行打分,满分100分,不低于60分为及格,不低于m分为优秀,若征文得分X(单位:分)近似服从正态分布N(75,σ2),且及格率为80%,则下列说法正确的是A.随机取1篇征文,则评分在[60,90)内的概率为0.6B.已知优秀率为20%,则m=90
C.σ越大,P(X≥75)的值越小D.σ越小,评分在(70,80)的概率越大10.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列结论一定成立的是(
)A.P(B|A)=P(B|A)B.P(B|A)+P(B|A)=P(A)
C.若11.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1A.a3=−52 B.数列{a2n−2}三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.(x−1213.已知随机变量X的分布列如表:X−112Pm1n若E(X)=0,则σ(3X−1)=
.14.若存在非负实数a,b满足ea+4b≤4eab(e为自然对数的底数),则a四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会,首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目,其中霹雳舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞,实力相当,学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛.设校队中女生人数为X.(1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?(2)求X的分布列及均值.16.(本小题15分)已知函数f(x)=x(1)讨论f(x)的极值点;(2)当0≤a≤2时,是否存在实数a,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为0,且最大值为1?若存在,求出a的所有值;若不存在,请说明理由.17.(本小题15分)已知数列{an}满足a13+a23(1)求数列{an},(2)若cn=bnan,求数列{18.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx+(1)若a=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)无零点,求实数a的取值范围;(3)若存在x∈[1,+∞),使得f(x)≥x−alnx−1成立,求实数a19.(本小题17分)已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐,小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.4,如此往复.(1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率;(2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率P(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi,i=1,2,⋯⋯,n,则E(i=1nXi)=i=1nqi.参考答案1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.B
8.C
9.ABD
10.CD
11.ABC
12.−513.214.4
15.解:(1)高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况:
高二年级仅2名同学入选校队有C42⋅C32=18种;
高二年级仅3名同学入选校队有C43⋅C31=12种;
高二年级4名同学入选校队有C44⋅C30=1种;
高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法.
(2)由题意可知,随机变量X的取值为0,1,2,3,
校队由0个女生4个男生组成时,P(X=0)=C30C44C7X0123P112184
随机变量X的均值为:135×0+16.解:(1)f′(x)=(3x−a)(x+a),
令f′(x)=0,则x1=a3,x2=−a,
①当a=0时,f′(x)=3x2≥0,所以f(x)为增函数,故f(x)无极值点;
②x(−∞,−a)−a(−a,a(f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由此表可知f(x)的极值小点为a3,其极大值点−a;
③当a<0时,当x变化时,f′(x)及f(x)x(−∞,a(−a(−a,+∞)f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由此表可知f(x)的极值小点为−a,其极大值点a3.
综上所述,当a=0时,f(x)无极值点;
当a>0时,f(x)的极值小点为a3,极大值点−a;
当a<0时,f(x)的极值小点为−a,其极大值点a3.
(2)假设存在实数a,使得在区间[0,1]的最小值为0,且最大值为1,
则∀x∈[0,1],0≤f(x)≤1;
由已知可得,a≠0,则−a<0<a3≤23≤1,
由(1) ②可知,f(x)在区间[0,a3]上单调递减,在[a3,1]上单调递增,
∴f(x)min=f(a3)=a327+a⋅a29−a2⋅17.解:(1)由a13+a232+a333+…+an3n=n2,
可知当n=1时,a1=3;
当n≥2时,an3n=n2−(n−1)2=2n−1,
即an=(2n−1)⋅3n,其中a1=3也满足;
综上,an= (2n−1)⋅3n(n∈N∗).
又数列bn满足b118.解:(1)f(x)=lnx+2x−1,则f′(x)=1x−2x2=x−2x2,
∴切线斜率为:f′(1)=−1,
又f(1)=1,∴所求切线方程为x+y−2=0;
(2)令f(x)=0,则a=x−xlnx,
设g(x)=x−xlnx,则g′(x)=−lnx,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)的最大值为g(1)=1,且x>e,g(x)<0,
∴要使f(x)在定义域上无零点,则a>1.
(3)令ℎ(x)=(a+1)lnx+ax−x(x≥1),
则ℎ′(x)=a+1x−ax2−1=−(x−a)(x−1)x2,
①当a<1时,x−a>0,∴x∈[1,+∞)时,ℎ′(x)<0,ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减,
此时,ℎ(x)max=ℎ(1)=a−1<0,不符合题意;
②当a=1时,∴x∈[1,+∞)时,ℎ′(x)<0,ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴ℎ(x)≤ℎ(1)=019.解:设事件Ai表示:第i天中午去A餐厅用餐,
事件Bi:第i天中午去B餐厅用餐,其中i=1,2,⋯⋯.
(1)小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为:
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.8+0.5×0.4=0.6;
(2)设P(Bi)=Pi,依题可知,P(Ai)=1−Pi,P
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