2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=cosx的图象在点(π3A.−32 B.−12 2.六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(

)A.180种 B.336种 C.720种 D.1440种3.在(x2−y)5的展开式中，A.10 B.−10 C.20 D.−204.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是(

)

A. B.

C. D.5.假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定正确的是(

)A.P(A|B)P(B)=P(AB) B.P(A|B)=P(B|A)

C.P(A|B)≤P(B) D.P(A|B)≤P(A)6.小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩.规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为(

)A.1235 B.1335 C.577.随机变量X的分布列如下，则方差D(bX)的最大值为(

)X123Pa2baA.127 B.227 C.198.已知a，b满足aea=blnb−b=eA.ea+1<b B.ab<e3 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1

B.用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越大的模型拟合的效果越好

C.随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,则P(2<ξ<4)=0.3

D.随机变量X~B(10,0.7),则当k=7时,P(X=k)10.甲乙两人进行投篮比赛，共比赛2n(n∈N∗)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为A.P(2)=516 B.P(3)=1116

C.P(n)的最大值为1211.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，f(x+2)和g(2x+1)都是奇函数，f(1)=1，则下列说法正确的是(

)A.g(x)关于点(1,0)对称 B.f(x)+f(−x)=0

C.g(2025)=1 D.k=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x−3)10=a0+13.如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有

个“幸运数”．14.如图，一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动，每次移动要么以13的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移动一步;要么以23的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移动一步.设移动2n(n∈N∗)步后回到点A的概率为An，到达点C的概率为Cn，则A1=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+3ax2(1)求实数a，b的值;(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最值．16.(本小题12分)某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放.统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下：月份x12345销售收入y/万元380460580670860(1)已知x与y呈线性相关关系，求经验回归方程y=bx+a，并据此预测该企业2024(2)为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：观看广告未观看广告总计购买3045未购买10总计请将上表补充完整，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联?参考数据：i=15参考公式：最小二乘法估计b=i=1nχ2=n(ad−bcα0.100.050.010.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小题12分)已知函数f(x)=1+2(1)证明：f(x)≤1;(2)设x1，x2为方程f(x)−m=0的两个根，且x1≠18.(本小题12分)2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕.某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项.志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品.某班有6名学生(男生2人，女生4人)参加志愿活动，每个人的选择互不影响．(1)若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率;(2)若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为12.现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为X，求X的分布列和期望E(X)19.(本小题12分)定义一：整数1，2，3，⋯，n(n∈N∗)的排列称为n级排列，例如：2431定义二：在一个n级排列j1j2j3⋯jn中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为F(j1j2j3⋯(1)求6级排列215643的逆序数F(215643);(2)称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列．(ⅰ)判定n级排列n(n−1)(n−2)⋯21，n∈N∗(ⅱ)现将一个n级排列T:x1x2x3⋯xn−1xn参考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.A

6.D

7.A

8.D

9.CD

10.AD

11.ABD

12.−1023

13.120

14.5915.解：(1)∵f(x)=x3+3ax2+bx+a2，

∴f​′(x)=3x2+6ax+b，

∵f(x)在x=−1时有极值0，

∴f(−1)=−1+3a−b+a2=0f′(−1)=3−6a+b=0,

∴a=1b=3或a=2b=9,

当a=1b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，

所以f(x)在定义域上单调递增，无极值，故舍去；

所以a=2，b=9，经检验，符合题意．

(2)

由16.解：(1)因为x=3，y=590，i=15(xi−x)2=10，i=15(xi−x)(yi−y)=1170，

b=i=15(观看广告未观看广告总计购买301545未购买51015总计352560

零假设H0:购买产品与观看广告无关，

根据以上数据，经计算得到K2=60×(30×10−15×5)235×25×45×1517.证明：(1)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x⋅x2−2x(1+lnx)x4=−4lnxx3，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，即f(x)在(0,1)上单调递增;

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，即f(x)在(1,+∞)上单调递减;

所以f(x)≤f(1)=1．

(2)由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减，

且当x→0时，f(x)→−∞时，当x→+∞，f(x)→0，则0<m<1，lnm<0，

又x1，x2(x1≠x2)为方程f(x)−m=0的两个根，

则1+2lnx1x12−m=0，1+2lnx2x22−m=0，且x1x2>0，

所以mx1218.解：(1)P=1×3435=13；

(2)若2男生，积分和为4分;

1男1女，积分和的可能取值为4，5，7分．

若2女生，积分和的可能取值为4，5，6，7，8，10分，

故X的所有可能取值为4，5，6，7，8，10，

P(X=4)=C22C62+X4567810P27223441212E(X)=4×2712019.解：(1)逆序有：21，54，53，64，63，43，故共6个，故F(215643)=6;

(2)(i)由逆序数定义F(n(n−1)(n−2)⋯21)=(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+2+1=n(n−1)2，

当n=4l，n=4l+1，l∈N∗时，n(n−1)2为偶数，排列n(n−1)(n−2)⋯21是偶排列;

当n=4l+2，n=4l+3，l∈N∗时，n(n−1)2为奇数，排列n(n−1)(n−2)⋯21是奇排列．

(ii)证明：设将排列T