2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|y=ln(x−1)}A.(1,4) B.[1,4) C.(−1,4) D.[−1,4)2.已知x∈R，则“x<−1”是“x2−1>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若a=(3)23，b=logA.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b4.函数f(x)=x2−cosxeA. B. C. D.5.下列说法中正确的是(

)

①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516

②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，则P(0<X<2)=0.4

③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②6.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是(

)A.P(B)=914 B.P(AB)=67

C.P(A|B)=15 7.已知定义域为R的偶函数满足f(2−x)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=e1−x−1，则方程f(x)=1|x−1|在区间A.8 B.7 C.6 D.58.已知函数f(x)=ex−e−x+2sinx，g(x)=2x+2,x<0ex−1,x≥0，若关于x的方程f(g(x))−m=0有两个不等实根xA.ln2 B.ln2+12 C.3−ln2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项中，正确的是(

)A.若p：∃n∈N，n2>2n，则￢p：∀n∈N，n2≤2n

B.若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|−1<x<3}，则a+b=2

C.若a>0，b>0，且a+4b=1，则10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(

)A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C.甲乙不相邻的排法种数为82种

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11.已知定义在R上的函数f(x)，对任意x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=12；当x>0时，f(x)>0，则(

)A.f(x)为R上的单调递增函数

B.f(x)为奇函数

C.若函数f(x)为正比例函数，则函数g(x)=f(x)ex在x=0处取极小值

D.若函数f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在二项式(x−12x)13.已知函数y=x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为______．14.已知函数f(x)=aex+lna+1(a>0)，若任意实数t>1，不等式f(t)>ln(t−1)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a(sinB−3cosB)=3(b−c)．

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为316.(本小题15分)

某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成(合格品与优等品间无包含关系)．

(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X个，求X的分布列与数学期望；

(2)消费者对该公司产品的满意率为34，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有Y人，求至少有3人满意的概率及Y的数学期望与方差．17.(本小题15分)

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=5，S9=81，数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b18.(本小题17分)

“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为12，乙每天选择“共享单车”的概率为23，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为14，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为13，如此往复．

(1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；

(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布、期望与方差；

(3)求丙在3月份第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”的概率19.(本小题17分)

已知f(x)=ex−ax−1，a∈R，e是自然对数的底数．

(1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值；

(2)若关于x的方程f(x)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；

(3)当a>0时，若满足f(x1参考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.AB

12.351613.(e14.[115.解：(1)因为asinB−3acosB=3b−3c，

所以sinAsinB−3sinAcosB=3sinB−3sinC=3sinB−3sin(A+B)，

又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAsinB+3cosAsinB=3sinB，

因为sinB≠0，

所以sinA+3cosA=316.解：(1)由题知，在各随机抽取的100件产品中，甲、乙两条生产线的优等品分别有20件、10件，

用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，其中从甲、乙两条生产线的样品中抽取的优等品分别有4件、2件，

所以X的所有取值为0，1，2，

且P(X=0)=C22Cn2X012P182所以E(X)=0×115+1×815+2×25=43；

(2)由题意知，Y～B(5,34)，

则P(Y=3)=C5(14)17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵a3=5，S9=81，

∴a1+2d=59a1+9×82d=81，∴a1=1，d=2，

∴an=2n−1，

∵a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(n−1)⋅3n+1+3①，

∴a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−118.解：(1)由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为1−(1−12)(1−23)(1−34)=2324；

(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=1X0123P11111故E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312，

D(X)=(0−2312)2×124+(1−2312)2×14+(2−2312)2×1124+(3−2312)2×14=95144；

(3)由题意得P1=34，

则Pn=14Pn−1+23(1−Pn−1)=−512Pn−1+23(n=2.3,⋯.31)，

则Pn−817=−512(Pn−1−817)(n=2,3,…,31)19.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，

则f′(x)=ex−1，

令f′(x)=0，得x=0，

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以y=f(x)在x=0处取到极小值0，无极大值；

(2)方程f(x)+1=ex−ax=0，

显然当x=0时，方程不成立，则a=exx，x≠0，

若方程有两个不等实根，即y=a与g(x)=exx有2个交点，

则g′(x)=(x−1)exx2，

当x<0或0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在区间(−∞,0)和(0,1)上单调递减，

并且x∈(−∞,0)时，g(x)<0，当x∈(0,1)时，g(x)>0，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)严格增，x>0时，当x=1时，g(x)取得最小值，g(1)=e，

作出函数y=g(x)的图象，如下图所示：

y=a与g(x)=exx有2个交点，

则a>e，

即a的取值范围为(e,+∞)；

(3)证明：f′(x)