广东省揭阳市高三数学第二次模拟考试 理

揭阳市年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式：,其中S表示底面积，h表示高．乘法公式：．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,，则为A.B.C.D.2．设，则为A．B．C．D．53.为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是A.B.C.D.图14．要得到函数的图象，只要将函数的图象A.向左平移单位 B.向右平移单位C.向右平移单位 D.向左平移单位5．已知命题：，；命题：.则下列结论正确的是A．命题是真命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题6．如图2，三棱柱的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱底面，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A．16B．C．D．7．已知点满足若的最小值为3，则的值为A．1B．2C．3D．48．已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则的取值范围为A．B．C．D．二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．函数的定义域为.10．双曲线－=1的离心率；焦点到渐近线的距离为.11．在中，，，则.12．根据图3所示的程序框图，若，图3则输出的V值为．13．在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为若点，且，则的取值范围为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题全答的，只计前一题的得分）14．（几何证明选做题）如图4，BDAE，，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝.图415．(坐标系与参数方程选做题)设、分别是曲线和上的动点，则与的最小距离是.三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）在中，分别为角的对边，△ABC的面积S满足.（1）求角的值；（2）若，设角的大小为用表示，并求的取值范围．17.(本小题满分12分)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；（3）记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望.18.（本小题满分14分）已知数列是首项，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为，数列是首项的等比数列，且,．(1)求和；(2)令，，（），求数列的前项和．19．（本小题满分14分）已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,,.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥D－PAC的体积；(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．图520．（本小题满分14分）已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.求动点M的轨迹C的方程；（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知：函数.(1)若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；(2)在(1)的条件下，求证：；（3）设，证明对任意的，.揭阳市年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：DCBDCDCD解析：5．因命题假，命题真，所以答案选C.6．该三棱柱的侧视图是长为4，宽为的矩形，故选D.7.由各选项知a取正值，设，结合图形易得当直线过点时，取得最小值，故，选C.8.已知直线过半圆上一点（－2,０），当ｍ＝０时直线与ｘ轴重合，这时，故可排除A,B,若ｍ＝１，如图可求得当，故选D.二．填空题：9.或；10.、4；11.3；12.32；13.或；14.5、；15..解析：10．因，所以，焦点(5,0)到渐近线的距离为11.，或．12．该框图是求多项式当时的值，依题意知，故输出的ｖ值为.13．由定义得，解得或．14.依题意得△ADB∽△ACB,,由.15.将方程和化为普通方程得结合图形易得与的最小距离是为.三．解答题：16.解：（1）在中，由得-------------------------------------------------------------------------------3分∵∴-------------------------------------------5分（2）由及正弦定理得，------------7分 ∴--------------------------9分 ∵∴∴--------------------10分∴，即 ------------------------------------------------------------12分17.解：（1）从甲组应抽取的人数为，从乙组中应抽取的人数为；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率（或）----------------------------------------------------5分（3）的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分，------------------------------------------------------------7分，---------------------------------------------8分，---------------------------------------------------------------9分（或)-------10分∴的分布列如右---------------------------------12分18.解：(1)设数列的公差为（）数列的公比为，则.------------------1分依题意得，由此得∵,解得.----------------------5分∴，.----------------------------------------------6分(2)∵＝---------------------------------------9分令则，∴-----------------12分又，∴.-------------------14分19.(1)证明：∵ABCD为矩形∴且--------------------------------------1分∵∴且--------------------2分∴平面,又∵平面PAD∴平面平面-----------------------------------------5分(2)∵----------------------------------7分由（1）知平面，且∴平面-------------8分∴----10分（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,,可得,----------------------------12分平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，则∴，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.---------------------14分解法2：由（1）知平面，∵面∴平面ABCD⊥平面PAB,在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角-------------12分在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又∴在Rt△PEC中.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.--------14分20．(1)解法１：设------------------------------1分则=>------4分∴动点M的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆 -----------------5分由 ∴-----------------------------6分∴ 动点M的轨迹C的方程为 ---------------------------------7分[解法２：设点，则------------------------2分∵ ∴ ------------------------------4分∴点M的轨迹C是以为焦点，长轴长为4的椭圆 ------------5分∴ ∴ --------------------------6分∴ 动点M的轨迹C的方程为 ------------------7分](2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，设满足条件的直线、存在，直线的方程为----①则直线的方程为，-------------②--------------------------------------------------------------8分将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.--9分将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.---10分由△BDE是等腰直角三角形得----③--------12分∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分∵方程④的根判别式，即方程④有两个不相等的实根，且不为1.∴方程③有三个互不相等的实根.即满足条件的直线、存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分（注：只答存在1组，给2分）21.解：（1）∵由得∴.-----------------------2分当，即时，,故；-----------3分当，即时，，故.-------------4分∴-------------------------------------------------5分（2）∵当时，，∴函数在上为减函数；---------6分当时，，∴函数在上为增函数，-------------7分∴当时，取最小值，,----------------------