历年高考数学真题(全国卷版)

A．B．C．D．f(x)＝x2＋ax＋在a的取值范围是()．A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)10．(2021大纲全国，理10)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，那么CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．B．C．D．11．(2021大纲全国，理11)抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．假设，那么k＝()．A．B．C．D．2f(x)＝cosxsin2x，以下结论中错误的选项是()．对称C．f(x)的最大值为二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．(2021大纲全国，理13)α是第三象限角，sinα＝，那么cotα＝__________.14．(2021大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2021大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.假设直线y＝a(x＋1)与D有公共点，那么a的取值范围是__________．16．(2021大纲全国，理16)圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，那么球O的外表积等于__________．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2021大纲全国，理17)(本小题总分值10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．(2021大纲全国，理18)(本小题总分值12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)假设sinAsinC＝，求C.

19．(2021大纲全国，理19)(本小题总分值12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．

20．(2021大纲全国，理20)(本小题总分值12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2021大纲全国，理21)(本小题总分值12分)双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

f(x)＝.(1)假设x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln2.

2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：B解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，那么x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．应选B.2．答案：A解析：.应选A.3．答案：B解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2－|n|2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.应选B.4．答案：B解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，那么－1＜x＜.应选B.5．答案：A解析：由题意知＝2y⇒x＝(y＞0)，因此f－1(x)＝(x＞0)．应选A.6．答案：C解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.∴S10＝＝3(1－3－10)．应选C.7．答案：D解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.应选D.8．答案：B解析：设P点坐标为(x0，y0)，那么，，，于是.故.∵∈[－2，－1]，∴.应选B.9．答案：D解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵在∴.∴a≥3.应选D.10．答案：A解析：如以以下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.∵CH⊥平面C1BD，∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2，那么，.由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，∴.∴sin∠HDC＝.应选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，那么直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝4.①由∵，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.应选D.12．答案：C解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.t＝sinx，t∈[－1,1]，那么g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.g′(t)＝2－6t2＝0，得.当t当；当.∴g(t)max＝，即f(x)的最大值为.应选C.二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：解析：由题意知cosα＝.故cotα＝.14．答案：480解析：种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．15．答案：解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示．∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知，kAC＝4，∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，那么≤a≤4.16．答案：16π解析：如以以下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，那么OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝.又OK⊥EK，∴＝OE·sin60°＝.∴R＝2.∴S＝4πR2＝16π.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{an}的公差为d.由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．假设a2＝0，那么d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；假设a2＝3，那么(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，那么ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，那么FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，那么EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，那么AE＝，EG＝＝1，故AG＝＝3.在△AFG中，FG＝，，AG＝3，所以cos∠AFG＝.因此二面角A－PD－C的大小为.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如以下图的空间直角坐标系O－xyz.设||＝2，那么A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)．＝(，，)，＝(0，，)．＝(，0，)，＝(，，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，那么n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，那么n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜〞，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负〞，A表示事件“第4局甲当裁判〞．那么A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙〞，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙〞，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲〞，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负〞．那么P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.21．(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得.由题设知，，解得a2＝1.所以a＝1，b＝.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝.故，解得k2＝，从而x1·x2＝.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.假设，那么当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.假设，那么当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是..由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即．取，那么.于是＝＝ln2n－lnn＝ln2.所以.2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．(2021课标全国Ⅰ，理1)集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，那么()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB2．(2021课标全国Ⅰ，理2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()．A．－4B．C．4D．3．(2021课标全国ⅠA．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．(2021课标全国Ⅰ，理4)双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，那么C的渐近线方程为()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x5．(2021课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，那么输出的s属于()．A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．(2021课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，那么球的体积为()．A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．(2021课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，那么m＝()．A．3B．4C．5D．68．(2021课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．(2021课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.假设13a＝7b，那么m＝()．A．5B．6C．7D．810．(2021课标全国Ⅰ，理10)椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．假设AB的中点坐标为(1，－1)，那么E的方程为()．A．B．C．D．11．(2021课标全国Ⅰf(x)＝假设|f(x)|≥ax，那么a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]12．(2021课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….假设b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，那么()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．(2021课标全国Ⅰ，理13)两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.假设b·c＝0，那么t＝__________.14．(2021课标全国Ⅰ，理14)假设数列{an}的前n项和，那么{an}的通项公式是an＝_______.15．(2021课标全国Ⅰ16．(2021课标全国Ⅰ三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2021课标全国Ⅰ，理17)(本小题总分值12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)假设PB＝，求PA；(2)假设∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(2021课标全国Ⅰ，理18)(本小题总分值12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)假设平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2021课标全国Ⅰ，理19)(本小题总分值12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，假设都为优质品，那么这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，假设为优质品，那么这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

20．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题总分值12分)圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2021课标全国Ⅰf(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假设x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

22．(2021课标全国Ⅰ，理22)(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2021课标全国Ⅰ，理23)(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(2021课标全国Ⅰ，理24)(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲：f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，应选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴.故z的虚部为，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵，∴.∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为.5．答案：A解析：假设t∈[－1,1)，那么执行s＝3t，故s∈[－3,3)．假设t∈[1,3]，那么执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，那么s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．应选A.6．答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为(cm3)，应选A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.应选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.应选A.9．答案：B解析：由题意可知，a＝，b＝，又∵13a＝7b，∴，即.解得m＝6.应选B.10．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴①－②，得，即，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝，∴.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为.应选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝＋1－t.∴t＝2.14．答案：(－2)n－1解析：∵，①∴当n≥2时，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．答案：解析：f(x)＝sinx－2cosx＝，α＝，sinα＝，那么f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cosθ＝＝＝sinα＝.16．答案：16解析：∵f(xx＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.易知，f(x)在(－∞，－2－∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.18．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如以下图的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．那么＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，那么即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PEX＝＝506.25.20．解：由得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.假设l的倾斜角为90°，那么l与y轴重合，可得|AB|＝.假设l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，那么，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得，解得k＝.当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.所以|AB|＝.当时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝或|AB|＝.21．解：(1)由得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，那么F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①假设1≤k＜e2，那么－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②假设k＝e2，那么F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③假设k＞e2，那么F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，连结BO，那么∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，那么y＝其图像如以下图．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．故≥a－2，即.从而a的取值范围是.2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，那么M∩N＝()．A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，那么z＝()．A．－1＋iB．－1－IC．1＋iD．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.S3＝a2＋10a1，a5＝9，那么a1＝()．A．B．C．D．4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，那么()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，那么a＝()．A．－4B．－3C．－2D．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．B．C．D．7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，那么得到的正视图可以为()．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，那么()．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a＞0，x，y满足约束条件假设z＝2x＋y的最小值为1，那么a＝()．A．B．C．1D．210．(2021课标全国Ⅱf(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的选项是()．A．x0∈R，f(x0)＝0C．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，假设以MF为直径的圆过点(0,2)，那么C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是()．A．(0,1)B．C．D．第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．(2021课标全国Ⅱ，理13)正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，那么＝__________.14．(2021课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，假设取出的两数之和等于5的概率为，那么n＝__________.15．(2021课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，假设，那么sinθ＋cosθ＝__________.16．(2021课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝0，S15＝25，那么nSn的最小值为__________．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2021课标全国Ⅱ，理17)(本小题总分值12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)假设b＝2，求△ABC面积的最大值．

18．(2021课标全国Ⅱ，理18)(本小题总分值12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(2021课标全国Ⅱ，理19)(本小题总分值12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如以下图．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：假设需求量X∈[100,110)，那么取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

20．(2021课标全国Ⅱ，理20)(本小题总分值12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，假设四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．(2021课标全国Ⅱf(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.22．(2021课标全国Ⅱ，理22)(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)假设DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(2021课标全国Ⅱ，理23)(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为αM的轨迹是否过坐标原点．

24．(2021课标全国Ⅱ，理24)(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2).

2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，应选A.2．答案：A解析：＝＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列{an}的公比为q，假设q＝1，那么由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，∴＝q＋10，整理得q2＝9.∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.4．答案：D解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．应选D.5．答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，那么含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；当k＝2时，，；当k＝3时，，；当k＝4时，，；…；当k＝10时，，，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B正确．7．答案：A解析：如以下图，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为以以下图：那么它在平面zOx上的投影即正视图为，应选A.8．答案：D解析：根据公式变形，，，，因为lg7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.应选D.9．答案：B解析：由题意作出所表示的区域如图阴影局部所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得，所以.10．答案：C解析：∵x0是f(x)的极小值点，那么y＝f(x)的图像大致如以以下图所示，那么在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．11．答案：C解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，那么x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.应选C.12．答案：B第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如以下图，那么点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，那么＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.14．答案：8解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，解得n＝8.15．答案：解析：由，得tanθ＝，即sinθ＝cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝，sinθ＝，sinθ＋cosθ＝.16．答案：－49解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，那么S10＝＝10a1＋45d＝0，①S15＝＝15a1＋105d＝25.②联立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝.f(n)＝nSn，那么，.f′(n)＝0，得n＝0或.当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，那么f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以.(2)△ABC的面积.由及余弦定理得4＝a2＋c2－.又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c因此△ABC面积的最大值为.18．解：(1)连结AC1交A1C于点F，那么F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，那么BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如以下图的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，那么D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，那么即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的法向量，那么可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.19．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.4所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，那么，，，由此可得.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝.由，四边形ACBD的面积.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.21．解：(1)f′(x)＝.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当mf′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．24．解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为，，，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.参考公式：如果事件互斥，那么球的外表积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径2021年普通高等学校招生全国统一考试选择题复数=A2+IB2-IC1+2iD1-2i2、集合A＝{1.3.}，B＝{1，m},AB＝A,那么m=A0或B0或3C1或D1或33椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，那么该椭圆的方程为A+=1B+=1C+=1D+=14正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，那么直线AC1与平面BED的距离为A2BCD1〔5〕等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，那么数列的前100项和为(A)(B)(C)(D)〔6〕△ABC中，AB边的高为CD，假设a·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B〕(C)(D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=，那么cos2α=(A)〔B〕(C)(D)〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)〔B〕(C)(D)〔9〕x=lnπ，y=log52，，那么(A)x＜y＜z〔B〕z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x〔A〕-2或2〔B〕-9或3〔C〕-1或1〔D〕-3或1〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为〔A〕16〔B〕14〔C〕12(D)10二。填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上。〔注意：在试题卷上作答无效〕〔13〕假设x，y满足约束条件那么z=3x-y的最小值为_________。取得最大值时，x=___________。〔15〕假设的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，那么该展开式中的系数为_________。〔16〕三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。三.解答题：〔17〕〔本小题总分值10分〕〔注意：在试卷上作答无效〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos〔A-C〕＋cosB=1，a=2c，求c。〔18〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.〔Ⅰ〕证明：PC⊥平面BED；〔Ⅱ〕设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。19.〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。〔Ⅰ〕求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；〔Ⅱ〕表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。〔Ⅰ〕讨论f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕设f〔x〕≤1+sinx，求a的取值范围。21.〔本小题总分值12分〕〔注意：在试卷上作答无效〕抛物线C：y=(x+1)2与圆M：〔x-1〕2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.〔Ⅰ〕求r；〔Ⅱ〕设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。22〔本小题总分值12分〕〔注意：在试卷上作答无效〕2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P〔4,5〕、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。〔Ⅰ〕证明：2xn＜xn+1＜3；〔Ⅱ〕求数列{xn}的通项公式。2021年高考数学(全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项满足题目要求的。1.复数，为z的共轭复数，那么(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.(A)(B)(C)(D)3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是(A)(B)(C)(D)4.设为等差数列的前n项和，假设，公差，那么k=(A)8(B)7(C)6(D)5，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么的最小值等于(A)(B)3(C)6(D)96.直二面角，点为垂足，为垂足，假设，那么D到平面ABC的距离等于(A)(B)(C)(D)1(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A)(B)(C)(D)19.设时，，那么(A)(B)(C)(D)10.抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，那么(A)(B)(C)(D)11.平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，脱该球面的半径为4.圆M的面积为，那么圆N的面积为(A)(B)(C)(D)12.设向量满足，那么的最大值对于(A)2(B)(C)(D)113.的二项展开式中，的系数与的系数之差为.14.，，那么.15.分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，那么.16.点E、F分别在正方体的棱上，且,,那么面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.〔本小题总分值10分〕的内角A、B、C的对边分别为。，求C18.〔本小题总分值12分〕根据以往统计资料，某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为0.3，设各车主购置保险相互独立。〔Ⅰ〕求该地1为车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；〔Ⅱ〕X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X的期望。19.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.〔Ⅰ〕证明：;〔Ⅱ〕求AB与平面SBC所成的角的大小。20.〔本小题总分值12分〕设数列满足〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕设，记，证明：。21.〔本小题总分值12分〕O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足〔Ⅰ〕证明：点P在C上；22.〔本小题总分值12分〕，证明：当时，，证明：2021年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题(1)复数(A)(B)(C)12-13(D)12+13(2)记,那么A.B.-C.D.-(3)假设变量满足约束条件那么的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1〔4〕各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，那么=(A)(B)7(C)6(D)(5)的展开式中x的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)4(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种(7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为ABCD〔8〕设a=2,b=In2,c=,那么Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a(9)、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，那么P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)〔11〕圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)〔12〕在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，假设AB=CD=2,那么四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)(13)不等式的解集是.(14)为第三象限的角，,那么.(15)直线与曲线有四个交点，那么的取值范围是.(16)是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，那么的离心率为.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)的内角，及其对边，满足，求内角．(18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．假设能通过两位初审专家的评审，那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．〔19〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.〔Ⅰ〕证明：SE=2EB；〔Ⅱ〕求二面角A-DE-C的大小.(20)(本小题总分值12分)〔注意：在试题卷上作答无效〕.〔Ⅰ〕假设，求的取值范围；〔Ⅱ〕证明：.〔21〕(本小题总分值12分)〔注意：在试题卷上作答无效〕抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、轴的对称点为D.〔Ⅰ〕证明：点F在直线BD上；〔Ⅱ〕设，求的内切圆M的方程.〔22〕(本小题总分值12分)〔注意：在试题卷上作答无效〕数列中，.〔Ⅰ〕设，求数列的通项公式；〔Ⅱ〕求使不等式成立的的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，那么集合〔AB〕中的元素共有〔A〕3个〔B〕4个〔C〕5个〔D〕6个〔2〕=2+I,那么复数z=〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+I(D)3-i(3)不等式＜1的解集为〔A〕｛x(B)〔C〕(D)(4)设双曲线〔a＞0,b＞0〕的渐近线与抛物线y=x2+1相切，那么该双曲线的离心率等于〔A〕〔B〕2〔C〕〔D〕(5)甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有〔A〕150种〔B〕180种〔C〕300种(D)345种〔6〕设、、是单位向量，且·＝0，那么的最小值为〔A〕〔B〕〔C〕(D)〔7〕三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值为〔A〕〔B〕〔C〕(D)中心对称，那么的最小值为〔A〕〔B〕〔C〕(D)(9)直线y=x+1与曲线相切，那么α的值为(A)1(B)2(C)-1(D)-2〔10〕二面角α-l-β为600，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，那么P、Q两点之间距离的最小值为(A)(B)2(C)(D)4的定义域为R，假设与(A)(C)(D)〔12〕椭圆C:的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF交C与点B。假设,那么=(A)(B)2(C)(D)3二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．〔注意：在试题卷上作答无效〕(13)的展开式中，的系数与的系数之和等于.(14)设等差数列的前n项和为.假设=72,那么=.(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.假设∠=，那么此球的外表积等于.(16)假设的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值10分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，，且，求b.18．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60.(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；〔Ⅱ〕求二面角S—AM—B的大小。(19)(本小题总分值12分)〔注意：在试题卷上作答无效〕甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。前2局中，甲、乙各胜1局。〔1〕求甲获得这次比赛胜利的概率；〔2〕设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望。〔20〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕在数列中，.设，求数列的通项公式；求数列的前项和.21．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕如图，抛物线与圆相交于四个点。〔I〕求的取值范围：(II)当四边形的面积最大时，求对角线的交点的坐标。22．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕有两个极值点〔Ⅰ〕求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点〔b，c〕和区域；(Ⅱ)证明：2021年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题的定义域为〔〕A． B．C． D．2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间sstOA．stOstOstOB．C．D．3．在中，，．假设点满足，那么〔〕A． B． C． D．4．设，且为正实数，那么〔〕A．2 B．1 C．0 D．5．等差数列满足，，那么它的前10项的和〔〕A．138 B．135 C．95 D．23对称，那么〔〕A． B． C． D．7．设曲线在点处的切线与直线垂直，那么〔〕A．2 B． C． D．的图像〔〕A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位在，那么不等式的解集为〔〕A． B．C． D．10．假设直线通过点，那么〔〕A． B． C． D．11．三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，那么与底面所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数为〔〕DBCAA．96 B．84 C．60DBCA第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．假设满足约束条件那么的最大值为．14．抛物线的焦点是坐标原点，那么以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在中，，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率．16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，那么所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值10分〕设的内角所对的边长分别为，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的最大值．18．〔本小题总分值12分〕CDEAB四棱锥中，底面为矩形，侧面底面CDEAB〔Ⅰ〕证明：；〔Ⅱ〕设与平面所成的角为，求二面角的大小．19．〔本小题总分值12分〕，．〔Ⅰ的单调区间；〔Ⅱ在区间的取值范围．20．〔本小题总分值12分〕方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．假设结果呈阳性那么说明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；假设结果呈阴性那么在另外2只中任取1只化验．〔Ⅰ〕求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；〔Ⅱ〕表示依方案乙所需化验次数，求的期望．21．〔本小题总分值12分〕双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．成等差数列，且与同向．〔Ⅰ〕求双曲线的离心率；〔Ⅱ〕设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．〔本小题总分值12分〕．数列满足，．〔Ⅰ在区间〔Ⅱ〕证明：；〔Ⅲ〕设，整数．证明：．2007年全国普通高考全国卷一〔理〕一、选择题1．是第四象限角，，那么A．B．C．D．2．设a是实数，且是实数，那么A．B．1C．D．23．向量，，那么与A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．双曲线的离心率为2，焦点是，，那么双曲线方程为A．B．C．D．5．设，集合，那么A．1B．C．2D．6．下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是A．B．C．D．7．如