抽样分布课件

抽样分布

§6－1.简单随机抽样总体与样本(一)总体

(二)样本

简单随机抽样

作为n元随机变量的样本总体与样本总体

(母体):在数理统计中，所研究对象的全体.个体:组成母体的每一个成员。例:研究某工厂生产某种规格的10万只灯泡的质量，这10万只灯泡就是一个总体，每个灯泡是一个个体。例:某水文站，所有年平均流量的全体是一个总体，而每一年的平均流量则是一个个体。总体可以按其所含个体的多少分为有限总体和无限总体。总体我们所研究的往往是对象的某一特性值。将特性值看成一个随机变量。总体正好体现一个随机变量的分布。以后，凡是提到总体就是指一个随机变量，提到随机变量就是指一个总体。所谓总体已知，就是指随机变量的概率分布已知。

常用表示随机变量的大写字母X，Y，Z等表示总体。

样本

抽样:在数理统计中，为了研究总体的性质，需要进行的观测或试验。样本（观测资料或实测资料）：通过试验或观测得到的总体中一部分个体构成的集合。水文中习惯称之为实测系列。样本容量：样本中所含个体的数目，水文中常称之为系列长度，记为n。例如:我们在一条河流的某一断面处观测年最大洪峰流量，观测50年，就得到一个长度为50的年最大洪峰流量的实测系列。简单随机抽样

随机样本:因为在概率论和数理统计中所说的试验都是指随机试验，所以，所得样本就叫做随机样本.简单随机抽样:n次试验是相互独立的(前面的试验结果并不影响后面的试验出现什么结果)的抽样方法.简单随机样本(样本或子样):简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.作为n元随机变数的样本

袋中装有2个白球和3个红球，现有放回地从中随机抽球，每次抽一球。观察球的颜色，设X=0表示抽得白球，X=1表示抽得红球。则P(X=0)=2/5，P(X=1)=3/5，抽球n次以后即得容量为n的样本(x1,x2,…xn)。x1为第一次抽球结果，可能值为0和1，

x1是0的概率为2/5，

x1是1的概率为3/5，因此，

x1可以看作是随机变量X1的取值，而且X1的分布与X的分布相同。同理，xi

(i=1,2,…,n)都可以看作是Xi

(i=1,2,…,n)的取值，而且Xi是相互独立，都具有与总体X相同的分布。获得的实际样本（x1,x2,…,xn

)（或称实现或观察值）可以看作是随机变量X的n次试验的结果，也可看作n元随机变量（X1,X2,…,Xn

)一次试验的结果。通常将样本看作n元随机变量。

必须注意（x1,x2,…,xn

)与（X1,X2,…,Xn)的区别

。如前所述，由于(X1,X2,…Xn)是独立同分布的随机变量，若总体X的分布函数为F(x)，则(X1,X2,…，Xn)的联合分布函数应为若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x),则(X1,X2,…，Xn)的联合密度函数为§6－2样本分布频率直方图样本分布函数

样本数字特征

频率直方图设

为连续型随机变量X的样本，在X值域[a,b]内插入许多分点

统计样本

中落入区间

内观测值的个数（称为频数），记为

，则在样本容量n很大时，频率

可近似表示随机变量X在区间

中取值的概率

，若

以表示区间内频率的平均密度，则可作出以

为高,为底宽的许多相邻矩形。如图6-1：每个矩形的面积为称图6-1为样本

的频率密度直方图

样本分布函数样本分布:如果我们从随机变量X的总体中抽取了一个样本，把样本的n个值x1，x2，…，xn加以排队并把它看成是某个离散随机变量Xne的全部可能取值，它的概率分布为

那么可以求得Xne的分布函数：

样本分布函数与总体分布函数的关系

:

格利汶科－肯达利定理

设F(x)是随机变量X的分布函数，

是X的经验分布函数，则

格利汶科－肯达利定理是用简单随机样本推断总体的依据。样本数字特征对于一个给定的样本x1，

x2

，…，

xn，有了样本分布函数后就可以计算它的数字特征，为了区别于总体数字特征，我们称它们为样本数字特征。样本数字特征就是离散型随机变量Xne的数字特征

。样本k阶原点矩样本平均值样本方差样本均方差样本k阶中心矩

样本变差系数

样本偏态系数上述两式中，对于二元随机变量（X,Y）,每次试验得到一对数值(x,y),因此其样本可记为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用类似于一元随机变量样本分布的定义方法可定义二元随机变量的样本分布函数，也可以计算样本数字特征，除了每一个变量的均值、方差和矩外，还有样本协方差和样本相关系数，它们的公式可按离散型二元随机变量数字特征公式得到，即样本协方差样本相关系数例：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1565，1245，1260，1275，试求样本均值、方差、样本离势系数及偏态系数。解：样本均值

样本均方差

样本离势函数样本偏态系数

§6－3抽样分布的概念

统计量

抽样分布

的概念抽样分布的数字特征统计量

设X1

，

X2

，…，

Xn为总体X的一个样本，

U=U（X1,X2,…,Xn)为样本的连续函数，如果函数中不包含任何未知参数，则称U为统计量。

例如则

因为

未知。样本k阶原点矩样本平均值样本方差样本均方差样本k阶中心矩

样本变差系数样本偏态系数上述两式中，样本相关系数抽样分布的概念样本是进行统计推断的主要依据，统计量则是根据特定的统计推断需要而对样本进行的加工和整理，是进行统计推断的主要手段和工具，统计量也是随机变量，它的分布称为抽样分布。统计量的分布有精确分布和极限分布（或称渐进分布）两种形式。若总体X的分布函数表达式已知，如对任一自然数n，都能给出统计量U（X1,X2，……，Xn）的分布函数，则称此分布函数为统计量U的精确分布。导出统计量的精确分布，是用小样本进行统计推断的基础和前提，但是，一般而言，要导出各种统计量的精确分布，仅在某些特别简单的情况下才能做到，在大多数情况下是很难做到的，甚至是不可能做到的。若统计量U的精确分布无法求得，则可退而求其次，求出其当

时的极限分布，这是用大样本进行统计推断的一般做法。应当注意的是，在实际问题中，应用极限分布作统计推断是，应该有足够大的样本容量n，但究竟n有多大才算大样本，并没有严格的限定，而且对于不同的统计量，要求也是不一样的。抽样分布的数字特征1.样本均值的数学期望与方差2.样本k阶原点矩的数学期望和方差3.样本方差的数学期望与方差§6－4几种统计量的抽样分布

例：设总体X服从的分布，求样本的平均值

的分布。解：因为X的特征函数为

所以

的特征函数为

可见（1）（2）（3）

(4)

(5)§6－5顺序统计量及其分布顺序统计量的概念：设（X1,X2,…,Xn)为X的样本，定义样本函数

，

=g(X1,X2,…,Xn),(m=1,2,…,n)

含义：当（X1,X2,…,Xn

)取值（x1,x2,…,xn

)时，

取（x1,x2,…,xn

)中从大到小排列的第m项数值。即当把（x1,x2,…,xn)按由大到小的顺序排列成

顺序统计量。顺序统计量的分布

假定X为连续型随机变量，其分布函数为F(x)，密度函数为f(x)。

记

Xm*的分布函数为Fm(x)，密度函数为fm(x)。

图

6-4所以