沪科版初中九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第23章素养综合检测课件

第23章素养综合检测一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.在Rt△ABC中,如果各边的长度同时缩小为原来的

,那么锐角A的正弦值和余弦值

(

)A.都不变

B.都缩小为原来的

C.都扩大为原来的2倍D.不能确定A解析∵锐角A的正弦值和余弦值只与锐角A的大小有关,∴

边长同时缩小为原来的

对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响,∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变.故选A.2.若α为锐角,且tanα=

,则有

(

)A.0°<α<30°

B.30°<α<45°C.45°<α<60°

D.60°<α<90°C解析∵tan45°=1,tan60°=

,α为锐角,α越大,正切值越大,1<

<

,∴45°<α<60°.故选C.3.(2024河南周口沈丘期末)已知α为锐角,sinα=cos50°,则α等

于

(

)A.20°

B.30°

C.40°D.50°C解析∵sinα=cos50°,∴α=90°-50°=40°.故选C.4.(设参法)(2024安徽合肥庐阳期末)在△ABC中,∠C=90°,tan

A=2,则cosA的值为

(

)A.

B.

C.

D.2A解析在△ABC中,∠C=90°,设∠A、∠B、∠C的对边分别

为a、b、c,由于tanA=2=

,不妨设b=k,则a=2k,由勾股定理得,c=

=

k,所以cosA=

=

=

,故选A.5.(2023安徽阜阳质检)下列运算中,值为

的是

(

)A.sin45°×cos45°

B.tan45°-cos230°C.

D.(tan60°)-1B解析

sin45°×cos45°=

×

=

,故A不符合题意;tan45°-cos230°=1-

=1-

=

,故B符合题意;

=

=

,故C不符合题意;(tan60°)-1=(

)-1=

,故D不符合题意.6.(2024安徽合肥肥西期末)小明沿着坡比为1∶

的山坡向上走了300m,则他现在距离水平地面的高度为

(

)A.100

m

B.150mC.100

m

D.100mB水平地面的高度为150m.故选B.解析如图,小明现在在点B处,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡

比为1∶

,∴tan∠A=1∶

=

,∴∠A=30°.∵AB=300m,∴BE=

AB=150(m).∴他现在距离7.(2023安徽六安汇文中学期末)如图,△ABC的三个顶点都在

方格纸的格点上,则sin∠CAB=(M9123001)(

)A.

B.

C.

D.

D解析

如图,作CD⊥AB,交AB的延长线于D,不妨设小正方形的边长均

为1,由勾股定理,得AC=

=

=2

,∴在Rt△ADC中,sin∠CAD=

=

=

,故选D.8.(新考法)(2023安徽六安霍邱期末)一配电房的示意图如图,

它是一个轴对称图形.已知BC=6m,∠ABC=α,则房顶A离地

面EF的高度为(

)A.

m

B.

mC.

m

D.

mB解析过点A作AD⊥BC于点D,如图,∵该图形是一个轴对称图形,∴AB=AC.∵AD⊥BC,∴BD=

BC=3m,在Rt△ADB中,∵tan∠ABC=

,∴AD=BD·tan

α=3tanα

m.∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tanα)m,故选B.9.(2023安徽滁州定远县育才学校期末)如图,在△ABC中,∠

BAC=60°,∠B=45°,BC=6

,AD平分∠BAC交BC于点D,则线段AD的长为

(

)A.6

B.12C.6

D.6

B解析如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,在Rt△BCE中,∠B=45°,BC=6

,∴CE=BC·sin45°=6

×

=6

.在Rt△ACE中,∠BAC=60°,∴AC=

=

=12.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=

∠CAB=30°,∴∠ADC=∠DAB+∠B=75°.∵∠ACD=180°-∠CAB-∠B=

75°,∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD=12,故选B.10.(2023山东德州临邑二模)如图,斜坡AP的坡比为1∶2.4,在

坡顶A处的水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得塔顶B

的仰角为45°,在坡顶A处测得塔顶B的仰角∠BAC为76°,坡顶

A到塔底C处的距离为7米,则斜坡AP的长度约为

(点P、A、B、C、Q在同一平面内,sin76°≈0.97,cos76°≈0.

24,tan76°≈4.0)

(

)A.24米

B.26米

C.28米D.39米D解析如图,过点A作AH⊥PQ,垂足为点H,延长BC交PQ于点

D,∵BC⊥AC,AC∥PQ,∴BD⊥PQ.∴四边形AHDC是矩形,∴

CD=AH,AC=DH.∵∠BPD=45°,∴PD=BD.在Rt△ABC中,tan

76°=

,AC=7米,∴BC≈28(米).∵斜坡AP的坡比为1∶2.4,∴

=

,设AH=5k米,则PH=12k米,由勾股定理,得AP=13k米.∵PH+HD=BC+CD,∴12k+7=5k+28,解得k=3,∴AP=13k=3

9(米).故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2024安徽六安霍邱期末)如果α为锐角,cosα=

,则α=

.30°解析∵cosα=

,α为锐角,∴α=30°.12.(新独家原创)如图,A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,AB

⊥x轴于B,则tan∠AOB的值为

.

1解析∵点A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,∴a=22-3×2=-

2,∵AB⊥x轴于B,∴OB=2,AB=2,∴tan∠AOB=

=1.13.(2021江苏南通中考)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东6

0°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间

后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯

塔P的距离为

海里(结果保留根号).25解析过P作PC⊥AB于C,如图.由题意,得∠APC=30°,∠BPC

=45°,PA=50海里,在Rt△APC中,cos∠APC=

,∴PC=PA·cos∠APC=50×

=25

(海里).在Rt△PCB中,cos∠BPC=

,∴PB=

=

=25

(海里).14.(2022安徽安庆潜山期末)如图,△ABC中,过点B作BD⊥

AB,交AC于点D,且AD∶CD=4∶3,∠ABC=150°.(1)BD∶BC=

;(2)若AB=4,则△ABC的面积是

.

2∶7

2解析

(1)过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,如图.∵∠

ABC=150°,∴∠CBE=180°-∠ABC=30°,设CE为a,则BC为2a.

∵BD⊥AB,CE⊥AE,∴∠ABD=∠AEC=90°.∵∠A=∠A,∴△

ABD∽△AEC,∴

=

,∴

=

,∴BD=

a,∴

=

=

.(2)由(1)得,△ABD∽△AEC,∴

=

,∴

=

,∴AE=7,∴BE=AE-AB=7-4=3.在Rt△BEC中,CE=BEtan30°=3×

=

,∴△ABC的面积=

AB·CE=

×4×

=2

.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(2024安徽合肥包河期末)计算:(-1)2023+2sin45°-cos30°+

sin60°.(M9123002)解析原式=-1+2×

-

+

=

-1.16.(等角代换法)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边

上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D正好落在AB边上的点F处,

求tan∠AFE的值.

解析由题意得,∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,根据折叠的性质得,∠EFC=∠EDC=90°,即∠AFE+∠BFC=90°.在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.根据折叠的性质,有CF=CD,∵BC=8,CF=CD=10,∴由勾股定理,得BF=6,∴tan∠BCF=

=

.∴tan∠AFE=tan∠BCF=

.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(2024广西崇左江州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,tanA

=

,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=2

,求BC,AB的长及△ABC的面积.

解析在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD

=∠ABD=30°,∵CD=2

,∴在Rt△BCD中,BC=

=6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴AB=

=12,AC=

=6

,∴△ABC的面积=

×6×6

=18

.18.(教材变式·P138T6)(2024安徽亳州利辛期末)如图所示,小

山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电的铁架

AE,∠B=30°,斜坡BC的长是40米,在山坡的坡顶C处测得铁架

顶端A的仰角为60°,AC=30米,求铁架顶端A到地平面的高度

AD.(

≈1.732,结果精确到0.1米)

解析如图,过点C作CF⊥BD于F,由题意可知CF=ED,∵∠CBF=30°,

∴CF=

BC=20m=ED.∵∠ACE=60°,AC=30m,∴AE=AC·sin

60°=

×30=15

(m),∴AD=15

+20≈46.0(m).答:铁架顶端A到地平面的高度AD约为46.0米.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.(2024安徽合肥肥东期末)学校科技创新社团制作了一种

固定翼飞机的机翼模型,形状如图所示.测得AD=50cm,CD=10cm,∠A=53.3°,∠ABC=111.8°,AB∥DC,求AB边的长.(参考

数据:sin53.3°≈0.80,cos53.3°≈0.60,tan53.3°≈1.34,sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.50)解析作CE⊥AE,DF⊥AF,分别交AB的延长线于点E,F,如

图,在Rt△ADF中,AD=50cm,∠A=53.3°,∴DF=AD×sin53.3°≈40cm,FA=AD×cos53.3°≈30cm.∵∠AFD=∠FEC=90°,∴DF∥EC,∵AB∥CD,∴四边形CDFE是平行四边形,∴四边形CDFE是矩形,∴CE=DF=40cm,在Rt△BCE中,CE=40cm,∠CBE=180°-∠ABC=68.2°,∴BE=

≈16cm,∴AB=AF+CD-BE=24cm.答:AB边的长约为24cm.

20.(化斜为直法)(2024安徽池州青阳期末)如图,在△ABC中,

AB=AC=10,sinB=

.(M9123004)(1)求边BC的长度;(2)求cosA的值.

解析

(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=AC=10,∴BC=2BD.在Rt△ABD中,∵sin∠ABC=

=

,∴AD=ABsin∠ABC=10×

=8,∴BD=

=

=6,则BC=2BD=12.(2)如图,过B作BH⊥AC于H,∵S△ABC=

AC·BH=

BC·AD,∴BH=

=

=

,∴AH=

=

=

,∴在Rt△ABH中,cos∠BAC=

=

=

.21.(情境题·生命安全与健康)某校为检测师生体温,在校门安

装了某型号测温门,如图,已知测温门AD的顶部A距地面2.2

m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间,做了如下

实践:身高为1.6m的组员站在地面N处时测温门开始显示额

头温度,此时在额头B处测得A的仰角为20°,该组员站在地面

M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰

角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,

≈1.73,额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1m)六、(本题满分12分)

解析如图,延长BC交AD于点E,则DE=CM=BN=1.6m,BC=MN,∠AEB=90°,∵AD=2.2m,∴AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6(m),在Rt△ACE中,∠ACE=60°,∴CE=

=

≈0.35(m),在Rt△ABE中,∠ABE=20°,∴BE=

≈

≈1.67(m),∴MN=BC=BE-CE=1.67-0.35≈1.3(m),∴有效测温区间MN的长度约为1.3m.七、(本题满分12分)22.(2024重庆一中期末)小明从家A步行前往公园E,已知点E

在点A的正东方向,但是由于道路AE施工,小明先沿正北方向

走了400米到达B处,再从B处沿北偏东60°方向行走400米到

达C处,从C处沿正东方向走了300米到达D处,在D处休息了6

分钟,最终沿D→E方向到达E处,已知点E在点D的南偏东45°

方向.小明从家出发的同时,爷爷从家选择另一路线A→F→E

步行前往E处,已知点F在点A的南偏东60°方向,且点F在点E

的正南方向.(参考数据:

≈1.414,

≈1.732)(M9123005)(1)求AE的长度(结果精确到1米).(2)已知小明步行速度为80米/分钟,爷爷步行速度为70米/分

钟,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁

先到达公园.

解析

(1)如图,作CP⊥AB交AB的延长线于P,CM⊥AE于M,

DN⊥AE于N,由题意可知,AB=BC=400米,CD=300米,∠PBC=

60°,∠NDE=45°,在Rt△PBC中,BC=400米,∠PBC=60°,∴PB=cos60°·BC=200(米),PC=sin60°·BC=200

(米),∴AP=CM=DN=400+200=600(米),在Rt△DEN中,∠NDE=45°,∴DN=NE=600米,∴AE=AM+MN+NE=200

+300+600=200

+900≈1246(米).答:AE的长约为1246米.(2)在Rt△DEN中,∠NDE=45°,DN=NE=600米,∴DE=

D