专题03 实系数一元二次方程-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【提示】（1）直接利用复数的乘除法计算即可；（2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可；（3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可.【答案】（1），；（2）【解析】（1）,；（2）设，的模为，的模为，，对于有，，对于有，，所以，所以，，所以无意义，即的角的终边在轴上，又，所以，即（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，所以，即，即根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，所以，，同理，，，，所以，，，.

【说明】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.1、复数的平方根是【提示】设的平方根为，则，化简后根据复数相等列方程组求解即可.【答案】或【解析】设的平方根为，则，即，从而解得或所以复数的平方根是或，2、请写出复数的一个平方根（只需写出其中一个）【提示】利用待定系数法，结合复数的四则运算及相等性质即可得解.【答案】（或，答案不唯一）.【详解】依题意，设复数的平方根为，则，所以，解得或，所以复数的平方根为或，故答案为：（或，答案不唯一）3、在复数范围内的平方根是【答案】【解析】因为，复数范围内的平方根为，故答案为：4、在复数集内方程x2－ix＋i－1＝0的解为.【答案】x1＝1，x2＝－1＋i；【解析】因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.设(m＋ni)2＝3－4i，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－n2＝3，,2mn＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝1.))所以3－4i的平方根为±(2－i)，所以x＝eq\f(－b＋“Δ的平方根”,2a)＝eq\f(i±（2－i）,2×1)，得x1＝eq\f(i＋2－i,2)＝1，x2＝eq\f(i－2＋i,2)＝－1＋i，即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.5、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.【答案】2＋3i；13；【解析】设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.6、2022年1月，中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为【答案】eq\f(－1＋\r(3)i,2)；eq\f(－1－\r(3)i,2)；【解析】由x3＝1得x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＝0，即x＋eq\f(1,2)＝±eq\f(\r(3),2)i，解得x＝eq\f(－1＋\r(3)i,2)或eq\f(－1－\r(3)i,2).7、已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【提示】利用复数相等可求参数的值.【答案】D【解析】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以，整理得到:即，故选：D.8、在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为()A．2B．4C．6D．8【答案】C；【解析】设x＝a＋bi(a，b∈R)，那么原方程即为(a＋bi)2－5eq\r(a2＋b2)＋6＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2－5\r(a2＋b2)＋6＝0，,2ab＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝±2，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝±3，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝±1.))9、已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．（1）求实数a，b的值；（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．【解析】（1）把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.（2）设另一个根为x2，由根与系数的关系，得i－1＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根．10、已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值？并求出|z|的最小值．【解析】（1）∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－6b＋9＝0，,a＝b.))解得a＝b＝3.（2）设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－3＋3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y