专题11 圆的最值问题（隐圆模型）（解析版）（人教版）

专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°,则A、B、C三点共圆，AB为直径对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()【答案】D【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°,由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值.【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°,所以∠BCD＝60°,因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD=∠FDC，因为∠FDC+∠BDF＝60°,所以∠EBD+∠BDF＝60°,所以∠BPD＝120°,所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，所以AP＝2当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值.若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为.【分析】延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OETAD交于点E，则△AOD是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则CO的最小值为EO一DE，再求解即可.【详解】解：如图，延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OE丄AD交于点E，∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上， 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键.【变式训练2】．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内边上的动点，且上EAB=上EBC．连结AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为() 【答案】A【分析】先证明7AEB=90O，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=PF，则有：PE十PD=PE十PF，则线段EF的长即为PE十PD的长度最小值，问题随之得解.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点E在以AB为直径的半圆上移动，如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=PF，则线段EF的长即为PE十PD的长度最小值，E 故选：A.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键.【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝9=3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为.【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可.【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，+BC2 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键.点M是四边形ABCD内的一个动点，满足上AMD=90。，则△MBC面积的最小值为. 【答案】634【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME丄BC交BC的延长线于点E，过点O作OF丄BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，通过计算得出当O,M,E三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可.【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OM，过点M作ME丄BC交BC的延长线于点E，过点O作OF丄BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，“AC丄BC，:上B=上DAB，:四边形ABCD为等腰梯形，:BC=AD=4，:点M在以点O为圆心，2为半径的圆上，ABⅡCD，:DG=DO=2， :当O,M,E三点共线时，ME有最小值3·3—2，【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定是解题关键.课后训练连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是.【答案】3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，BD长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值.【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，BD长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上BD长.。故答案为3.【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=3，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为()【答案】A【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将△AEF沿EF折叠，∴AE=EB=EG，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动.一当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为AG.故选：A.的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为()【答案】C【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，“上ACB=90°,即在Rt△ABC中，AB=5252+122“E是Rt△ABC斜边AB上的中点，:CE= “M是BD的中点，E是AB的中点，:ME=:在△CEM中，一＜CM即5＜CM＜8；:CM最小值为5，故选：C.4．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF【答案】21022圆周角上APB=45O的圆上要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧设P在线段OD上时去等号，即可求得DP的最小值.【详解】解：“B、G关于EF对称，:BH=GH，且EF丄BG“E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，:EHⅡAG，∴点P在以AB为弦，圆周角上APB=45O的圆上要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧）又∵E为AB中点，又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形AEOQ是正方形， 故答案为：21022.【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据上APB=上AGB=45O得知点P在以AB为弦，圆周角上APB=45O的圆上是解决问题的关键. 5．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC=·6，∠ABC＝60°.D是平面内一动点，且∠ADB=30°,则CD的最小值是【答案】3/+3 【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=3+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°,可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长.【详解】解：如图，作AH⊥BC于H， ∴BH=AB=1，∴△ACH为等腰直角三角形，BC=CH+BH=3+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，∴点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，最小值为 故答案为：3-3.【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动.6．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是.根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°,由于AC⊥AP，所以∠C=60°,因为AB=2，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°,可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°,如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC