圆的标准方程的综合应用 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.1课时2圆的标准方程的综合应用1.会用待定系数法、几何法求圆的标准方程.2.掌握圆x2+y2＝r2的一些简单的几何性质.例1:求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.解法1:设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组①②③①-②，得3a-b-5=0.④联立③④解得代入①，得r2=5.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图).待定系数法例1:求经过A(1,3)，B(4,2)两点，且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.解法2:如图，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组解得即圆心C的坐标为(2,1).又该圆经过点A，则r2=(1-2)2+(3-1)2=5，几何法归纳总结1.用待定系数法求圆的标准方程的步骤：根据条件设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可.2.求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径：(1)圆心在弦的垂直平分线上；(2)过圆心的直线平分圆；(3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时，r＝|a|.问题1：对于圆x2+y2＝2，该圆上任意一点P(x,y)的x与y应满足的条件是什么？问题2：对于圆x2+y2＝2上的任意一点P(x,y)，关于原点的对称点(-x,-y)，关于x轴的对称点(x,-y)，关于y轴的对称点(-x,y)是否在该圆上？由题(-x)2+(-y)2=x2+y2＝2，所以关于原点的对称点(-x,-y)在圆上；OxyPry＝y＝x＝x＝同理关于x轴的对称点(x,-y)，关于y轴的对称点(-x,y)也在在该圆上.归纳总结对于任何一个半径为r的圆，为了方便研究，我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系，再依据圆的定义得到圆的方程为x2+y2＝r2①.由圆的方程①，可得圆的简单几何性质：(1)范围：|x|≤r，|y|≤r，(2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.OxyPry＝ry＝-rx＝-rx＝r例2:若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，求a与b的和.解：由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.

1.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于（

）A.9 B.－9 C.1 D.－12.△ABC的三个顶点坐标分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，则它的外接圆的方程为_____________________________．B(x－2)2＋(y＋3)2＝253.已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心

C

在直线l：x–y+1=0上，请用两种不同的方法求此圆的标准方程.待定系数法:设圆心C的坐标为(a，b)，由已知得：a–b+1=0①；又A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|，根据两点间距离公式，有综上，所求圆的标准方程为：(x+3)2+(y+2)2=25.由①②得：a=-3，b=-2，所以圆心C的坐标为(-3，-2)；即a–3b–3=0②；圆的半径r=|AC|=OxyABDCl由垂径定理可知，圆心C在线段AB垂直平分线上，综上，所求圆的标准方程为：(x+3)2+(y

+2

)2=25.几何法：如图，设线段AB的中点为D，由A(1,1)，B(2,–2)两点的坐标得：线段AB的垂直平分线l′的方程为：x–3y–3=0，经过A(1,1)，B(2,–2)两点，且圆心在x–y+1=0上的圆的标准方程.所以圆心C的坐标为(-3,-2)；圆的半径r=|AC|=即圆心坐标是方程组

的解，解得