2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型四 特殊四边形存在性问题（课件）

二次函数与几何综合题类型四特殊四边形存在性问题微技能一阶例1如图，已知平面上不共线的三个点A、B、C，请在平面内找一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹，不写作法)例1题图P2P1P3例2在如图所示9×9的网格中，点A、B在格点上，请找出两组格点C、D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．例2题图解：分为两类：①以AB为边的平行四边形ABCD，举例如解图(答案不唯一)；CD例2题图②以AB为对角线的平行四边形ACBD

，举例如解图(答案不唯一)CD例3如图，已知A(－3，0)，B(0，－2)，C(0，－4)，在平面内是否存在一点P，使以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3题图解：存在．如解图，分三种情况讨论：①若四边形ACBP1为平行四边形，则有AP1＝CB＝2，此时点P1的坐标为(－3，2)；②若四边形AP2CB为平行四边形，则有AP2＝CB＝2，例3题解图例3题解图此时点P2的坐标为(－3，－2)；③若四边形ACP3B为平行四边形，易得直线P1B解析式为y＝－

x－2，直线P2C解析式为y＝－

x－4，

联立得

解得即点P3的坐标为(3，－6)．综上所述，点P的坐标为(－3，2)或(－3，－2)或(3，－6)．例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，2)，B(－1，－3)，点P为x轴上一点，点Q为y轴上一点．若要使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点P、Q的坐标．例4题图例4题解图解：设P(xP，0)，Q(0，yQ)，①当AB为平行四边形的一边时，如解图，∵A(4，2)，B(－1，－3)，

则

或

∴

＝－5，

＝5，即点P1(－5，0)，P2(5，0)．又由

或得

＝5，

＝－5，∴Q1(0，5)，Q2(0，－5)；②当AB为平行四边形的对角线时，如解图，

则

，

，

∴

＝3，

＝－1，∴P3(3，0)，Q3(0，－1)．例4题解图综上所述，满足条件的P、Q的坐标为P(－5，0)，Q(0，5)或P(5，0)，Q(0，－5)或P(3，0)，Q(0，－1)．例4题解图满分技法1.求作平行四边形的方法：(1)三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点；(2)两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：①情况一：若AB为平行四边形的边，如图①，平移AB，确定另外两点位置；②情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图②，取AB中点，作过中点的直线确定另外两点的位置．满分技法满分技法2.求点坐标常用方法：(1)线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，)；(2)平行四边形顶点坐标公式：平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．设问突破二阶例5如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC.(1)若点P是平面内一点，是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】要使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①AC为平行四边形对角线；②BC为平行四边形对角线；③AB为平行四边形对角线．例5题图①一题多设问解：(1)存在．如解图，连接BC，由题意，可知A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)，∴AB＝4，BC＝.分三种情况讨论：①当AC为平行四边形ABCP的对角线时，PC＝AB＝4，∴P(－4，5)；②当BC为平行四边形ACPB的对角线时，PC＝AB＝4，∴P(4，5)；例5题解图③当AB为平行四边形ACBP的对角线时，AP＝BC＝

，P(－6，－5)．综上所述，点P的坐标为(－4，5)或(4，5)或(－6，－5)；例5题解图(2)若点P是抛物线上一点，点Q是x轴上一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】由AC为定边，可分AC为平行四边形一边及AC为平行四边形的一条对角线分别确定点Q的坐标．例5题图②例5题解图(2)存在．如解图，分两种情况讨论：①当AC为平行四边形的边时，若点P在x轴上方，满足CP＝AQ，∵C(0，5)，∴当y＝5时，x2＋6x＋5＝5，∴x1＝0，x2＝－6，即CP＝6，此时Q(－11，0)，若点P在x轴下方，不存在；②当AC为平行四边形对角线时，满足AQ＝PC＝6，此时Q(1，0)．综上所述，点Q的坐标为(－11，0)或(1，0)；例5题解图(3)若点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴l上一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；【思维教练】以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①AC为平行四边形的边；②AC为平行四边形的对角线．例5题图③(3)∵对于y＝x2＋6x＋5，函数的对称轴为x＝－3，∴点Q的横坐标为－3.分两种情况讨论：①当AC为平行四边形的边时，∵以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AC＝PQ，∴xC－xA＝xP－xQ或xC－xA＝xQ－xP，∴xP＝0－(－5)＋(－3)＝2或xP＝(－3)－0＋(－5)＝－8，∴点P坐标为(2，21)或(－8，21)；②当AC为平行四边形的对角线，∵以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AC与PQ互相平分，例5题图③∴，即解得xP＝－2，∴点P的坐标为(－2，－3)．综上所述，点P的坐标为(2，21)或(－8，21)或(－2，－3)；例5题图③(4)若点P是x轴上一点，点Q是平面任意一点，是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】先设出点P的坐标，需要分BC为矩形的边或BC为矩形的对角线两种情况，分别计算得出点P的坐标．例5题图④(4)存在．由题意可知，B(－1，0)、C(0，5)，设点P的坐标为(p，0)，∴BP2＝(p＋1)2，CP2＝p2＋52，BC2＝12＋52＝26，①当BC为矩形的边时，∠BCP＝90°，∴BP2＝CP2＋BC2，即(p＋1)2＝p2＋52＋26，解得p＝25，∴点P的坐标为(25，0)；②当BC为矩形的对角线时，∠BPC＝90°，∴此时点P与原点重合，点P的坐标为(0，0)，综上所述，点P的坐标为(25，0)或(0，0)；例5题图④(5)若点P是抛物线对称轴上一点，过点P作平行于AB的一条直线l′，点K在l′上，若以A、O、P、K为顶点的四边形是菱形，写出所有满足条件的点P、K的坐标．【思维教练】由PK∥AO可知，若PK＝AO，则以A、O、P、K为顶点的四边形是平行四边形，再证OP＝AO或AP＝AO即可满足菱形的条件，根据点P在l上，设出点坐标，得到方程求解即可．例5题图⑤(5)如解图，设点P的坐标为(－3，g)，对称轴与x轴的交点为D，由勾股定理得OP2＝OD2＋DP2＝9＋g2，AP2＝AD2＋PD2＝4＋g2，∵PK∥AO，①当OP＝AO且PK＝AO时，四边形OPKA是菱形，∵OP＝AO＝5，此时有9＋g2＝25，解得g1＝4，g2＝－4，∴点P的坐标为(－3，4)或(－3，－4)，则相对应的点K的坐标为(－8，4)，(－8，－4)；例5题解图②当AP＝AO且PK＝AO时，四边形APKO是菱形，此时有4＋g2＝25，解得g1＝

，g2＝－

，∴点P的坐标为(－3，)或(－3，－)，则相对应的点K的坐标为(2，)，(2，－)．综上所述，满足条件的点P、K的坐标为P(－3，4)，K(－8，4)或P(－3，－4)，K(－8，－4)或P(－3，)，K(2，)或P(－3，－)，K(2，－)．例5题解图对接中考如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH.(1)抛物线的解析式为__________________；y＝－x2－2x＋3(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；题解图(2)如解图，连接OE.设E(m，－m2－2m＋3)．∵A(－3，0)，C(0，3)，∴OA＝OC＝3，AC＝3.∵AC∥直线m，∴△ACH的面积是定值．∵S四边形AECH＝S△AEC＋S△ACH，∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大．S△AEC＝S△AEO＋S△ECO－S△AOC

＝×3×(－m2－2m＋3)＋×3×(－m)－×3×3

＝－(m＋)2＋

，