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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每题4分,共48分)1.下列方程中,为一元二次方程的是()A.x=2 B.x+y=3 C. D.2.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα) B.(cosα,cosα) C.(cosα,sinα) D.(sinα,cosα)3.在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=2∠A,则cosB等于()A. B. C. D.4.某车间20名工人日加工零件数如表所示:日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是()A.5、6、5 B.5、5、6 C.6、5、6 D.5、6、65.如图,在一幅长80cm,宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图,若要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,则满足的方程是()A.(80+x)(50+x)=5400B.(80+2x)(50+2x)=5400C.(80+2x)(50+x)=5400D.(80+x)(50+2x)=54006.如图,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是()A. B.12 C.14 D.217.下列是一元二次方程有()①;②;③;④.A. B. C. D.8.如果、是一元二次方程的两根,则的值是()A.3 B.4 C.5 D.69.与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角形的()A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三边的垂直平分线的交点10.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,原价为30元的药品经过连续两次降价,价格变为24.3元,则平均每次降价的百分率为()A.10% B.15% C.20% D.25%11.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为PQ,则△PQD的面积为()A. B. C. D.12.对于二次函数,下列说法不正确的是()A.其图象的对称轴为过且平行于轴的直线.B.其最小值为1.C.其图象与轴没有交点.D.当时,随的增大而增大.二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,⊙O的半径为6cm,直线AB是⊙O的切线,切点为点B,弦BC∥AO,若∠A=30°,则劣弧的长为cm.14.一元二次方程的两根之积是_________.15.已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当取四个不同数值时此二次函数的图象.发现它们的顶点在同一条直线上,那么这条直线的表达式是_________.16.已知,相似比为,且的面积为,则的面积为__________.17.如图△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos∠BDC=,则BC的长为_____.18.如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画,若,则阴影部分图形的周长为______结果保留.三、解答题(共78分)19.(8分)问题提出:如图1,在等边△ABC中,AB=9,⊙C半径为3,P为圆上一动点,连结AP,BP,求AP+BP的最小值(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路,通过构造一对相似三角形,将BP转化为某一条线段长,具体方法如下:(请把下面的过程填写完整)如图2,连结CP,在CB上取点D,使CD=1,则有又∵∠PCD=∠△∽△∴∴PD=BP∴AP+BP=AP+PD∴当A,P,D三点共线时,AP+PD取到最小值请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为.(2)自主探索:如图3,矩形ABCD中,BC=6,AB=8,P为矩形内部一点,且PB=1,则AP+PC的最小值为.(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸:如图1,在扇形COD中,O为圆心,∠COD=120°,OC=1.OA=2,OB=3,点P是上一点,求2PA+PB的最小值,画出示意图并写出求解过程.20.(8分)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,点D是AC边上一点,过点D作DE⊥BD,交AB于点E,若BD=10,tan∠ABD=,cos∠DBC=,求DC和AB的长.21.(8分)有一只拉杆式旅行箱(图1),其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50cm,拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm,点A,B,C在同一条直线上,在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A,⊙A与水平地面相切于点D,在拉杆伸长到最大的情况下,当点B距离水平地面34cm时,点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥MN.(1)求⊙A的半径.(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感到较为舒服,某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时,CE为76cm,∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离(结果精确到1cm,参考数据:sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).22.(10分)如图,在坐标系中,抛物线经过点和,与轴交于点.直线.抛物线的解析式为.直线的解析式为;若直线与抛物线只有一个公共点,求直线的解析式;设抛物线的顶点关于轴的对称点为,点是抛物线对称轴上一动点,如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象,直接写出点的纵坐标的取值范围.23.(10分)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=6,求sinB的值.24.(10分)先化简:,再求代数式的值,其中是方程的一个根.25.(12分)如图,抛物线C1:y=x2﹣2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式;(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.26.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,(1)求证:AC2=AB•AD.(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求AF的值.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、C【解析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】A、x=2是一元一次方程,故A错误;B、x+y=3是二元一次方程,故B错误;C、是一元二次方程,故C正确;D、是分式方程,故D错误;故选:C.【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的定义是关键.2、C【解析】过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在直角三角形OPQ中,利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ,即可确定出P的坐标.解:过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=,cosα=,即PQ=sinα,OQ=cosα,则P的坐标为(cosα,sinα),故选C.3、B【详解】解:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠B=2∠A,∴∠A+2∠A=90°,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cosB=故选B【点睛】本题考查三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.4、D【详解】5出现了6次,出现的次数最多,则众数是5;把这些数从小到大排列,中位数是第10,11个数的平均数,则中位数是(6+6)÷2=6;平均数是:(4×2+5×6+6×5+7×4+8×3)÷20=6;故答案选D.5、B【详解】根据题意可得整副画的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,则根据长方形的面积公式可得:(80+2x)(50+2x)=1.故应选:B考点:一元二次方程的应用6、A【分析】根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长,即可得出三角形的面积.【详解】解:过点A作AD⊥BC,∵△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,
∴cosB==,
∴∠B=45°,
∵sinC===,
∴AD=3,
∴CD==4,
∴BD=3,
则△ABC的面积是:×AD×BC=×3×(3+4)=.
故选A.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识,作出AD⊥BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.7、A【解析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式是一元二次方程.然后对每个方程作出准确的判断.【详解】解:①符合一元二次方程的定义,故正确;②方程二次项系数可能为0,故错误;③整理后不含二次项,故错误;④不是整式,故错误,故选:A.【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义,根据定义对每个方程进行分析,然后作出准确的判断.8、B【解析】先求得函数的两根,再将两根带入后面的式子即可得出答案.【详解】由韦达定理可得α+β=-3,又=3--=)=1+3=4,所以答案选择B项.【点睛】本题考察了二次方程的求根以及根的意义和根与系数的关系,根据得到的等量关系是解决本题的关键.9、D【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考,首先满足到A点、B点的距离相等,然后思考满足到C点、B点的距离相等,都分别在各自线段的垂直平分线上,于是答案可得.【详解】解:如图:∵OA=OB,∴O在线段AB的垂直平分线上,∵OB=OC,∴O在线段BC的垂直平分线上,∵OA=OC,∴O在线段AC的垂直平分线上,又三个交点相交于一点,∴与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角形的三边的垂直平分线的交点.故选:D.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质,解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等.10、A【分析】设平均每次降价的百分率为x,根据该药品的原价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】设平均每次降价的百分率为x,依题意,得:30(1﹣x)2=24.3,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).故选:A.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.11、D【分析】由折叠的性质可得AQ=QD,AP=PD,由勾股定理可求AQ的长,由锐角三角函数分别求出AP,HQ的长,即可求解.【详解】解:过点D作DN⊥AC于N,∵点D是BC中点,∴BD=3,∵将△ABC折叠,∴AQ=QD,AP=PD,∵AB=9,BC=6,∠B=90°,∴AC=,∵sin∠C==,∴DN=,∵cos∠C=,∴CN=,∴AN=,∵PD2=PN2+DN2,∴AP2=(﹣AP)2+,∴AP=,∵QD2=DB2+QB2,∴AQ2=(9﹣AQ)2+9,∴AQ=5,∵sin∠A==,∴HQ==∵∴△PQD的面积=△APQ的面积=××=,故选:D.【点睛】本题考查了翻折变换,勾股定理,三角形面积公式,锐角三角函数,求出HQ的长是本题的关键.12、D【分析】先将二次函数变形为顶点式,然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项,再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项,进而可得答案.【详解】解:,所以抛物线的对称轴是直线:x=3,顶点坐标是(3,1);A、其图象的对称轴为过且平行于轴的直线,说法正确,本选项不符合题意;B、其最小值为1,说法正确,本选项不符合题意;C、因为抛物线的顶点是(3,1),开口向上,所以其图象与轴没有交点,说法正确,本选项不符合题意;D、当时,随的增大而增大,说法错误,所以本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,属于基本题型,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、.【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB,从而求出∠BOA的度数,利用弦BC∥AO,及OB=OC可得出∠BOC的度数,代入弧长公式即可得出答案:∵直线AB是⊙O的切线,∴OB⊥AB(切线的性质).又∵∠A=30°,∴∠BOA=60°(直角三角形两锐角互余).∵弦BC∥AO,∴∠CBO=∠BOA=60°(两直线平行,内错角相等).又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形(等边三角形的判定).∴∠BOC=60°(等边三角形的每个内角等于60°).又∵⊙O的半径为6cm,∴劣弧的长=(cm).14、【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知.【详解】解:根据题意有两根之积x1x2==-1.
故一元二次方程-x2+3x+1=0的两根之积是-1.
故答案为:-1.【点睛】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系,是基本题型.两根之积x1x2=.15、【分析】已知抛物线的顶点式,写出顶点坐标,用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标,消去a得出x、y的关系式.【详解】解:二次函数中,顶点坐标为:,设顶点坐标为(x,y),∴①,②,由①2+②,得,∴;故答案为:.【点睛】本题考查了二次函数的性质,根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键,注意运用消元的思想解题.16、【分析】根据相似三角形的性质,即可求解.【详解】∵,相似比为,∴与,的面积比等于4:1,∵的面积为,∴的面积为1.故答案是:1.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质定理,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方,是解题的关键.17、4【解析】试题解析:∵可∴设DC=3x,BD=5x,又∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=DB=5x,又∵AC=8cm,∴3x+5x=8,解得,x=1,在Rt△BDC中,CD=3cm,DB=5cm,故答案为:4cm.18、+1.【详解】解:∵五边形ABCDE为正五边形,AB=1,∴AB=BC=CD=DE=EA=1,∠A=∠D=108°,∴==•πAB=,∴C阴影=++BC=+1.故答案为+1.三、解答题(共78分)19、(1)BCP,PCD,BCP,;(2)2;(3)作图与求解过程见解析,2PA+PB的最小值为.【分析】(1)连结AD,过点A作AF⊥CB于点F,AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小,AP+AD最小,当点A,P,D在同一条直线时,AP+AD最小,即可求解;(2)在AB上截取BF=2,连接PF,PC,AB=8,PB=1,BF=2,证明△ABP∽△PBF,当点F,点P,点C三点共线时,AP+PC的值最小,即可求解;(3)延长OC,使CF=1,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,确定,且∠AOP=∠AOP,△AOP∽△POF,当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,即可求解.【详解】解:(1)如图1,连结AD,过点A作AF⊥CB于点F,∵AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小,∴AP+AD最小,当点A,P,D在同一条直线时,AP+AD最小,即:AP+BP最小值为AD,∵AC=9,AF⊥BC,∠ACB=60°∴CF=3,AF=;∴DF=CF﹣CD=3﹣1=2,∴AD=,∴AP+BP的最小值为;故答案为:;(2)如图2,在AB上截取BF=2,连接PF,PC,∵AB=8,PB=1,BF=2,∴,且∠ABP=∠ABP,∴△ABP∽△PBF,∴,∴PF=AP,∴AP+PC=PF+PC,∴当点F,点P,点C三点共线时,AP+PC的值最小,∴CF=,∴AP+PC的值最小值为2,故答案为:2;(3)如图3,延长OC,使CF=1,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,∵OC=1,FC=1,∴FO=8,且OP=1,OA=2,∴,且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF∴,∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB,∴当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,∵∠COD=120°,∴∠FOM=60°,且FO=8,FM⊥OM∴OM=1,FM=1,∴MB=OM+OB=1+3=7∴FB=,∴2PA+PB的最小值为.【点睛】本题主要考查了圆的有关知识,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..20、DC=6;AB=,【分析】如图,作EH⊥AC于H.解直角三角形分别求出DE,EB,BC,CD,再利用相似三角形的性质求出AE即可解决问题.【详解】如图,作EH⊥AC于H.∵DE⊥BD,∴∠BDE=90°,∵tan∠ABD==,BD=10,∴DE=5,BE===5,∵∠C=90°,cos∠DBC==,∴BC=8,CD===6,∵EH∥BC,∴△AEH∽△ABC,∴=,∴=,∴AE=,∴AB=AE+BE=+5=.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识21、(1)4;(2)BC=30cm【分析】(1)作BK⊥AF于点H,交MN于点K,通过△ABH∽△ACG,根据相似三角形的性质可得关于x的方程,求解即可;(2)在Rt△ACG中利用正弦值解线段AC长,即可得.【详解】(1)解:作BK⊥AF于点H,交MN于点K,则BH∥CG,△ABH∽△ACG,设圆形滚轮的半径AD长为xcm,∴即解得,x=4∴⊙A的半径是4cm.(2)在Rt△ACG中,CG=76-4=72cm,则sin∠CAF=∴AC=cm,∴BC=AC-AB=80-50=30cm.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,构建相似三角形及建立模型是解答此题的关键.22、(1);(2);(3).【分析】(1)将两点坐标直接代入可求出b,c的值,进而求出抛物线解析式为,得出C的坐标,从而求出直线AC的解析式为y=x+3.(2)设直线的解析式为,直线与抛物线只有一个公共点,方程有两个相等的实数根,再利用根的判别式即可求出b的值.(3)抛物线的顶点坐标为(-1,4),关于y轴的对称点为M(1,4),可确定M在直线AC上,分直线不在直线下方和直线在直线下方两种情况分析即可得解.【详解】解:将A,B坐标代入解析式得出b=-2,c=3,∴抛物线的解析式为:当x=0时,y=3,C的坐标为(0,3),根据A,C坐标可求出直线AC的解析式为y=x+3.直线,设直线的解析式为.直线与抛物线只有一个公共点,方程有两个相等的实数根,,解得.直线的解析式为..解析:如图所示,,抛物线的顶点坐标为.抛物线的顶点关于轴的对称点为.当时,,点在直线上.①当直线不在直线下方时,直线能与抛物线在第二象限的部分形成封闭图形.当时,.当直线与直线重合,即动点落在直线上时,点的坐标为.随着点沿抛物线对称轴向上运动,图形逐渐变小,直至直线与轴平行时,图形消失,此时点与抛物线的顶点重合,动点的坐标是,②当直线在直线下方时,直线不能与抛物线的任何部分形成封闭图形.综上,点的纵坐标的取值范围是.【点睛】本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合性题目,根据点坐标求出抛物线与直线的解析式是解题的关键.考查了学生对数据的综合分析能力,数形结合的能力,是一道很好的题目.23、【分析】过点A作于D,根据等腰三角形的三线合一性质求出根据勾股定理求出,最后用正弦的定义即可.【详解】解:过点A作于D,又∵△ABC中,AB=AC=10,BC=6,∴,.∴.【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、勾股定理、锐角三角函数的定义,构造直角三角形是解题的关键.24、;1.【分析】首先对括号内的分式进行通分,然后把除法转化为乘法即可化简,最后整体代值计算.【详解】解:,,,,;∵是方程的一个根,∴,∴,∴,∴原式=【点睛】本题考查了分式的化简求值和一元二次方程的根,熟知整体代入是解答此题关键.25、(1)y=﹣x2+4x;(2)P(2,2);(3)S△MOC最大值为.【分析】(1)C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=-1,将点A的坐标代入C2的表达式,即可求解;
(2)点A关于C2对称轴的对称点是点O(0,0),连接OC交函数C2的对称轴与点P,此时PA+PC的值最小,即可求解;
(3)S△MOC=MH×xC=(-x2+4x-x)=-x2+x,即可求解.【详解】(1)令:y=x2﹣2x=0,则x=0或2,即点B(2,0),∵C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=﹣1,则点A(4,0),将点A的坐标代入C2的表达式得:0=﹣16+4
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