2021-2022学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）

1.（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A./+y=3B.x2-1C./-3=0D.2x+l=0

2.（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，

世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中

的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

3.（4分）下列事件是随机事件的是（）

A.一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾

B.购买一张福利彩票就中奖

C.任意画一个三角形，其内角和是360°

D.在一个只装有黑球的袋中，摸出白球

4.（4分）抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（）

A.（-2,-3）B.（2,-3）C.（2,3）D.（-2,3）

5.（4分）函数），=弓中的自变量x的取值范围是（）

x_Z

A.x>\B.x#2C.x>l且xr2D.且x#2

6.（4分）如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，点。在。。上.若NB=42°,则

NZMC的度数是（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

7.（4分）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共

有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑥个图形中共有点的个数是（）

①②③

A.45B.63C.84D.108

8.（4分）如图，在△ABC中，NCAB=65：将△ABC绕点A逆时针旋转能与重

A.65°B.60°C.50°D.55°

9.（4分）如图，在等边AABC中，。是边AC上一点，将△BCQ绕点B逆时针旋转60°

能与aBAE重合，若BC=8,BD=6,则△AM的周长是（）

A.15B.14C.13D.12

10.（4分）如图，已知抛物线y=/+fer+cQW0）经过点（-2,0）,对称轴为直线x=l,

下列结论中正确的是（)

J)

A.ahc>0B.h=2aC.9a+3h+c<0D.8〃+c=0

x-1<2x+33

11.（4分）若关于x的不等式组2-6有解，关于y的分式方程+=2有

lx+l>«+3y-22-y

非负数解，则符合条件的所有整数。的和为（）

A.3B.2C.ID.-2

12.（4分）如图，直线AB交双曲线（k>0,x>0）于A、8两点，交x轴于点C,点

B为线段AC的中点，若△OAC的面积为12,则k的值为（）

A.12B.8C.6D.4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

13.（4分）已知点P（l,-4）在反比例函数），=如勺图象上，则人的值是.

14.（4分）若点AQ+，,4）与点夙-2,a-6）关于原点对称，则式子“+26的值是.

15.（4分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六

边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，若从中任意抽出一张，则抽到的

卡片的正面是中心对称图形的概率是.

16.（4分）如图，正方形ABC。的边长为2,连接AC,先以A为圆心，AB的长为半径作皿，

再以A为圆心，AC的长为半径作朝，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面

积之和是（结果保招n）.

17.（4分）如图，点。是aABC的边AB的中点，将△BCZ）沿直线CO翻折能与△口7£）重

合，若A8=4,CD=2,AE=l,则点C到直线A8的距离为.

18.（4分）某知名服装品牌在北硝共有A、B、C三个实体店.由于疫情的影响，第一季度

A、B、C三店的营业额之比为3：4：5,随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季

度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的士第二季度

7

4

3店的营业额占总营业额的石，为了使A店与C店在第二季度的营业额之比为5：4,则

第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为.

三、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）

19.（10分）解下列方程：

（1）2?+3x+l=0；

（2）x（x-3）=3-x.

20.（10分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球，它们的形状、

大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随

机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标（x,y）.

（1）求小红摸出的小球上标的数为方程/-5x+6=0的解的概率；

（2）请你用列表法或画树状图法，求点P（x,y）在函数y=-x+5图象上的概率.

21.（10分）如图，在△ABC中，NABC=90°,NACB=30°,将aABC绕点C顺时针旋

转60°能与△OEC重合，点F是边AC中点.

(1)求证：△CFD9XABC；

(2)连接BE,求证：四边形3EDF是平行四边形.

22.(10分)在数学的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学

习自然数时，我们发现一种特殊的自然数一一“竞合数”.定义：对于一个三位正整数,

把它的百位与十位上的数字分别作为一个两位数的十位与个位的数字，如果这个三位整

数能被3整除，且这个两位数能被2整除，那么这样的三位正整数称为“竞合数”.例如：

三位整数246按定义得到的两位整数是24,因为246能被3整除，24能被2整除，所以

246是一个“竞合数

(I)判断365和726是不是“竞合数”？并说明理由；

(2)已知一个三位正整数p的百位上的数字是2,十位上的数字是x,个位上的数字是y,

且这个三位正整数p是“竞合数”，若式子2+x+y的值是一个完全平方数，求出这个三位

正整数p.

23.(10分)在初中函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合函数图

(-2x—3,(x<0)

象研究函数性质的过程.小涵根据已学知识对函数的图象与性质

+(x>0)

进行了探究，其探究过程中列表如下：

X…-3-2-101234•••

y…3b-1-33273…

3

(1)请写出〃的值；

(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质;

(3)结合你所画的函数图象，直接写出y23时自变量x的取值范围.

»x

24.(10分)“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入

关键阶段.我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同

的A、8两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A

型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元.

(1)最多能购买A型号地砖多少块？

(2)为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低4％,8型号地砖

的售价降低10%.由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买

量在(1)中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了2〃％,8型号地砖的购买量相应减

少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还

节省了10%,求。的值.

25.(10分)已知抛物线y=a/+〃x+4(a#0)与x轴交于点4(-3,0)、B(2,0),与y

轴交于点C,直线y—mx+n经过两点A、C.

(1)求a,b的值；

(2)如图1,点P在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形以8C的面积最大时，

求点P的坐标；

(3)如图2,将已知抛物线向左平移;个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物

线为y',若抛物线y'与原抛物线的对称轴交于点。.点E是新抛物线V的对称轴上一动点，

在(2)的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点£的坐标.

26.(8分)在△ABC中，AB=BC,NA8C=90°.

(1)如图1,已知。E_LBC,垂足为£>,若NOBE=60°,AC=2&,BD=V3,求线段

4E的长；

(2)如图2,若点。在△ABC内部，点F是C。的中点，且求证：Z

DBF=45°；

(3)如图3,点A与点4关于直线3c对称，点D是△4AC内部一动点，ZADC=90°.若

AC=4,则线段A'D的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，

2021-2022学年重庆市巴南区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）

1.（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A./+y=3B.%2-1C./-3=0D.2x+l=0

【解答】解：A.方程f+y=3是二元二次方程，故本选项不符合题意；

B.是分式方程，故本选项不符合题意；

C.是一元二次方程，故本选项符合题意；

D.2r+l=0是一元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：C.

2.（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，

世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中

的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

C.1ID.

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意;

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

3.（4分）下列事件是随机事件的是（）

A.一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾

B.购买一张福利彩票就中奖

C.任意画一个三角形，其内角和是360°

D.在一个只装有黑球的袋中，摸出白球

【解答】解：A.一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾，是必然事件，因此选项A

不符合题意；

B.购买一张福利彩票就中奖，是随机事件，因此选项B符合题意；

C.任意画一个三角形，其内角和是360°,是不可能事件，因此选项C不符合题意；

D.在一个只装有黑球的袋中，摸出白球，是不可能事件，因此选项。不符合题意；

故选：B.

4.（4分）抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（）

A.（-2,-3）B.（2,-3）C.（2,3）D.（-2,3）

【解答】解：抛物线y=-（》+2）2-3的顶点坐标为（-2,-3）.

故选：A.

5.（4分）函数丫=2^中的自变量x的取值范围是（）

A.x>\B.x#2C.x>l且xr2D.且x#2

【解答】解：根据题意得：x-l20且X-2W0,

解得：且

故选：D.

6.（4分）如图，A8是OO的直径，AC是。。的切线，点。在OO上.若NB=42°,则

NDAC的度数是（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

【解答】解：〈AB是。。的直径，

.♦・NADB=90°,

・・・N3+N&W=90°,

•「AC是。。的切线，

：.ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZDAC=90°-

：.ZDAC=ZB=42°,

故选：A.

7.（4分）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共

有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑥个图形中共有点的个数是（）

【解答】解：第1个图中共有1X3=3个点,

第2个图中共有1X3+2X3=9个点，

第3个图中共有1X3+2X3+3X3=18个点，

第n个图有1X3+2X3+3X3+…+3〃个点.

所以第6个图中共有点的个数是lX3+2X3+3X3+・“+6X3=63.

故选：B.

8.（4分）如图，在△4BC中，NCAB=65°,将aABC绕点A逆时针旋转能与△4EO重

A.65°B.60°C.50°D.55°

【解答】解：

AZACD=ZCAB=65°,

•/AABC绕点A旋转得到△AEZ),

：.AC^AD,

-2ZACD=180°-2X65°=50°,

故选：C.

9.（4分）如图，在等边△ABC中，。是边AC上一点，将△BCQ绕点8逆时针旋转60°

能与△BAE重合，若8c=8,BD=6,则△AEQ的周长是（)

A.15B.14C.13D.12

【解答】解：,••将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△血£

:.BD=BE,NDBE=60°,CD=AE,

...△OBE是等边三角形，

:.BD=DE=6,

：.^AED的周长=AE+AO+OE=CD+AD+DE=8+6=14,

故选：B.

10.（4分）如图，已知抛物线y=a?+法+c（aWO）经过点（-2,0）,对称轴为直线x=l,

下列结论中正确的是（）

A.abc>0B.b=2aC.9〃+36+cV0D.8〃+c=0

【解答】解：•.•抛物线开口向下，

：.a<0,

•••抛物线对称轴为直线x=l,

••一Q—-],

2a

：.b=-2。>0,

•・•抛物线交y轴的正半轴，

：.abc<0,故A、B错误;

抛物线的对称轴为直线x=1,

而点（-2,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（4,0）,

.•.当x=3时，y=9a+3h+c>0,故C错误；

,抛物线y=ax2+〃x+c经过点（-2,0）,

：.4a-2b+c=0,

'：b=-2a,

4a+4a+c=0,即8a+c=0,故。正确，

故选：D.

v2x+3

11.（4分）若关于x的不等式组尸一飞一有解，关于y的分式方程J+「=2有

U+l>a+3I2-y

非负数解，则符合条件的所有整数”的和为（）

A.3B.2C.1D.-2

（x-1<2x4-3^

【解答】解：关于x的不等式组2-6力，

（x+l>a+3②

解①得：xW6,

解②得：x>a+2,

；不等式组有解,

.•・〃+2<6,

关于y的分式方程薨|=2,

a+\-3=2（》-2）,

a-2=2y-4,

2y=a+2,

1

「•y=1+a。，

由题意可得：

yNO且yW2,

••・1+%20且l+aa#2,

，心-2且a¥2,

综上所述：

-2«4且aW2,

•••。为整数，

-2,-1,0,1,3,

・•・-2+（-1）+0+1+3=1,

符合条件的所有整数a的和为1,

故选：C.

12.（4分）如图，直线AB交双曲线（/>0,x>0）于A、8两点，交x轴于点C,点

B为线段AC的中点，若△OAC的面积为12,则A的值为（）

k

A.12B.8C.6D.4

k

【解答】解：设A点坐标为（〃，-),C点坐标为(b,0),

a

・・,8恰为线段AC的中点，

•'•B点坐标为（,丁），

・・・8点在反比例函数图象上，

a+bk

•*.--->一=k,

22a

••b=3a,

SA（?AC=12,

1k

：.-b-=12,

2a

1k

・••一•一=12,

2a

.•・k=8,

故选：B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

13.（4分）已知点P（l,-4）在反比例函数y=[的图象上，则k的值是-4.

【解答】解：..•点P（1,-4）在反比例函数y=5的图象上，

••-4—y,

解得k=-4.

故答案为-4.

14.（4分）若点AQ+44）与点3（-2,4-人）关于原点对称，则式子〃+28的值是5.

【解答】解：・・•点4（。+44）与点8（-2,a-b）关于原点对称，

:.a+b=2,a-b=-4,

.[a+b=2①

\a-b=-4②

・,•①+②得：2a=-2,

解得：a=-1,

把〃=-1代入①得：-1+8=2,

解得：b=3,

...原方程组的解为：£=；i,

3=3

:・a+2b=-1+6=5,

故答案为：5.

15.（4分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六

边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，若从中任意抽出一张，则抽到的

、3

卡片的正面是中心对称图形的概率是二.

【解答】解：・.•从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正

面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，

3

・・・抽到的卡片的正面是中心对称图形的概率是二.

4

3

故答案为：

4

16.（4分）如图，正方形的边长为2,连接AC,先以A为圆心，AB的长为半径作皿，

再以A为圆心，4C的长为半径作朝，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面

3

积之和是-TT-2（结果保留n）.

【解答】解：•.•正方形ABC。的边长为2,

.•.AB=BC=2,NA8C=90°,

；.4C=2&,/E4C=NCAB=45°,

2

•••图中阴影部分的面积是：丝展+457rx(2V2)一：*2X2]=|n-2,

36036022

3

故答案为：~H-2.

17.(4分)如图，点。是△A8C的边AB的中点，将△5CO沿直线CO翻折能与△EC。重

合，若A8=4,CD=2,AE=l,则点C到直线A8的距离为三任.

-£

【解答】解：连接8E,延长CQ交BE于点G,作CHLAB于点H,如图所示,

由折叠的性质可得：BD=DE,CB=CE,

则CG为BE的中垂线，

：.BG=^BE,

:力为AB中点，

**•BD=AD=2.,S&CBD=S&CAD,AD=DEj

；.NDBE=/DEB,NDEA=NDAE,

VZEDA+ZDEA+ZDAE=\S0°,

即2N£>E3+2NOE4=180°,

・・・NDEB+NDEA=90°,

即NBEA=90°,

在直角三角形AEB中，由勾股定理可得:

BE=y/AB2—AE2=V42—l2=V15,

：.BG=1V15,

S&ABC=2S&BDC,

1i

A-xAB・C”=2x4xCD・BG,

22

A4C/7=2X2xiV15,

AC/7=1V15.

故答案为：1V15.

18.（4分）某知名服装品牌在北陪共有4、B、C三个实体店.由于疫情的影响，第一季度

A、B、C三店的营业额之比为3：4：5,随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季

度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的之第二季度

7

4

3店的营业额占总营业额的石，为了使A店与。店在第二季度的营业额之比为5：4,则

7

第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为二

【解答】解：设第一季度营业额为W,第二季度营业额为V,则总共增加的营业额为（V

-w）,B店增加的营业额为3（V-W）,第二季度B店的营业额为£»，，

713

则第一季度A店的营业额为:卬=Xw=Jw,B店的营业额为:卬=Xiv=iiv；

3+4+51243+4+5123

第二季度A店与。店的营业额之和为（1一张）片各，

若A店与C店在第二季度的营业额之比为5：4,则第二季度A店营业额为KVX亳=白丫,

133十，U

B店营业额为3/XFTZ=%7；

135+413

5i41

第二季度A店增加的营业额为(［广务)，B店增加的营业额为(不广却)，依题意有

134133

412

-V—”=与(V-W),

1337

解得w=备也

51516

—V*-*—w—V——,—V

则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为理一^=^^^=

VV

7

一V7

26_

V~26

7

故答案为：—.

26

三、解答题(本大题共7个小题，每小题10分，共70分)

19.(10分)解下列方程：

(1)Z^+Sx+l=0；

(2)x(x-3)=3-x.

【解答】解：⑴(2x+l)(x+l)=0,

2JC+1=0或x+l=0,

-1

所以xi=—2'xi~~1;

(2)x(x-3)+(x-3)=0,

(x-3)(x+1)=0,

x-3=0或x+1=0,

所以xi=3,xi--1.

20.(10分)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球，它们的形状、

大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随

机摸出一个小球记下数为这样确定了点P的坐标(x,y).

(1)求小红摸出的小球上标的数为方程/-5x+6=0的解的概率；

(2)请你用列表法或画树状图法，求点P(x,y)在函数y=-x+5图象上的概率.

【解答】解：(1)小红从1、2、3、4中随意摸出一球，共有4种可能出现的结果，而方

程,-5*+6=0的解为川=2,筮=3,

21

所以小红摸出的小球上标的数为方程/-5.V+6=0的解的概率为-=-；

42

(2)点尸(x,y)所有可能出现的结果如下:

红X

小小。1234

1(2，1)(3»1)(4»1)

2(b2)(3.2)(4,2)

3(b3)(2,3)(4,3)

4(b4)(2,4)(3,4)

共有12中可能出现的结果情况，其中(2,3)(3,2)(1,4)(4,1)在函数y=-x+5

图象上，

41

所以点P(尤，y)在函数)，=-x+5图象上的概率为石=

21.(10分)如图，在△ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,将aABC绕点C顺时针旋

转60°能与△DEC重合，点厂是边AC中点.

(1)求证：△CFD丝△ABC；

(2)连接BE,求证：四边形BED尸是平行四边形.

【解答】证明：(1)•••点尸是边AC中点，

CF=|AC,

30°,

：.BA=^AC,ZA=60°,

：.AB=CF,

:将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到

：.AC=CD,ZACD=60°,

ZACB=ZDCE,

在△ABC和中，

(AB=CF

ZJl=乙FCD,

14c=CD

：.^ABC^/\CFD(SAS)；

(2)延长B尸交CE于点G,

；.NBCF=NFBC=30°,

；NBC"60°,

ZBCE+ZCBG=ZBGE=90",

VZDEC=NABC=90°

:.NBGE=NDEC,

：.BF//ED,

1

'：BF=^AC=AB,AB=DE,

:.BF=DE,

...四边形BED尸是平行四边形.

22.(10分)在数学的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学

习自然数时，我们发现一种特殊的自然数一一“竞合数”.定义：对于一个三位正整数,

把它的百位与十位上的数字分别作为一个两位数的十位与个位的数字，如果这个三位整

数能被3整除，且这个两位数能被2整除，那么这样的三位正整数称为“竞合数”.例如：

三位整数246按定义得到的两位整数是24,因为246能被3整除，24能被2整除，所以

246是一个“竞合数”.

(1)判断365和726是不是“竞合数”?并说明理由；

(2)已知一个三位正整数p的百位上的数字是2,十位上的数字是x,个位上的数字是y,

且这个三位正整数p是“竞合数”，若式子2+x+y的值是一个完全平方数，求出这个三位

正整数p.

【解答】解：(1)365不是“竞合数”，

理由：：365+3=121余2,

二365不能倍3整除，

•••365不是“竞合数”；

726是“竞合数”，

理由：V7264-3=242,

726能被3整除，

；72+2=36,

.,.72能被2整除，

•••726是“竞合数”；

(2)根据题意得，0WxW9,0WyW9,

2W2+x+yW20,

•；2+x+y的值是一个完全平方数，

；.2+x+y=4或9或16,

•••三位正整数p是“竞合数”，

(2+x+y)是3的倍数，

2+x+y=9,

**_y—7~x,

；.0W7-xW9,

:三位正整数p的百位上的数字是2,十位上的数字是x,个位上的数字是y,且这个三

位正整数p是“竞合数”，

(20+x)能被2整除，

.,.x=0或2或4或6,

；.y=7或5或3或1,

，三位正整数p为207或225或243或261.

23.(10分)在初中函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合函数图

(—lx—3,(x<0)

象研究函数性质的过程.小涵根据己学知识对函数)=｛久2+4的图象与性质

(-钎+a,(x>0)

进行了探究，其探究过程中列表如下：

x…-3-2-10I234…

y3b-1-332Z3

3

(1)请写出a,6的值；

(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质;

(3)结合你所画的函数图象，直接写出y23时自变量x的取值范围.

【解答】解：(1)把x=l,y=3代入y==—+“得：3=7厂+小则a=-2；

把x=-2代入y=-2x-3得：b=-2X(-2)-3=1；

故答案为：a--21b—1；

(2)函数图象如图：

(3)由图象可知，当时自变量x的取值范围是xW-3或x=l或x24.

24.(10分)“创文工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创建全国文明城区工作已进入

关键阶段.我区某校拟整修学校食堂，现需在某地砖供应商处购买大小相同，材质不同

的A、8两种型号的防滑地砖共600块，且计划采购地砖的费用不超过32000元，已知A

型号地砖的售价是每块80元，B型号地砖的售价是每块40元.

(1)最多能购买A型号地砖多少块？

(2)为了支持我区创文工作，该地砖供应商将A型号地砖的售价降低4％,8型号地砖

的售价降低10%.由于该地砖供应商降低了售价，该校实际购买时，A型号地砖的购买

量在(1)中A型号地砖的最大购买量的基础上增加了2o%,8型号地砖的购买量相应减

少，这样，该校购买的600块A、B两种型号的防滑地砖的总费用比原计划的最高费用还

节省了10%,求a的值.

【解答】解：(1)设购买A型号地砖x块，

由题意得80x+40(600-x)<32000,

解得xW200,

答：最多能购买A型号地砖200块；

(2)由题意得，80(1-a%)»200(l+2a%)+40(1-10%)^600-200(l+2a%)J=32000

X90%,

整理得，a2-5a-500=0,

解得ai=25,“2=-20(舍去)，

答：a的值为25.

25.(10分)已知抛物线y=a/+6x+4(aWO)与x轴交于点A(-3,0)、B(2,0),与y

轴交于点C,直线y=mx+〃经过两点A、C.

(1)求a,b的值；

(2)如图1,点P在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形布BC的面积最大时，

求点P的坐标；

(3)如图2,将已知抛物线向左平移三个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物

2

线为y,若抛物线y与原抛物线的对称轴交于点。.点E是新抛物线v的对称轴上一动点，

在(2)的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标.

｛雷解得｛:二

:・a的值为—左b的值为一,；

由（1）知抛物线为y=-|/一|;什4,令尸0得y=4,

：.C(0,4),

1I

：.S^BOC=汐B・OC=1X2X4=4,

・・・四边形PABC的面积最大即是四边形以OC面积最大，

12021o

而S四边形BAOC=SZ\APO+S2\OPC=]x3义（一W‘+4）+]X4X（-/）=-r-3t+6=~

z3、2।33

（注2）2+不

Q

・•"=-[时，S四边形见oc最大，即四边形B43C的面积最大，

27

此时P（一？，一）；

22

=222d2,12.25

（3）y-QX-?r+4=一a（x+5）+~z~，

KJ。。4U

.•.原抛物线对称轴是直线x=-i,

将尸-G+1）2+刍句左平移:个单位，再向下平移2个单位得：y'=-l（x+1+b

oZO2

2+,一2=（X+1）2+挈，

636

在y'=-,（x+1）-+今■中令x=一^•得y，=2,

•，・Q2）,

而新抛物线产一|（九+1）2十卷的对称轴是直线尸-1,

设E（-1,机），由⑵知尸（一会-）；

・・・尸石2={（^_2）2,0七2=鼻（…2）12,尸^二冬

4Z44