新教材2024高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合分层演练新人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合6.2.3组合A级基础巩固1.以下四个问题,属于组合问题的是()A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列B.老师在排座次时,将甲、乙两名同学支配为同桌C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D.从13名司机中任选出两名各开一辆车来回甲、乙两地解析:从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与依次无关,是组合问题.答案:C2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的线段条数为()A.4B.6C.8D.10解析:如图.小于正方形边长的线段分别为OA,OB,OC,OD,共4条.答案:A3.A地至B地将开通高铁,共设有6个高铁站(包括A站和B站),则需设计不同票价的种类有(相同车站之间票价相同,不同车站之间票价不同)()A.12种B.15种C.20种D.30种解析:不同的车票种类有A6答案:B4.设集合A={a1,a2,a3,a4},则集合A中含有3个元素的子集共有4个.解析:从4个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集,分别为{a1,a2,a3},{a2,a3,a4},{a1,a3,a4},{a1,a2,a4},共4个.5.A,B,C,D四队女排邀请赛,通过单循环决出冠军、亚军.(1)列出全部各场竞赛的双方;(2)列出全部冠军、亚军的可能状况.解:(1)A—BA—CA—DB—CB—DC—D(2)冠军、亚军的可能状况如下表.冠军AAABBBCCCDDD亚军BCDACDABDABCB级拓展提高6.多选题下列几个问题属于组合问题的是()A.由1,2,3,4构成双元素集合B.5支球队进行单循环足球竞赛的分组状况C.将全班同学按身高排队D.由1,2,4组成无重复数字的两位数的方法解析:由集合元素的无序性可知A属于组合问题;因为每两支球队竞赛一次,没有依次问题,故B是组合问题;按身高排队是有依次的,故C是排列问题;D中组成的两位数与数字依次有关,是排列问题.答案:AB7.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的选取方案共有()A.10种B.15种C.4种D.5种解析:从5类元素中任选2类元素,它们相生的选取有火土,土金,金水,水木,木火,共5种.答案:D8.从2,3,5,7四个数字中任取两个不同的数字相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数字相除,有n个不同的商,则m∶n=1∶2.解析:由题意,知不同的积有m=6个,不同的商有n=A4则m∶n=1∶2.9.某届世界杯举办期间,共32支球队参与竞赛,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛1场,各组第一名、其次名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,每2支球队一组,每组竞赛一场,即八分之一淘汰赛、四分之一淘汰赛、半决赛、决赛,最终决出冠军、亚军,此外还要决出第三名、第四名.这届世界杯总共将进行多少场竞赛?解:可分为如下几类竞赛:(1)小组循环赛,每组有6场,8个小组共有48场竞赛;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一名、其次名组成16强,依据赛制规则,每2支球队一组,每组竞赛1场,可以决出8强,共有8场竞赛;(3)四分之一淘汰赛,依据赛制规则,8强中每2支球队一组,每组竞赛1场,可以决出4强,共有4场竞赛;(4)半决赛,依据赛制规则,4强中每2支球队一组,每组竞赛1场,可以决出2强,共有2场竞赛;(5)决赛,2强竞赛1场决出冠军、亚军,4强中的另2支球队竞赛1场决出第三名、第四名,共有2场竞赛.综上所述,由分类加法计数原理,知总共将进行48+8+4+2+2=64场竞赛.C级挑战创新10.在象棋竞赛中,参赛的随意两位选手都竞赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分,统计结果为131分,132分,133分,134分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有()A.11位B.12位C.13位D.14位解析:由题意,知“胜者得2分,负者得0分,平局各得1分”,所以每场竞赛都会产生2分,那么最终总分肯定为偶数,所以解除131和133,剩下132和134.假设有x位参赛选手,那么总共要进行的竞赛场数为x(x-1)2,假如132是正确的,那么x(x-1)=132,此方程的解为答案:B11.甲、乙、丙等6名学生参与职业技能竞赛,并依据成果进行排名(无并列).甲、乙、丙3名学生一同去询问成果,评委对甲说:“很缺憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不是最终两名.”对丙说:“你比甲和乙都好,但也不是冠军.”从这位评委的回答中分析,6名学生的名次状况共有()A.72种B.36C.96种D.48种解析:由题意,知甲、乙、丙都不是第1名且乙不是最终两名,丙比甲和乙都好,则丙只能是第2名或第3名.当丙是第2名时,乙只能是第3名或第4名