初中数学-相连问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《相连问题》

【教材分析】

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们

学习和生活中经常使用的思维方式。《相连问题》通过一个大问题”在连续的365天中，如

何选取相连的8天”引出学生对这一数学建模问题的探究，通过由特殊到一般，化大为小、

有序研究，建立数学模型，得到规律经历探索模型的全过程。模型思想的建立是学生体会和

理解数学与外部世界联系的基本途径。

【学情分析】

学生对于“规律”一词很难理解，理论的解释对一年级的学生来说是徒劳无功的，但生

活中却处处存在着规律，学生也时刻接触着规律，因而用孩子的眼睛看世界，从学生已有的

生活经验出发，让学生亲身经历将身边感兴趣的实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用

的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等方面得到进

步和发展。

【重难点分析】

重点：化大为小、有序研究、探究规律的过程。

难点：模型的探索和建立。

【课前准备环节】

师：课前咱们先来看这样一个有趣的问题：你能脱口算出它的答案吗？

11111111*11111111=?（学生猜想，很难脱口而出）

1*1=1

11*11=121

111*111=12321

1111*1111=1234321

11111111*11111111=123456787654321

学生同桌交流

【设计意图】引起学生的兴趣，并让学生初步感知“化大为小，有序研究，探究规律,

应用规律”的策略，为后面的运用做铺垫。

第一环节：【问题二经历探索规律，抽象建模的过程】

今年暑假共有60天，小明想在60天中选择相连的8天去上海旅游，共有多少种不同的

选法？

师：总共有多少天？选相连的几天？数字比较大！研究起来比较复杂。回顾刚才的那个

问题，当遇到复杂问题的时候，我们应该用什么探究方法来解决呢？

“化大为小”一一“有序研究”……

师：请你先独立思考，然后再以小组为单位交流一下，你研究这个问题的思路是什么？

可以固定总天数，相连数变化会怎么样；

也可以固定相连数，总天数化大为小进一步研究……

思路L先固定总天数60天，看相连2天有多少种选法？

看相连3天有多少种选法？

看相连4天有多少种选法？

思路2：固定相连天数8天，看总天数是8天有多少种？

看总天数是9天有多少种？

看总天数是10天有多少种？

师：根据大家的分析，不同的选法有多少种与哪几个量有关？

生：与总天数和相连天数有关。也就是有两个变量影响选法的种数。

有两个变量，因此先控制变量，让总天数或者相连天数中的一个成为定值，看看不同选

法的种数随另一个量的变化而变化的情况。

师：如果固定天数“总天数60天”，或者“相连天数8天”是不是都还是比较大？引例

的方法告诉我们在研究复杂问题的时候，我们往往从最特殊的值1、2、3……开始研究起。

也就是“总天数"和''相连数"都从最简单的“1、2、3……”研究起。

当相连天数n=l时，总天数为1,2,3,4……

当相连天数n=2时，总天数为2,3,4,5……

当相连天数n=3时，总天数为3,4,5,6……

当相连天数n=4时，总天数为4,5,6,7……

相连天数n=2（天）总天数m（天）不同选法（种）

12

123

1234

结论：相连天数n=2,总天数m,选法：种.

相连天数n=3（天）总天数m（天）不同选法（种）

123

12234

12345

结论：相连天数n=3,总天数m,选法：种.

相连天数n=4（天）总天数m（天）不同选法（种）

结论：相连天数n=4,总天数m,选法：种.

教师指导：

指导有序、不重复不遗漏的圈

发现有多少种选择的方法与与总天数、旅游相连的天数有关。

师：有多少种选择方法和哪几个量有关？

生：1、总天数--------总天数越多，选择方法越多。

2、相连天数-------相连天数越多，选择方法越少。

师生共同明确：影响选择的方法的变量有两个--------总天数和相连天数

学生得到的规律如果已经用字母表示出来，可以带入有序研究时枚举的特殊值来验证字

母表达式的正确性。

引导学生把前面的结论总结到表格中，特别注意相连天数是10的时候可选择的方

法写成M-（10-l）更利于得到最终结论：M-（N-l）

【设计意图】学生通过动手操作圈一圈了解相连问题解决的基本方法，发现与总天数、

相连的个数这两个变量有关。当问题变得复杂，并且有两个变量影响最终结果的时候，学生

可以选择固定一个变量，并且从最特殊的相连天数N=2、3……研究起，对特殊情况的研究

得到的结果，进行不完全归纳，找到一般性规律。体会从特殊到一般的模型搭建的过程。

总结:

相连天数总天数不同选法

2mm-1

3mm-2

4mm-3

.....................

10mm-(10-1)

.....................

nmm-(n-l)

【设计意图】让学生体会到在遇到复杂问题时，可以从简单问题入手，有序寻找规律。

在归纳推理的过程中，自觉调用有序列表、聚类分析比较等策略发现规律。

过渡语师：刚才我们研究了相连天数n=2,3,4……，总天数m,都求出了不同选择方法

的表达式，并找到了一般规律m-(n-l),这个规律对所有的情况都适用么？我们有没有更严

密的办法证明他的正确性？

【策略】证明方法1：总共有m天，选择其中相连n天去旅游

123456......m-n......m

I

n个相连

根据上图可知可选择的方法为m-n+L从而验证上面由大化小、有序研究得到的结果经

化简也是同一结果。

证明方法2：共m个数，选择其中相连的n个数，最后的n-1个数后面没有相连的数,

所以结果为m-(n-l).

总结语：1、对于不完全归纳的结果，可以用严密的方法进行证明，说明这个关系式是

正确的，它表示我们研究的这一类问题的通式，也就是建构了解决这个问题的数学模型是准

确无误的。

2、而且我们关注到：m,n共同影响选择方法的种数，在研究这类问题的时候我们经

常固定一个变量，看研究结果随另一个变量变化的情况。把不同的选法记作y,则丫=01«-1).

当m为定值，y可以可做n的一次函数；当n为定值，y可以看做m的一次函数。

【设计意图】对于不完全归纳的结果，可以用严密的方法进行证明，说明该探究得到的

模型是准确无误的。这个关系式表示我们研究的这一类问题的通式，也就是建构了解决这个

问题的数学模型。让学生体会模型建立的过程。

第二环节：模型应用【问题三运用一般模型，解决实际问题】

如果要从100天中选择相连的8日游，会有多少种不同的选择方法

学生直接运用结论解决问题。

2、三个好朋友看电影想坐在一起，现有15张连号票，想要买3张相邻的连号票，有多

少种买法？

变式：影院共有15张连号票，有.2名同学小胖和小巧要坐在一起，有多少种不同的坐

法？

【策略】师：1、2、3题虽然情境不同，但都是相连问题。

变式和前面有所不同，在于前面相连N天根据实际不可以交换顺序，这里小胖小巧同

学的坐法是可以交换顺序的，因此在应用模型时这种情况需要乘以2要特别注意。

【设计意图】在变式中丰富对规律的认识，体会虽然情境不同，内含的规律相同，思考

问题方法相同（让学生体会虽然问题情境不同，但其内含的规律，解决问题的策略相同）

师：过渡语通过上面借助一维横向表格圈数、化大为小、有序研究、得到规律、应用规

律的思路，还能提出怎样的问题？能不能将问题推广到二维，相应得到怎样的结论呢？

第三环节：模型的拓展与推广

拓展思考：浴室一面墙上要贴瓷砖，将这块花砖贴在这面墙最上面一行，有多少种不同

的贴法？如果把4块瓷砖组成的图案贴在这面墙的任意一个位置，有多少种贴法？

2、文化广场的一面墙是由长和宽为80X50块瓷砖组成的，若将该图案贴在这面墙上任

意一个位置有多少种不同的贴法?

【策略】1、仍然是应用前面提出的模型解决问题

2、“一维”拓展到“二维”图片既可以向右、又可以向下运动，因此每个节点上都有两

种走法向右或向下，因此要用乘法

3、有特殊到一般得到：设长有Ml个格子，宽有M2个格子，则贴法的选择有

(M1-N1+1)*(M2-N2+1)种

4、时间允许还可以应用这个模型解决一个类似问题，类比的方法。

总结：任意位置时：贴法总数=行的贴法总数*列的贴法总数，根据表达式发现原来一维

的模型已经拓展成“二维”的模型了。

【设计意图】促进方法结构的迁移。将相连问题从“一维”拓展到“二维”得到了更为

广泛的结论，使建立的模型更加完善。得到更一般性的模型和结论，通过学生的自主探究,

让学生再一次体会从特殊到一般的过程。

第四环节：感悟与收获

这堂课，你收获了什么？

教师提示:我们是通过怎样的过程得到“相连问题模型”？(引导学生回忆建模的过程)。

我们可以用“相连问题模型”来干什么呢？

第五环节：作业

将今天所学习的内容进行整理，并上网查找资料，写一篇关于今天所学内容的数学建模

小论文。

《相连问题》学情分析：

学生对于“规律”一词很难理解，理论的解释对一年级的学生来说是徒劳无

功的，但生活中却处处存在着规律，学生也时刻接触着规律，因而用孩子的眼睛

看世界，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将身边感兴趣的实际问题

抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，

在思维能力，情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

《相连问题》效果分析：

在本次活动中我深切体会到在日常教学中，把握课程标准、创新

课堂模式、提高教学水平以及亲身践行数学教育改革的重要性。同时,

感谢安老师给予这么宝贵的锻炼机会，在前期一次次磨课过程中，受

到了教研员陈老师和组内各位数学老师无私的帮助和支持，心中无限

感恩！无以为报，只能带着这份的温暖，在自己的教育教学道路上继

续前行，勤奋拼搏！

《相连问题》

【引例】

iliumxriniiii=

缝小1

【问题一】

今年有365天，小明想在365天中选择相连的8天去北京八日游，共有多少

种不同的选法?

相连天数n=2（天）总天数m（天）不同选法（种）

12

123

1234

123...........m.

结论：相连天数n=2,总天数m,选法：种.

相连天数n=3（天）总天数m（天）不同选法（种）

123

1234

12345

123…….....m.

结论：相连天数n=3,总天数m,选法：种.

相连天数n=4（天）总天数m（天）不同选法（种）

1234

12345

123456

123............m

结论：相连天数n=4,总天数m,选法：种.

相连天数n=5,6,7

总结梳理：

相连天数总天数不同选法

2m

3m

4m

.....................

10m

.....................

n

【问题二】

三个好朋友看电影想坐在一起，现在影院共有15张连号票，要选3张连号

票有多少种不同的买法？

变式：影院共有15张连号票，有2名同学小胖和小巧要坐在一起，有多少

种不同的坐法？

【拓展应用】

1、浴室的一面墙上要贴瓷砖。（1）将这块花砖贴在这面墙最上面一行，有多少

种不同的贴法呢？（2）若贴在这面墙上任意一个位置有多少种不同的贴法呢？

参加“第七届全国中小学数学建模教学研讨会”总结

《相连问题》课后反思

2016年12月10H-13日，我有幸参加了“第七届全国中小学

数学建模教学研讨会”.本次会议由中国教育学会数学教育研究发展

中心全国数学建模工作委员会主办，泰安市教研室承办.中国教育学

会副秘书长、首都师范大学教授方运加、中国教育学会全国数学建模

工作委员会会长秦荃田、各地市教研员都作了精彩的报告.来自全国

各地中小学校长、数学骨干教师及相关科研人员400多人参加了会

议.

本次研讨会分为专家报告、课标与教材解读、示范观摩课、经验

交流与论文评选四个环节.我要做一节课堂展示.我选择的课题是《相

连问题》.整个课堂教学分为三个环节，第一环节：引例揭示方法.

通过一个有趣的问题：11111111*11111111=?引出一种研究数学问题

的方法即化大为小、有序研究、寻找规律、应用规律解决问题.第二

环节：经历探索规律，抽象建模的过程.学生应用引例提供的方法，

经历对大问题”365天中选择相连8天去上海八日游，有几种安排出

行日期的方法”的研究，渗透“控制变量”、“由特殊到一般”、“由简

单到复杂”等研究数学问题的思想方法.通过不完全归纳得到选择方

法y=m+n-l（选择方法y,总天数m,相连天数n）之间的关系式即数学

模型，并理论证明它的正确性.第三环节：模型的应用及拓展.通过生

活中的实例“购买连号票”“学生连号票的位置的具体坐法”“贴瓷砖”

等问题，实现与第二