2024年中考数学复习讲义第26讲圆的相关概念及性质

第26讲圆的相关概念及性质目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一圆的相关概念题型01理解圆的相关概念题型02圆的周长与面积相关计算题型03圆中的角度计算题型04圆中线段长度的计算题型05求一点到圆上一点的距离最值考点二圆的性质题型01由垂径定理及推论判断正误题型02利用垂径定理求解题型03根据垂径定理与全等三角形综合求解题型04根据垂径定理与相似三角形综合求解题型05在坐标系中利用勾股定理求值或坐标题型06利用垂径定理求平行弦问题题型07利用垂径定理求同心圆问题题型08垂径定理在格点中的应用题型09利用垂径定理的推论求解题型10垂径定理的实际应用题型11利用垂径定理求取值范围题型12利用弧、弦、圆心角关系判断正误题型13利用弧、弦、圆心角关系求角度题型14利用弧、弦、圆心角关系求线段长题型15利用弧、弦、圆心角关系求周长题型16利用弧、弦、圆心角关系求面积题型17利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数题型18利用弧、弦、圆心角关系比较大小题型19利用弧、弦、圆心角关系求最值题型20利用弧、弦、圆心角关系证明题型21利用圆周角定理求解题型22利用圆周角定理推论求解题型23已知圆内接四边形求角度题型24利用圆的有关性质求值题型25利用圆的有关性质证明题型26利用圆的有关性质解决翻折问题题型27利用圆的有关性质解决最值问题题型28利用圆的有关性质求取值范围题型29利用圆的有关性质解决多结论问题题型30圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距题型31圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角考点要求新课标要求命题预测圆的相关概念①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念.了解等圆、等弧的概念.在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题.所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.圆的性质圆的对称性理解圆既是轴对称图形，也是中心对称图形.垂径定理及推论探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.弧、弦、圆心角的关系探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.圆周角定理及推论了解并证明圆周角定理及其推论.圆内接四边形的性质理解圆内接四边形的对角互补.考点一圆的相关概念定义内容补充说明圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆.以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O.由圆的定义可知，确定圆的两个条件①圆心，它确定圆的位置.②半径，它确定圆的大小.圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.弦连结圆上任意两点的线段叫做弦.①在一个圆上可以画无数条弦和直径.②直径是弦，但弦不一定是直径.③直径是最长的弦.直径经过圆心的弦叫做直径.弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：“”表示.以A,B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB①半圆是弧,但弧不一定是半圆.②弧有长度和度数,规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于180°.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧大于半圆的弧叫做优弧.劣弧小于半圆的弧叫做劣弧.同圆圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.②同圆或等圆的半径相同.等圆半径相等的圆叫做等圆.同心圆圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．圆内接四边形如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.题型01理解圆的相关概念【例1】（2023·广东湛江·统考二模）下列说法中，正确的是（

）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④弧分为优弧和劣弧．A．① B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根据菱形和矩形的判定方法、圆周角定理、弧的分类，逐项判断即可得出答案．【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故该选项错误；③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；④弧分为优弧、劣弧、半圆弧，故该项错误；综上可知，正确的有①，故选：A．【点拨】本题考查菱形、矩形的判定，圆周角定理，弧的分类，属于基础题，熟练掌握上述知识点是解题的关键．【变式1-1】（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D.圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．【变式1-2】（2021·河南南阳·校联考一模）下列关于圆的说法，正确的是（

）A．弦是直径，直径也是弦B．半圆是圆中最长的弧C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D．过三点可以作一个圆【答案】C【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．【详解】解：A.弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；B.半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；D.过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．【变式1-3】（2022·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④【答案】C【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．【点拨】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．题型02圆的周长与面积相关计算【例2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（

）

A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π【答案】D【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为O，连接OC，则大圆的半径为OC，小圆的半径为OB，

∴设小圆的半径为OB=r，大圆的半径OC=R，∵BC=400像素，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，在Rt△OBC中，OB∴R2∵S圆环∴S圆环故选：D．【点拨】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．【变式2-1】（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（

）A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定【答案】C【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根据圆周长公式，得图（1）中，需要2πD；图（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故选：C．【点拨】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．【变式2-2】（2021·河南南阳·校联考一模）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是．【答案】π﹣1【分析】根据阴影部分面积＝圆的面积﹣中间正方形的面积即可求得．【详解】解：∵“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，∴“外圆”的的半径为1，“内方”的边长为1，∴圆的面积为π，中间正方形的面积为1，∴图中阴影部分面积为：π﹣1．故答案为：π﹣1．【点拨】本题考查了圆的面积，明确阴影部分面积的组成是解决本题的关键．【变式2-3】（2022·山东济宁·统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的倍．（精确到个位）【答案】14【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可.【详解】解：如图由题意得AC与EF共线∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1∴EF：AC=3：1∴OE：OA=3：1设OE=3x，OA=x在正方形ABCD中由勾股定理得：AD=2x∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2正方形的面积为（2x）2=2x2∴9πx2÷2x2=9π故答案为：14【点拨】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解.【变式2-4】（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是．【答案】1：2：3：2【分析】设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，因而半径的比是1:2:3故答案为：1:2【点拨】本题主要考查了圆相似形时，解题的关键是：掌握面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．题型03圆中的角度计算【例3】（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．【详解】解：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故选：C．【点拨】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．【变式3-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【详解】如图：连接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故选D．【点拨】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．【变式3-2】（2022·河北廊坊·统考模拟预测）如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠A=25°，则∠D的度数为（

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，∴OA=OC，∴∠C=∠A=25°，∴∠AOD=∠C+∠A=50°，∵OA∥DE，∴∠D=∠AOD=50°，故选：C．【点拨】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大．【变式3-3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（

）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【分析】连接OD，根据CD=OA，OA=OD，设∠C=α，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得∠A=3α，根据三角形内角和定理即可求得【详解】解：如图，连接OD，∴OA=OD∴∠A=∠ODA∵CD=OA∴∠C=∠DOC设∠C=α，∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α在△AOC中，∠O=75°∴∠A+∠C=105°∴3α=105°∴α=35°∴∠A=2α=70°故选C【点拨】本题考查了圆的基本概念，等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．题型04圆中线段长度的计算【例4】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（

A．403 B．8 C．245 D【答案】C【分析】连接OE，证明OE∥【详解】解：连接OE，如图，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半径为3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE⋅AB故选：C．

【点拨】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式4-1】（2023·云南临沧·统考一模）已知AB=12，C.D是以AB为直径的⊙O上的任意两点，连接CD，且AB⊥CD，垂足为M，∠OCD=30°，则线段MB的长为．【答案】9【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到OM=12OC=3【详解】解：如图，∵AB⊥CD，∴OM=1∵AB=12，∴OC=OB=6，∴OM=3，∴MB=OM+OB=9，故答案为：9．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，含30度角的直角三角形的性质，正确求出OM=1【变式4-2】（2023·广东·统考一模）已知A.B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交OA、OB于点C.D．分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O【答案】6【分析】连接CD，根据作图得出OE垂直平分CD，根据等腰三角形的性质得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB【详解】解：连接CD，根据作图可知，OC=OD，OE垂直平分CD，∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠AOE=∠BOE=1即∠AOF=∠BOF=1∵AO=BO，∴OF⊥AB，∴∠AFO=90°，∴∠OAF=30°，∴OA=2OF=2×3=6cm故答案为：6．【点拨】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．题型05求一点到圆上一点的距离最值【例5】（2023·山东德州·统考三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（

）A．52 B．125 C．13-【答案】D【分析】证明∠AMD=90°，得出点M在O点为圆心，以A【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形ABCD为矩形∴∠BAP∵∠ADM=∠BAP∴∠MAD∴∠AMD∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵BO2∴B∴BO=∵BN=BO-AO=故选：D．【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．【变式5-1】（2021·山东临沂·统考模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC=90°，则A．5 B．6 C．8 D．13【答案】C【分析】如图，取AC中点O，连接DO．则点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD=OB-OD=OB-5为最短．所以BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即为BD的最小值．【详解】解：如图，取AC中点O，连接DO．∵∠ADC=90°，∴点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，且DO=1当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD=OB-OD=OB-5为最短．在RtΔOC=5，BC=12，则OB=12∴BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即BD的最小值是8．故选：C．【点拨】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理．【变式5-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（

）A．8 B．8.5 C．9 D．【答案】A【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得DE=12BP，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，【详解】解：如图，连接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，∴BD=CD=12，∵E是PC的中点，∴DE=1∴当BP最大时，DE最大，∵P是半径为3的⊙A上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A.B三点共线，∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值为13+3=16，∴DE的最大值为8．故选：A【点拨】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．【变式5-3】（2022·江苏徐州·统考二模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（

）A．322+1 B．32+2 C【答案】A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12=CD当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=32∴CD=32∴OM=12CD=322+1，即故选A【点拨】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．考点二圆的性质1.圆的对称性内容补充圆的轴对称性经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所没有的性质.②圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线.③圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出.圆的中心对称性将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.2.垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理模型（知二得三）如图，可得①垂径定理模型（知二得三）如图，可得①AB过圆心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．3.弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．4.圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=1推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°【解题思路】1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．11）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.5.圆内接四边形性质：1）圆内接四边形对角互补.2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.题型01由垂径定理及推论判断正误【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（

）

A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．AD【答案】B【分析】由于CD⊥AB,根据垂径定理有AE=BE,AD=BD,不能得出OE=DE,【详解】解：如图所示，∵CD⊥AB,∴AE=BE,AD=⊙O的半径都相等，那么AO=CO,不能得出OE=DE.故选:B.【点拨】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.【变式1-1】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，点F是⊙O直径AB上一个动点（不与点A，B重合），过点F作弦CD⊥AB，点E是AD上不与点D重合的一个动点，则下列结论中不一定正确的是（

）A．CF=DF B．ACC．∠BAC=∠BED D．∠ABC>∠BED【答案】D【分析】根据垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可．【详解】∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足为F，∴CF=DF，CB=DB，∴∠BAC=∠BED，∠CAB=∠BED，∴A.B.C正确；∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠BED+∠ABC=90°，但是不能确定∠ABC和∠BED的大小关系，∴∠ABC>∠BED不一定正确，故选：D．【点拨】本题考查圆的性质，垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理的运用．【变式1-2】（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° D【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，得CE=DE，BC⏜=BD⏜，进而得出△OCE为等腰直角三角形，进而得出∠OCE=45°，【详解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，BC⏜∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故选：B．【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键．题型02利用垂径定理求解【例2】（2023·广东佛山·校考一模）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接OB，由垂径定理可得BE=AE=8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB，∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，AB=16，∴BE=AE=1∴在Rt△OBE中，可有∴⊙O半径是10．故选：D．【点拨】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．【变式2-1】（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为22，则△AOC的面积为（）A．3 B．2 C．23 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出CE=12CD=12AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=22，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6，则【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，∴CE=12CD=12∴∠CAO=30°，∴∠ACE=60°，又∵OC=OA=22∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠OEC=30°，∴Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6则△AOC的面积为：S=1故选：C．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（

）A．4 B．23 C．3 D．【答案】B【分析】过点O作OM⊥BC，交BC于点M，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．【详解】解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，∵⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵OB=OC，OM⊥BC，∴∠COM=12∠BOC=60°∴在RtΔCOM中，∴OM=12OC=1∴BC=2CM=23故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．【变式2-3】（2022·浙江宁波·统考模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则A．25cm B．43cm C．25【答案】C【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；【详解】连接AC，AO，∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-AM∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM2当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中，AC=AM2故选C．【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．题型03根据垂径定理与全等三角形综合求解【例3】（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE=8，DB=2，则⊙O的半径为（

）A．6 B．5 C．42 D．【答案】B【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≅△CODAAS，推出CD=AT=4【详解】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T，设⊙O的半径为∵AC∴CT⊥AE，∴AT=TE=1在△AOT和△AOD中，∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠COD∴△AOT≅△CODAAS∴CD=AT=4，在Rt△COD中，OC∴r∴r=5，故选：B．【点拨】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．【变式3-1】（2020·湖北武汉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：ΔBFG≅ΔCDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)BF=23【分析】(1)根据点C为BD的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用AAS即可证得结论；(2)解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF=BD列出关于r的方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明RtΔAHC≅RtΔAEC，得AE=AH，再证明RtΔCDH≅RtΔCBEHL，得DH=BE=2，进而可得AE和AB的长，易证ΔBEC∼ΔBCA，列比例式可求得BC的长，也就是BF解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH=1，再证明ΔCOE≅ΔBOH，然后利用勾股定理即可求出结果．【详解】证明：(1)∵C是BD的中点，∴CD=∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC=∴CD=BF，∴在ΔBFG和ΔCDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC∴ΔBFG≅ΔCDGAAS(2)解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，RtΔADB中，BD2=ARtΔOEF中，OF2=O∵CD=BC=BF，∴BD∴BD即2r2解得：r=1(舍)或3，∴BF∴BF=23

解法二：如图，过C作CH⊥AD交AD延长线于点H，连接AC、BC，∵CD=BC，∴∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴RtΔAHC≅RtΔAEC，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴RtΔCDH≅RtΔCBEHL∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∵∠EBC=∠ABC，∴ΔBEC∼ΔBCA，∴BCAB∴BC∴BF=BC=23

解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是BD的中点，∴OC⊥BD，∴DH=BH，∵OA=OB，∴OH=1∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90∴ΔCOE≅ΔBOHAAS∴OH=OE=1，OC=OB=3，∴CE=EF=3∴BF=B

【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图AB为圆O的直径，AE为圆O的弦，C为O上一点，AC=CE，CD⊥AB，垂足为

(1)连接CO，判断CO与AE的位置关系，并证明；(2)若AE=8，BD=2，求圆O的半径；【答案】(1)CO⊥AE，证明见详解(2)5【分析】（1）CO⊥AE，理由如下：延长CO交AE于点G，连接OE，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；（2）由（1）中结论，CO⊥AE，AG=12AE=4【详解】（1）解：CO⊥AE，理由如下：延长CO交AE于点G，连接OE，

∵AC∴∠AOC=∠COE,∵∠AOG=180°-∠AOC,∠GOE=180°-∠EOC,∴∠AOG=∠GOE,∵OA=OE，∴CO⊥AE；（2）解：由（1）中结论，CO⊥AE，AG=∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,△AGO≌△CDO(AAS∴AG=CD=4，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，OC=r,在Rt△CDO中，CD解得：r=5，即⊙O的半径为5．

【点拨】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．题型04根据垂径定理与相似三角形综合求解【例4】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线与AB延长线交于点F，与CD延长线交于点G，若点P为FG中点，cosF=35，⊙O的半径长为3则CEA．75 B．85 C．32【答案】B【分析】连接OP，由切线的性质得OP⊥FG，证明ΔOPG∼ΔFEG得OPFE=PGEG=OGFG，∠POG=∠F，由cos∠F=35可进一步求出【详解】解：连接OP，如图，∵FG是圆的切线，点P是切点，∴OP⊥FG，即∠OPG=90°,又点E为AB的中点，且CD是直径，∴CD⊥AB，即∠GEF∴∠OPG=∠GEF=90°,又∠G=∠G,∴ΔOPG∼∴OPFE=PG∵cos∴cos∵OP=3,∴3∴OG=5,由勾股定理得，PG=O∵点P是FG的中点，∴FG=2PG=8,又OPFE∴PGOG=EG∴EG=32∴OE=EG-GO=32∴CE=OC-OE=3-7故选B．【点拨】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质等投放一款，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·四川泸州·校考一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．10【答案】A【分析】根据垂径定理求出AC的长，易证：△AEO∽△AFC，求出CF长，即可求解．【详解】解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝OA=5，∴AE＝AO∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴AOAC=EO∴FC=24∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝485＝9.6故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握应用垂径定理是解题的关键．【变式4-2】（2019·新疆阿克苏·模拟预测）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．详解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=BE∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OFBE=OC解得：OF=5．故选D．点拨：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．【变式4-3】（2023·河南周口·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．(1)过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD=2，PC=9，求PB的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）以B为圆心，小于OB的长为半径画弧，与直线AB有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点B的连线所在的直线交AC的延长线于点P；（2）由垂径定理得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，得AC=2OD=4，由圆周角定理得∠ACB=90°，根据切线的性质得∠PBA=90°，推出Rt【详解】（1）解：如图，PB为所作；（2）解：∵OD⊥BC，∴BD=CD，∵OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴AC=2OD=4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵PB为⊙O的切线，∴AB⊥PB，∴∠PBA=90°，∵∠BPC=∠APB，∴R∴PB:PA=PC:PB，即PB:4+9解得：PB=313即PB的长为313【点拨】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．题型05在坐标系中利用勾股定理求值或坐标【例5】（2021·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（

）

A．(9,2) B．(9,3) C．(10,2) D．(10,3)【答案】A【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．

【点拨】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．【变式5-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（）

A．64 B．48 C．32 D．24【答案】C【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂径定理，即可求得AD的长，继而求得AB的长，继而求得答案．【详解】解：过点P作PD⊥x轴于点D，在AB上方，PD与⊙P的交点即△ABM面积最大时动点的位置，连接PC，PA，

∵点P的坐标为(5,3)，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC=5，PD=3，∴PC=PA=5，在Rt△PAD中，AD=P∵PD⊥AB，∴AB=2AD=8，当点M位于(3,8)时，△ABM面积最大，最大值为：12故选C．【点拨】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【变式5-2】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M3,5为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A.C两点，则点B的坐标是【答案】(6,1)【分析】如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，结合已知条件，则可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，进而即可求得B的坐标．【详解】解：如图，连接BC，设圆与x轴相切于点D，连接MD交BC与点E，则MD⊥x轴，∵AB为直径，则∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC∥x轴，∵∴MB=MD=5，CE=EB=3，∴ME=MB2∴DE=MD-ME=5-4=1，∵BC∥x轴，∴B(6,1)．故答案为：(6,1)．【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．【变式5-3】（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A.B.C.D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【答案】【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB2＝4，FC＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），设P（2，m），则F（0，m），连接PC.PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，-1∴CF＝DF＝3-(-12)∴OD＝OF+DF＝12+7∴D（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．【点拨】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．【变式5-4】（2022·新疆昌吉·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B.C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为．【答案】6【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度．【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，则BH=CH，∴BC=2HB，∵⊙M与x轴相切于点A，∴MA⊥OA，∵圆心M的坐标是(4，5)，∴MA=5，MH=4，∴MB=MA=5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=M∴BC=2×3=6．故答案为：6．【点拨】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理的知识．解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．【变式5-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C

(1)求出A，B两点的坐标；(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2)y=-x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，根据C1,1，半径AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,-1，分别设出解析式代入点B的坐标求出解析式；（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y轴，确定点D在y轴上，根据【详解】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，∵C1,1，半径AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1-

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为1,3或1,-1，当抛物线的顶点P的坐标为1,3时，设抛物线的解析式为y=ax-1将点B1+3,0∴y=-x-1当抛物线的顶点P的坐标为1,-1时，设抛物线的解析式为y=ax-1将点B1+3,0∴y=1（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，∴PC∥OD且∵PC∥y∴点D在y轴上，当抛物线为y=-x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2满足y=-∴点D在抛物线上，存在D0,2使线段OP与CD当抛物线为y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,-3∵D0,-3不满足y=∴不存在D0,-3使线段OP与CD综上，存在D0,2使线段OP与CD【点拨】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，求二次函数的解析式，平行四边形的性质及判定，综合掌握各知识点是解题的关键．题型06利用垂径定理求平行弦问题【例6】（2023·山东泰安·统考二模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=4cm，CF=DF=3cm，则利用勾股定理可计算出OE=3cm，OF=4cm，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点【详解】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图

∵AB∥CD∴OF⊥CD∴AE=BE=在Rt△OAE中，在Rt△OCF当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1故选：C．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．【变式6-1】（2022·江苏宿迁·校联考一模）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD【答案】7或1．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．【详解】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，

过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E,F分别为CD.AB的中点，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，则EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．故答案为：7或1．【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．【变式6-2】（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①△PQF的面积为32；②EF=6；③PF=10，请你选择两个合适选项作为条件，求⊙O的半径，你选择的条件是【答案】(1)见解析(2)①②；①③；②③；半径为5【分析】（1）直接连接AF，BE交于点C，连接OC并延长交EF于点P，此点即为所求点．（2）连接OF，设半径为r，根据垂径定理和勾股定理即可得出答案．【详解】（1）如图所示，连接AF，BE交于点C，连接OC并延长交EF于点P．（2）第一种情况：选①②，如图所示，连接OF，设半径为r，由题意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，∵S∴12×3PQ=∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第二种情况：选①③，如图所示，连接OF，设半径为r，由题意可知：OP⊥EF，∵S∴QF⋅PQ=3，∵QF∴QF2+P∴QF+PQ=4，∵∠FPQ>45°，∴PQ<QF，由此解得PQ=1，QF=3，∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第三种情况：选②③，如图所示，连接OF，设半径为r，由题意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，PF=10∴PQ=P∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+【点拨】本题主要考查了垂径定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理相关内容，并能结合勾股定理灵活解题．题型07利用垂径定理求同心圆问题【例7】（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴A'D=∴A′B′=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8≤AB≤10．故选：A．【点拨】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．【变式7-1】（2022·四川绵阳·校考一模）如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【答案】A【分析】根据题意将小圆平移至与大圆共圆心处，再利用垂径定理及勾股定理求解即可．【详解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，故将⊙O2平移至⊙O1的圆心处，此时AB与小圆相切与点E，则阴影部分面积即为小圆外部和大圆内部环状部分的面积由切线的性质可得：OD⊥AB，则由垂径定理可得：EB=1在Rt△OEB中，由勾股定理可得：OBS⊙2=πOE∴S故选：A．【点拨】本题考查圆的切线性质，垂径定理及勾股定理等，灵活对图中两个圆进行平移构成同心圆进而求解是解题关键．【变式7-2】（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若AB=8，则圆环的面积是．【答案】16π【分析】如图，连接OA、OC，设OA=R，OC=r，由切线的性质得，OC⊥AB，由垂径定理得，AC=12AB=4，由勾股定理得，R【详解】如图，连接OA、OC，设OA=R，OC=r，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∵AB=8，∴AC=1在Rt△OCA中，R2∵S大圆=∴S故答案为：16π．【点拨】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及圆与圆环的面积计算，掌握圆的相关知识是解题的关键．题型08垂径定理在格点中的应用【例8】（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（

）A．3π4 B．π2 C．5π8【答案】D【分析】如图，作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB的中点,连接OA、OE、OC,由垂径定理可得AF=1【详解】解：如图，作AB、BC的垂直平分线，两线交于O，F为AB由垂径定理得：AF=12∴OA=∵∠ABC=90°∴AC是直径根据网格图形可知：AC=CD=32+∴AC∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，∴∠ECA=45°，∴AE所对的圆心角是90°，∴弧AE的长是90×2π×5故选：D．【点拨】本题主要考查了垂径定理、弧长公式等知识点，根据题意找到圆心是解答本题的关键．【变式8-1】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．

（1）AM=；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】13作图见解析；连接EF交CD于点G，连接OG交圆于点P，连接AP即可．【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解；（2）根据网格线的特点和垂径定理求解．【详解】解：（1）找出圆的圆心O，连接OA，根据勾股定理得：AO=2（2）AP即为所求；

连接EF交CD于点G，连接OG交圆于点P，连接AP即可．【点拨】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．【变式8-2】（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM【答案】210取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求．【详解】解：（1）AB=（2）如图所示，取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求．理由如下，

∵t∴∠MON=∠CAD∵∠ACD+∠CAD=90°∴∠MON+∠CAD=90°∴AC⊥OM，∴PM=【点拨】本题考查了勾股定理与网格问题，正切的定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式8-3】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A.B.C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中画出圆心O；(2)在图2中的圆上找一点E，使OE平分弧BC；(3)在图3中的圆上找一点F，使BF平分∠ABC．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）利用圆周角定理和两条直径的交点即为圆心O即可；（2）由（1）中方法找到圆心O，根据垂径定理的推论找到BC的中点即可求解；（3）先找到圆心O，根据圆周角定理知∠ABC=90°，利用垂径定理的推论，过O作垂直于AC的直径，交圆O于F，则∠AOF=∠COF=90°，由圆周角定理可得∠CBF=∠ABF=45°，即点F即为所求．【详解】（1）解：如图1，点O即为所求作；（2）解：如图2，点E即为所求作；（3）解：如图2，点F即为所求作．

【点拨】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键．题型09利用垂径定理的推论求解【例9】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是弧BE的中点，点B是弧CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则【详解】解：如图所示，连接OC，∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得∴CD=2CG=8，∵点C是BE的中点，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故选D．

【点拨】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式9-1】（2022·四川资阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C.D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（

）A．34° B．36° C．37° D．38°【答案】D【分析】根据垂径定理的推论可得CD⊥AB，进而求得∠COB=76°，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC＝BD，AB是⊙O的直径，∴CD⊥AB.∵∠OCD＝14°，∴∠COB=76°∵∴∠CDB=故选D【点拨】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．【变式9-2】（2023·四川巴中·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD的度数为（

）A．14° B．28° C．56° D．无法确定【答案】B【分析】连接BC，根据CD⊥AB，AB为⊙O的直径，得到AC=【详解】如图，连接BC，∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴AC=∴∠CEA=∠DBA=∠CBA=28°，故选B．【点拨】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．题型10垂径定理的实际应用【例10】（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48A．8cm B．10cm C．【答案】C【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为52cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度DE的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：AD=1∵⊙O的直径为52∴OA=OE=26在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE-OD=26-10=16∴水的最大深度为16故选：C．【点拨】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．【变式10-1】（2023·福建南平·统考一模）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则这根圆柱形木材的直径是（

）A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸【答案】D【分析】延长DE，交⊙O于点E，连接OA，由题意知DE过点O，且OD⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OD=r，则OE=r-1【详解】解：延长DE，交⊙O于点E，连接OA，由题意知DE过点O，且OD⊥AB，∵OD为⊙O半径，∴AE=BE=12AB=设半径OA=OD=r，∵DE=1，∴OE=r-1在Rtr-1解得：r=13，∴木材直径为26寸；故选：D．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．【变式10-2】（2023·北京西城·统考一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m,【答案】1.3【分析】运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．【详解】如图，设圆心为点E，洞高为DB=2.5m，入口宽为AC=1根据题意，得EB=2.5-x根据勾股定理，得x2解得x=1.3，故答案为：1.3．【点拨】本题考查了圆的性质，垂径定理，用勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．【变式10-3】（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2【答案】(1)25(2)y=-(3)此时桥A的水面宽度为821m，桥B【分析】（1）设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，则OB⊥AC，AD=CD=20m，再设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=r（2）以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，则N5,0（3）根据（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的长，再利用垂径定理即可得此时桥A的水面宽度；根据（【详解】（1）解：如图，设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，

由垂径定理得：点O,D,B共线，则OB⊥AC，AD=CD=1设这条桥主桥拱的半径是rm，则∴OD=OB-BD=r-10在Rt△AOD中，AD解得r=25，故答案为：25．（2）解：如图，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，

由题意得：N5,0则设桥拱抛物线的解析式为y=ax将点N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以桥拱抛物线的解析式为y=-4（3）解：如图，桥A中，由（1）可知：OF=25m

由题意得：OB⊥FG,DE=2∴OE=17在Rt△EOF中，由垂径定理得：FG=2EF=821即此时桥A的水面宽度为821如图，桥B中，y=-4

当y=2时，-4解得x=522所以此时桥B的水面宽度为52答：此时桥A的水面宽度为821m，桥B的水面宽度为【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．【变式10-4】（2022·上海奉贤·统考二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A,B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A.B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm．(2)手机的宽度为8cm．【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,由OD⊥AB,先求解OD,从而可得答案；（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明AE=CD=BF=AB,设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,则OD=2x-5,再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,∴OA=5,∵CD⊥AB,即OD⊥AB,∴AD=BD=3,∴OD=5∴CD=OC+OD=9.所以此时支撑杆CD的高度为9cm．（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,∴四边形AEFB为正方形，∵CD⊥EF,∴AE=CD=BF=AB,∵CD⊥AB,∴设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,∵OA=OC=5,∴OD=2x-5,由勾股定理可得：52解得x1经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,AB=8（cm），即手机的宽