概率的基本性质-高一数学下学期人教A版2019必修第二册

10.1.4概率的基本性质1.事件的关系与运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生B一定发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生复习引入对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．2.古典概型的特征是什么？(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.3.古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率一般而言,给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.思考1:你认为可以从哪些角度研究概率的性质?探究：概率的基本性质下面我们从定义出发，研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等.由概率的定义可知:任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.一般地，概率有如下性质:性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(Ø)=0.思考２：在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢?设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系?我们用例6来探究.例6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”．分析：事件R=“两次都摸到红球”与事件G=“两次都摸到绿球”互斥，R∪G=“两次摸到的球颜色相同”．试验的样本空间

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；R∪G={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，课本232页一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B)，这等价于P(A∪B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式：性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质3的推论如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).分析：因为事件A与事件B互为对立事件，所以事件A与事件B互斥(A∩B=Ø)，事件A∪B为必然事件(A∪B=Ω)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A∪B)＝1，所以有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1．思考3：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系?性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).因为n(A)≤n(B)，所以

一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即只要事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．于是我们有概率的单调性：思考4：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？即性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质5的推论：对于任意事件A，0≤P(A)≤1.思考2：对于任意事件A，P(A)的取值范围是什么？因为Ø⊆A⊆Ω，所以P(Ø)≤P(A)≤P(Ω)，即0≤P(A)≤1.思考５：在例6的摸球试验中,R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2)？例6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”．分析：

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；因为n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，因为n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，即事件不是互斥的.性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).显然，性质3是性质6的特殊情况．当A，B互斥时，P(A∩B)＝P(Ø)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－0＝P(A)＋P(B)．性质1

对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即

P(Ω)=1，P(Ø)=0；性质3

如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4

事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；性质6

设A，B是一个试验中的两个事件，我们有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．性质5

如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；对于任意事件A，0≤P(A)≤1；归纳总结练习1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)=

，P(AB)=

.

(2)A，B互斥，那么P(A∪B)=

，P(AB)=

.

解析：

(1)因为B⊆A，所以P（A∪B）=P（A）=0.5，P（AB）=

P（B）=0.3．(2)因为A，B互斥，所以P（A∪B）=

P（A）+P（B）=0.5+0.3=0.8，由于A，B互斥，所以A，B不能同时发生，即P（AB）=0．答案：(1)0.5；0.3(2)0.8；0课本242页2.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；(2)如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.

解：(1)因为明天下雨与明天不下雨是对立事件，且明天下雨的概率为0.4，所以明天不下雨的概率为0.6．(2)当事件A与事件B互斥且不对立时，P(A)+P(B)＜1；当事件A与事件B对立时，P(A)

+P(B)=

1．所以“如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=

1”，这句表述是错误的．课本242页解：（1）因为C=A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=

（2）因为C与D是互斥事件，又因为C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1－P(C)=

例题例1：从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=，那么(1)C=“抽到红花色”，求P(C)；(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).课本241页练习课本243页例2：为了推广一种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?解法１：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件AlA2=“两罐都中奖”，

=“第一罐中奖,第二罐不中奖”,=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪∪.因为A1A2，，两两互斥，所以P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).课本241页第一罐第二罐可能结果不中奖中奖中奖不中奖中奖不中奖我们借助树状图来求相应事件的样本点数.P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).可以得到，n(Ω)=6×5=30，且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2，n()=8，n()=8，所以P(A)=241423树状图法例2：为了推广一种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?解法２：事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”.由于

=“两罐都不中奖”，而n(

)=4×3=12，正难则反此解法说明什么？所以课本241页解法３：设不中奖的4罐记为1，2，3，4，中奖的2罐记为a，b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(4，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，a)，而能中奖的样本点数为18个，所求概率P（A）=

例2：为了推广一种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?列表法课本241页例2：为了推广一种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?解法4：前推法课本241页袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为4,5.从这五张卡片中任取两张，如果五张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率：(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；练习解：从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10个样本点.A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，共有6个样本点，前推法(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；解:B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)}，共有6个样本点，(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”.解:C＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)}，共有3个样本点，从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10个样本点.(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”.解：由题意得，事件D与事件B是对立事件，从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有10个样本点.解析：设事件A={甲获胜}，B={和棋}，C={乙获胜}，D={甲不输}.事件A是“B∪C”的对立事件，因为“事件B”与“事件C”是互斥事件，所以甲获胜的概率为：P(A)=1－P(B∪C)=1－(0.5+0.3)=0.2.随堂检测事件D=A∪B,因为“事件A”与”事件B”是互斥事件，由概率的加法公式得：P(D)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7.答案：0.2，0.7解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，3.备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率.(2)至少命中8环的概率.(3)命中不足8环的概率.解：设Ak＝“射击一次，命中k环”(k＝7，8，9，10).(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设B＝“至少命中8环”.B＝A8∪A9∪A10.又A8，A9，A10两两互斥，故P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)设C＝“命中不足8环”.则事件C与事件B是对立事件.所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.4.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？解：把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的样本点为：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)共6个；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的样本