2025届新高考数学冲刺复习：立体几何

2025届新高考数学冲刺复习立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积、截面与交线——小题备考微专题1空间几何体的表面积和体积常考常用结论

1．柱体、锥体、台体的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积

S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．2．柱体、锥体的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

答案：C

答案：B

答案：D

答案：AC(2)如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，则四面体B­B1DE的体积为________．

技法领悟1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求空间几何体的体积，还常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．技法领悟1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求空间几何体的体积，还常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．

答案：B

答案：D

答案：B

答案：C

3．[2023·湖南常德二模]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M­ABD的外接球体积为36π，则正方体棱长为________．4

答案：D

答案：B

技法领悟1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．

答案：D

8π

微专题3立体几何中的截面与交线问题常考常用结论

正方体的基本截面如下．正方体的截面不会出现以下图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．

答案：A

答案：C

3.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M，N，P分别为棱AA1，CC1，AD的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为________．

答案：ABD

技法领悟1．找截面和交线的一般方法：(1)直接连接法(2)作平行线法(3)作延长线找交点法2．作截面的关键在于确定截点．通过位于多面体同一表面上的两个不同截点即可连接成截线，从而得到截面．

答案：D

(2)[2023·河南许昌实验中学二模]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为(

)A．2πB．3πC．4πD．8π答案：C

1.如图，正方体中，E、F分别是AA1、CC1的中点，则与直线A1D1、EF、DC都相交的直线(

)A．有且仅有一条

B．有且仅有两条C．有且仅有三条

D．无数条答案：D解析：在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC有且仅有1个交点H，当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点H，而直线MH与这3条异面直线都有交点，故在空间中与三条直线A1D1、EF、DC都相交的直线有无数条．故选D.2．[2023·山东日照三模]已知直线a⊥平面α，则“直线a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若“直线a∥平面β”成立，设l⊂β，且l∥a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l⊂β，所以“平面α⊥平面β”成立；若“平面α⊥平面β”成立，且直线a⊥平面α，可推出a∥平面β或a⊂平面β，所以“直线a∥平面β”不一定成立．综上，“直线a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件．故选A.

答案：C

答案：D

(2)[2023·山东东营一中二模]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(

)A．有且仅有1条

B．有且仅有2条C．有且仅有3条

D．有无数条答案：D

解析：如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE，因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条．故选D.技法领悟1．根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．[巩固训练1]

(1)[2023·河南安阳模拟]如图，ABCDEF­A1B1C1D1E1F1是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线A1B1不垂直的是(

)A．AE

B．A1E

C．BD1

D．E1F

答案：D(2)[2022·全国乙卷]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

答案：C

答案：D

3．[2023·辽宁丹东二模]如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面所成角的余弦值为________．

答案：B

答案：A

技法领悟1．用几何法求空间角时，关键要找出空间角，再在三角形中求解．2．用向量法求空间角时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系．

答案：B

答案：C

答案：B

答案：A

答案：B

答案：C

技法领悟1．用几何法求空间距离时，一般采用等体积法．2．用向量法求空间距离时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系．

答案：D

答案：C

第三讲空间向量与立体几何——大题备考

立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．微专题1线面角如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2.(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．

2.[2023·河南安阳二模]在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，AB＝4，EF∥CD，EF＝2，CF＝4，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G.(1)求证：平面ACE⊥平面BED；

(2)求直线BD与平面ABFE所成的角的正弦值．

1.[2023·山东聊城三模]如图，三棱台ABC­DEF中，AB＝2DE，M是EF的中点，点N在线段AB上，AB＝4AN，平面DMN∩平面ADFC＝l.(1)证明：MN∥l；

(2)若平面CBEF⊥平面ABC，AC⊥AB，AC＝CF＝FE＝EB，求直线AB与平面DMN所成角的正弦值．

技法领悟

(2)求二面角A­PC­B的大小．

2．[2023·新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；

(2)点P在棱BB1上，当二面角P­A2C2­D2为150°时，求B2P.

(2)若BD与平面ACD所成的角为60°，求二面角D­AC­B的余弦值．

技法领悟利用空间向量求二面角的答题模板

微专题3空间距离

[2023·江西鹰潭模拟]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D为AB1的中点，CB1交BC1于点E.(1)证明：CB1⊥C1D；

(2)求点E到平面B1C1D的距离．

5.[2023·河北石家庄二中模拟]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CA⊥CB，侧面AA1B1B为菱形，△AB1C为等边三角形．(1)求