2025届江苏省南京市东山外国语学校九上数学期末统考试题含解析

2025届江苏省南京市东山外国语学校九上数学期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．2．的相反数是（）A． B．2 C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．3 C．5 D．1或54．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（）A． B． C． D．5．若，则的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a+b＜0 B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．ab＞07．如图，在中，已知点在上，点在上，，，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．8．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点DC．点M D．点N9．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（）（单位：度）…100250400500…（单位：米）…1.000.400.250.20…A．y=x B．y= C．y=﹣x+ D．y=10．下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币正面向上 B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃C．今天太阳从西边升起 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知_______12．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为_____．13．如图，AB是⊙C的直径，点C、D在⊙C上，若∠ACD＝33°，则∠BOD＝_____．14．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．15．如图，在菱形ABCD中，∠B=60º，E是CD上一点，将△ADE折叠，折痕为AE，点D的对应点为点D’，AD’与BC交于点F，若F为BC中点，则∠AED=______.16．分解因式：__________．17．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则cosα＝_____．18．反比例函数y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________．三、解答题(共66分)19．（10分）在平面直角坐标系xoy中，点A(-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．20．（6分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x－1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于点C，过点C的直线y＝2x＋b交x轴于点D，且⊙P的半径为，AB＝4.(1)求点B，P，C的坐标；(2)求证：CD是⊙P的切线．22．（8分）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为.例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，，所以.（1）计算：，；（2）小明在计算时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；（3）若，都是“相异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，求的最大值.23．（8分）如图，在中，平分交于点，于点，交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，，，求的长．24．（8分）作出函数y＝2x2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）列表：x……y……（2）在下面给出的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，描出列表中的各点，并画出函数y＝2x2的图象：（3）观察所画函数的图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（直接写出结论）．25．（10分）如图，已知点A（a，3）是一次函数y1＝x+1与反比例函数y2＝的图象的交点．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）求点A与两坐标轴围成的矩形OBAC的面积．26．（10分）已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，故选C．2、B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.3、D【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选D．【点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．4、C【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积．【详解】如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S=S=1，∴|k|=S=S+S=2，∴k=2或k=−2.又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=2.则反比函数解析式为.故选C.【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.5、B【分析】根据比例的性质,可用x表示y、z,根据分式的性质,可得答案.【详解】设=k,则x=2k,y=7k,z=5k代入原式原式==故答案为:2.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是利用比例的性质,化简求值.6、A【分析】根据数轴判断出a、b的符号和取值范围，逐项判断即可．【详解】解：从图上可以看出，b＜﹣1＜0，0＜a＜1，∴a+b＜0，故选项A符合题意，选项B不合题意；a﹣b＞0，故选项C不合题意；ab＜0，故选项D不合题意．故选：A．【知识点】本题考查了数轴、有理数的加法、减法、乘法，根据数轴判断出a、b的符号，熟知有理数的运算法则是解题关键．7、B【分析】由，得∠CMN=∠CNM，从而得∠AMB=∠∠ANC，结合，即可得到结论.【详解】∵，∴∠CMN=∠CNM，∴180°-∠CMN=180°-∠CNM，即：∠AMB=∠∠ANC，∵，∴，故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握“对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.8、A【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选A．考点：位似变换．9、B【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解；【详解】根据表格数据可得，100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100，所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，所以y关于x的函数关系式是y=．故选：B．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如（k≠0）．10、D【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、抛掷一枚硬币正面向上，是随机事件，故本选项错误；

B、从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃，是随机事件．故本选项错误；

C、今天太阳从西边升起，是不可能事件，故本选项错误；

D、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服，是必然事件，故本选项正确．

故选：D．【点睛】本题考查了事件发生的可能性，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题(每小题3分,共24分)11、2【分析】设，分别用k表示x、y、z，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设，∴，，，∴；故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k来表示x、y、z.12、13【分析】利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.【详解】解：∵，∴，∴，，∵，∴不符合题意，舍去；∴三角形的周长为：；故答案为：13.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.13、114°．【分析】利用圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝33°，∴∠AOD＝66°，∴∠BOD＝180°﹣66°＝114°，故答案为114°．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理.14、．【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．【详解】解：连接AE，∵，，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积是：，故答案为．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15、75º【分析】如图（见解析），连接AC，易证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得.【详解】如图，连接AC在菱形ABCD中，是等边三角形F为BC中点（等腰三角形三线合一的性质），即（两直线平行，同旁内角互补）又由折叠的性质得：在中，由三角形的内角和定理得：故答案为：.【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键.16、【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．故答案为（a+3）（a-3）．考点：因式分解-运用公式法．17、【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求cosα的值．【详解】∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋（7＋AC）2＝132，整理得，AC2＋7AC−60＝0，解得AC＝5，AC＝−12（舍去），∴BC＝＝12，∴cosα＝=故填：.【点睛】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．18、没有实数根【解析】分析：由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出1xy＞11，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．详解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，∴a+4＞0，∴a＞-4，∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于11，∴1xy＞11，即a+4＞6，a＞1∴a＞1．∴△=（-1）1-4（a-1）×=1-a＜0，∴关于x的方程（a-1）x1-x+=0没有实数根．故答案为：没有实数根．点睛：此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D(,)；（2）-4≤t＜-2或0＜t≤1．【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）由抛物线解析式，求出顶点C的坐标，从而求出直线BC解析式，设D(d,-2d+4)，根据已知可知AD=AB=6时，△ABC∽△BAD，从而列出关于d的方程，解方程即可求解；（2）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．【详解】（1）∵点A的坐标为（-4，-2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（2，-2）．∵抛物线y＝-x2+bx＋c过点，∴,解得∴抛物线表达式为y＝-x2-2x＋6（2）存在.如图由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，∴C(-1,7)设直线BC解析式为y＝kx＋b∴解之得，∴lBC：y＝-2x＋4设D(d,-2d+4)，∵在△ABC中AC=BC∴当且仅当AD=AB=6时，两三角形相似即(-4-d)2+(-2+2d-4)2=26时，△ABC∽△BAD，解之得，d1=、d2=2(舍去)∴存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似，此时点D(,)；（2）如图：抛物线y＝-x2+bx＋c顶点在直线上∴抛物线顶点坐标为∴抛物线表达式可化为．把代入表达式可得解得．又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴-4≤t＜-2．把代入表达式可得．解得，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤1．综上可知的取值范围时-4≤t＜-2或0＜t≤1．【点睛】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形相似，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）假设△ABC∽△BAD，列出关于d的方程，（2）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．20、（1）y＝﹣x1+x+1；（1）①m＝；②存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为【分析】（1）由题意利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（1）①由题意分别用含m的代数式表示出点P，E的纵坐标，再用含m的代数式表示出PE的长，运用函数的思想即可求出其最大值；②根据题意对以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况进行讨论与分析求解.【详解】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，1）代入y＝﹣x1+bx+c，得：，解得：b=1,c=1∴抛物线的解析式为y＝﹣x1+x+1．（1）①∵直线y＝x-1与y轴交于点C，与x轴交于点D，∴点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（1，0），∴0＜m＜1．∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，﹣m1+m+1），点E的坐标为（m，m+3），∴PE＝﹣m1+m+1﹣（m+3）＝﹣m1+m+3＝﹣（m﹣）1+．∵﹣1＜0，0＜＜1，∴当m＝时，PE最长．②由①可知，点P的坐标为（，）．以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD为对角线，点Q的坐标为；②以PC为对角线，点Q的坐标为；③以CD为对角线，点Q的坐标为．综上所述：在（1）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为.【点睛】本题考查二次函数图像的综合问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式、函数的思想求最大值以及平行四边形的性质及平移规律等知识．21、（1）C(－2，2)；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）Rt△OBP中，由勾股定理得到OP的长，连接AC，因为BC是直径，所以∠BAC=90°，因为OP是△ABC的中位线，所以OA=2，AC=2，即可求解；（2）由点C的坐标可得直线CD的解析式，则可求点D的坐标，从而可用SAS证△DAC≌△POB，进而证∠ACB=90°.试题解析：(1)解：如图，连接CA.∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2.∵OP2＋BO2＝BP2，∴OP2＝5－4＝1，OP＝1.∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°.∵CP＝BP，OB＝OA，∴AC＝2OP＝2.∴B(2，0)，P(0，1)，C(－2，2)．(2)证明：∵直线y＝2x＋b过C点，∴b＝6.∴y＝2x＋6.∵当y＝0时，x＝－3，∴D(－3，0)．∴AD＝1.∵OB＝AC＝2，AD＝OP＝1，∠CAD＝∠POB＝90°，∴△DAC≌△POB.∴∠DCA＝∠ABC.∵∠ACB＋∠CBA＝90°，∴∠DCA＋∠ACB＝90°，即CD⊥BC.∴CD是⊙P的切线．22、（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）.【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求解；（2）设的三个数位数字分别为，，，根据“相异数”的定义列出即可求解；（3）根据，都是“相异数”，得到，，根据求出x，y的值即可求解.【详解】（1）；.（2）猜想正确.设的三个数位数字分别为，，，即，.因为，，均为正整数，所以任意为正整数.（3）∵，都是“相异数”，∴；.∵，∴，∴，∵，，且，都是正整数，∴或或或，∵是“相异数”，∴；∵是“相异数”，∴，∴满足条件的有，或，或，∴或或，∴的最大值为.【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．23、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，证明与平行且相等，可得四边形是平行四边形，再说明，于是得出结论；（2）过点作于点，由菱形的性质和等边三