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文档简介
人教版八年级上册数学课堂作业同步期中复习:
全等三角形训练(二)
1.把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形以。为顶点作
交边/C、8c于例、N.
(1)若N/C0=3O°,ZMDN=60°,当/"ON绕点。旋转时,AM.MN、BN三
条线段之间有何种数量关系?证明你的结论;
(2)当LAC8乙MDN=9C°时,AM.MN、6N三条线段之间有何数量关系?证明
你的结论;
(3)如图③,在(2)的结论下,若将"、"改在C4、8c的延长线上,完成图3,其
余条件不变,则4用、MN、8A/之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)
2.探究
问题1已知:如图1,三角形中,点。是边的中点,AELBC,BFLAC,垂
足分别为点E,F,AE,8尸交于点M,连接DE,DF.若DE=kDF,则左的值为.
拓展
问题2已知:如图2,三角形48C中,CB=CA,点。是力8边的中点,点M在三角
形48。的内部,且/版4C=N例8C,过点例分别作用£L8C,MFA.AC,垂足分别
为点£F,连接。£DF.求证:DE=DF.
推广
问题3如图3,若将上面问题2中的条件UCB=CAn变为"CB#CA",其他条件不
变,试探究上与。尸之间的数量关系,并证明你的结论.
3.如图,已知△X8C中,/8=/lC=12厘米,8c=9厘米,点。为的中点.
(1)如果点Q在线段6c上以3厘米/秒的速度由6向。点运动,同时点Q在线段C4
上由C点向/点运动.
①若点Q的运动速度与点户的运动速度相等,1秒钟时,48叨与△CQQ是否全等,
请说明;
②点。的运动速度与点尸的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△
BPD^/\CPGT>
(2)若点Q以②的运动速度从点C出发点,户以原来运动速度从点8同时出发,都逆
时针沿/8C的三边运动,求多长时间点尸与点。第一次在△/SC的哪条边上相遇?
A
D/\
BP
4.(1)已知,如图①,在△S8C中,/MC=90°,AB=AC,直线m经过点4BD
,直线m,CEL直线m,垂足分别为点。、E,求证:DE=B8CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△48C中,AB=AC,D、/、万三点都在直线
m上,并且有N6以=ZAEC=ZBAC=a,其中。为任意钝角,请问结论DE=BD^CE
是否成立?若成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由.
5.如图(1),△48C中,BC=AC,4CDE中、CE=CD,现把两个三角形的。点重合,
且使连接AD.求证:BE=AD.
若将绕点C旋转至图(2),(3)所示的情况时,其余条件不变,8E与“。还
相等吗?利用图(3)说明理由.
工
B(1)CB(2)CB(3)CD
6.如图,CA=CB,CD=CE,ZACB-ZDCE=a,AD、8E交于点H,连CH.
(1)求证:4ACD^4BCE、
(2)求证:CH平分乙AHE;
(3)求NC隹的度数.(用含a的式子表示)
AC.
7.如图,将两个全等的直角三角形△/8以拼在一起(图1).不动,
B©EDB
(1)若将△力片绕点片逆时针旋转,连接。£从是。5的中点,连接用8、(图
2),证明:MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,NC4E不变,连接。£例是。万的中点,连接用8、
例C(图3),判断并直接写出的数量关系.
(3)在(2)中,若NC4E的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB、
的数量关系还成立吗?说明理由.
8.如图,已知6(-1,0),C(1,0),/为)/轴正半轴上一点,点。为第二象限一动
点,F在6。的延长线上,CD交AB于F,且N8OC=N8/IC.
(1)求证:AABD=AACD-,
(2)求证:4。平分NC0E
(3)若在。点运动的过程中,始终有。C=04+08,在此过程中,NMC的度数是否
变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出N&4c的度数?
9.如图:在△48C中,^ACB=9Q°,AC=BC,过点C在△S8C外作直线例/V,AM
_LMN于M,BNLMN=^N.
(1)求证:MN=AM+BN.
(2)若过点C在△48C内作直线/WN,/VKLM/V于例,BNLMN干N,贝ij/何、BN
与例M之间有什么关系?请说明理由.
10.如图1所示,在△S8C中,AB=AC,N94C=90°,点。为射线8C上一动点,连
接AD,以5。为直角边,工为直角顶点,在4。左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF.
(1)当点。在线段8c上时(不与点8重合),线段C尸和8。的数量关系与位置关系
分别是什么?请给予证明.
(2)当点。在线段8c的延长线上时,(1)的结论是否仍然成立?请在图2中画出相
应的图形,并说明理由.
11.已知:如图1,点力是线段。回上一点,NMC=90°,AB=AC,BDLDE,CEL
DE,
(1)求证:DE=BACE.
(2)如果是如图2这个图形,我们能得到什么结论?并证明.
12.(1)如图1,乙MAN=90°,射线/IE在这个角的内部,点8、C分别在/例/IN的
边AM.AN上,且AB=AC,C尸1/万于点F,6O1/IE于点D.求证:XABD^XCAF、
(2)如图2,点6、C分别在N/W/IN的边AM、/W上,点6厂都在NW/V内部的射
线片。上,ZRN2分别是A/IS公2X04厂的外角.已知/I8=ZC,且N1=/2=N
BAC.求证:XABEXCAF、,
(3)如图3,在△48C中,AB^AC,8C.点。在边8c上,8=28。,点6
尸在线段5。上,Z1=ABAC.若△Z8C的面积为15,求尸与△8OE的面
积之和.
图①图②图③
13.把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由•如图,点从°在线段上,BC
IIEF,AD=BE,BC=EF,试说明:(1)NC=N尸;(2)ACIIDF.
解:⑴■.•力。=8三(已知)
:.Al>DB=DB+BE()
BPAB=DE
■:BCIIEF(已知)
••.ZABC=Z()
又■「8C=&(已知)
:.4AB84DEF()
ZC=ZA,AA=AFDE()
.-.ACIIDF()
14.如图,点F在△/8C外部,点。在8c边上,OF交/IC于点尸,若Nl=N2=/3,
AC=AE.求证:
(1)△ABgXADE、
(2)AB=AD.
15.在△/SC中,58=/C,点。是射线C8上的一动点(不与点8、C重合),以
为一边在AD的右侧作使AD=AE,/DAE=ZBAC,连接CE.
(1)如图1,当点。在线段。8上,且/必。=90°时,那么/。6=度;
(2)设NMC=a,(DCE=&
①如图2,当点。在线段C8上,/84c片90°时,请你探究。与B之间的数量关系,
并证明你的结论;
②如图3,当点。在线段C8的延长线上,N8ZCK90°时,请将图3补充完整,并直
接写出此时。与B之间的数量关系(不需证明)
参考答案
②③
(1)AM^BN=MN,
证明:延长C8至ij£使维=4W,
•:/_A=LCBD=90°,
:./.A=AEBD=9Q°,
在△。工用和AOS万中
'AM=BE
<ZA=ZDBE,
AD=BD
:.^DAM^^DBE,
:.Z.BDE=/_MDA,DM=DE、
,:/_MDN=/_ADC=60",
:.£ADM=/_NDC,
ZBDE=ZNDC,
.1.ZMDN=ZNDE,
在AMDN和AEDN中
fDM=DE
<ZMDN=ZNDE.
DN=DN
:AMD24EDN,
:.MN=NE,
NE—B&BN=AM+BN,
:.AM+BN=MN.
(2)AM+BN=MN、
证明:延长C8到上使连接。g
,:/_A=/_CBD=9b,
:./_A=/_DBE=90°,
vZCDz4+Z/CZ?=90°,Z.MDN+AACD=9G°,
:./_MDN=/_CDA、
•・•NMDN=ZBDC,
:.£MDA:/.CDN、乙CDM=/_NDB,
在和△Z?8F中
'AM=BE
<NA=NDBE,
AD=BD
:.XDA2XDBE、
/.ZBDE^ZMDA=ZCDN,DM=DE、
':/_MDN+/_ACD=9Q°,/_ACt>AADC=9G0,
ZNDM=ZADC=ZCDB,
ZADM=ZCDN=ZBDE,
/_CDM=/_NDB
ZMDN=ZNDE,
在丛MDN和AEDN中
'DM=DE
<ZMDN=ZNDE,
DN=DN
:.XMD2XEDN、
:.MN=NE、
NE=B&BN=AM+BN,
,AM+BN=MN.
(3)BN—AM=MN,
证明:在C8截取BE=AM,连接DE,
vZC£?/4+Z/CZ9=90°,2MDN+2ACD=90°,
zMDN=zCDA,
■:ZADN=ZADN,
:.ZMDA=ZCDN,
-:AB=/_CAD=9QQ,
:.AB=^DAM=90°,
在△。4例和△OSE中
'AM=BE
<ZDAM=ZDBE>
AD=BD
:ADAM^ADBE,
ZBDE=ZADM=ZCDN,DM=DE,
■:ZADC=ZBDC=ZMDN,
ZMDN=ZEDN,
在/\MDN和4EDN中
rDM=DE
<ZMDN=ZNDE.
DN=DN
.-.^MDN^^EDN,
:.MN=NE,
-:NE=BN-BE=BN-AM,
:.BN-AM=MN.
2.解:(1)':AELBC,BFLAC
,△/(砥和啰都是直角三角形
•・•。是的中点
DEJ^\。尸分别为Rt△/房和RtZX力用的斜边中线
:QE*AB,DF=^AB(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
DE=DF
■:DE=kDF
:.k=1;
(2)-:CB=CA
/.zCBA=zCAB
♦:乙MAC=/_MBE
/.ZCBA-ZMBC=ZCAB-/.MAC
即/HI用
:.AM=BM
•:ME1BC,MF\_AC
:./_MEB=/_MFA=9b
又,:/_MBE=(MAF
:.XMEB9l\MFA{AAS)
:.BE=AF
.・•。是的中点,即8。=/。
又,:/_DBE=/_DAF
:ADB恒XDAF(SAS)
DE=DF\
(3)DE=DF
如图1,作/用的中点G8例的中点”
.・.点。是边的中点
:.DGIIBM,DG=—BM
2
同理可得:DHHAM,DH=LAM
2
・・・/M£L8C于夕"是员W的中点
・,.在中,HE=LBM=BH
2
...ZHBE=ZHEB
zMHE=zHBMHEB=1/.MBC
又,:DG=LBM,HE=—BM
22
DG=HE
同理可得:DH=FG,乙MGF=2(MAC
•:DGWBM,DHHGM
四边形。从"G是平行四边形
ZDGM=ZDHM
■:ZMGF=2/.MAC,ZMHE=2ZMBC
又,:乙MBC=/_MAC
:.ZMGF=ZMHE
ZDGM+ZMGF=ZDHM+ZMHE
:.ZDGF=ZDHE
在△。隹与△厂GO中
'DG=HE
-ZDGF=ZDHE,
DH=FG
:.XDHE4FGD(弘$,
DE=DF.
3.解:(1)①"=1(秒),
,-.BP=CQ=3(厘米)
••->45=12,。为4?中点,
:.BD=6(厘米)
又、:PC=BC-BP=q-3=6(厘米)
PC=BD
■;AB^AC,
••.N8=NC,
在ABPD与ACQP0,
fBP=CQ
<ZB=ZC,
BD=PC
:.XBPD^XCQP(5/15),
②;行%
BP丰CQ,
又,."5=NC,
要使△8/型4CPQ,只能BP=CP=4.5,
yt\BPg.4CPQ、
CQ=BD=6.
,点尸的运动时间/=粤=粤=1.5(秒),
O0
此时&=四=旦=4(厘米/秒).
t5
(2)因为%,>%>,只能是点。追上点户,即点Q比点尸多走力8+工。的路程
设经过x秒后尸与Q第一次相遇,依题意得4x=3刈2x12,
解得x=24(秒)
此时户运动了24X3=72(厘米)
又,.■△48。的周长为33厘米,72=33x2+6,
,点尸、。在8。边上相遇,即经过了24秒,点户与点。第一次在8c边上相遇.
4.证明:(1)・•・8。1直线;77,CE1直线m,
"54=90°,
■:ABAC=9Q°,
/_CAE=90°,
必£>/力8。=90°,
/_CAE—/_ABD、
•・•在和△CE4中
,ZABD=ZCAE
'ZBDA=ZCEA,
AB=AC
:,4ADB9XCEA{AAS),
:.AE=BD,AD=CE,
:.DE=AE^AD=BD^CE\
(2)结论。三=比开。?仍然成立,理由是:
ZBDA—/_BAC=a,
ZDBA+ZBAD=ZBAl>/_CAE=180°-a,
ZCAE-ZABD,
•・•在△408和△054中
"ZABD=ZCAE
-ZBDA=ZCEA,
AB=AC
:.4ADB9XCEAkAAS],
;.AE=BD,AD=CE,
图①图②
5.证明:-1•ZBCA=ZECD,
ZBCA-ZECA=ZECD-ZECA,
:./_BCE=/.ACD,
在和△工8中,
"BC=AC
-ZBCE=ZACD,
EC=CD
:.t\BCE^l\ACD(5/15),
BE=AD.
解:图(2),图(3)中,8三和还相等,
理由是:如图(3);/8C4=180°,EC[>/_BCE=180°,
ZBCE—NACD,
在△6C5和△4。。中,
fBC=AC
<ZBCE=ZACDS
CE=CD
:.XBC匹XACD(SAS),
:,BE=AD.
6.(1)证明:•.•NZC8=NOCT=a,
Z.ACD=Z.BCE,
在△48和中,
'CA=CB
<ZACD=ZBCE,
CD=CE
:AACD^XBCE〈SAS);
(2)证明:过点C作。Wl/。于用,CNLBE千N,
,:XACgXBCE,
ZCAM=ZCBN,
在△/CM和△8CR中,
rZCAM=ZCBN
-ZAMC=ZBNC=900.
AC=BC
:AACM9XBCN<AAS),
:.CM=CN,
:・CH平分乙AHE;
(3)■:IXACD^^BCE,
ZCAD=ZCBE,
■:AAMC=AAMC,
Z_AHB=/_ACB=a,
:./_AHE=180°-a,
:.LCHE=三LAHE=90°--1a.
7.证明:(1)如图2,连接力从,由已知得
:.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,
■:MD=ME,
:./.MAD=/.MAE,
/MAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,
即ZCAM,
'AB=AC
在△AS例和中,.ZBAM=ZCAM,
AM=AM
:.XABM^XACM(SAS),
:.MB=MC-
(2)MB=MC.
理由如下:如图3,延长。8、相交于F,延长公交于厂,
BD=BE,CE=CF,
.••用是中的中点,B是DF的中点,
:.MBIIAP,
/MBC=ZCAE,
同理:MCIIAD,
:.ZBCM=ZBAD,
NBAD=ZCAE,
:.ZMBC=ZBCM,
:.MB=MC-
(3)例8=还成立.
如图4,延长8例交CF于尸,
CEIIBD,
:.ZMDB=ZMEF,/_MBD=/_MFE,
又•••用是。5的中点,
:.MD=ME,
rZMDB=ZMEF
在△例。6和中,,ZMBD=ZMFE,
HD=ME
:./XMDBSXMEF<AAS),
:.MB=MF,
•:^ACE=90°,
:.^BCF=90°,
MB=MC.
A
8.证明:(1),:£BDC=/_BAC、/_DFB=/_AFC、
又,:乙ABA乙BDC+/_DFB=/_BAC+/_ACa/_AFC=\80°,
:,/_ABD=/_ACD\
(2)过点/作4WJ_C。于点用,作/ML8F于点N.
则N/N8=90°.
':OB=OC.CM_18c
AB—AC,
•:/_ABD=Z.ACD,
RACMSRABN{AAS)
:.AM=AN.
・♦・/。平分/CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上);
(3)NMC的度数不变化.
在C。上截取CP=BD,连接AP.
CD-AD^-BD,
・•,AD=PD.
•:AB=ACt乙ABD=/_ACD,BD=CP,
:.XABD^XACP.
:.AD=AP\ZBAD=ZCAP.
.,.AD=AP=PD,即△4。尸是等边三角形,
:.ADAP=60°.
/.ZBAC=ZBAP^/_CAP=ZBAF^Z_BAD=60°.
:./_AMC=ZCNB=90°,
':^ACB=90°,
:.^MAC+AACM=90°,LNCB+/_ACM=9G°,
MAC=/_NCB,
在△/何。和△C7V8中,
/_AMC=/_CNB,
/_MAC=/_NCB,
AC=CB,
4AM8ACNB{AAS),
AM=CN,MC=NB,
\'MN=NC+CMf
:.MN=AM^BN;
(2)结论:MN=BN-AM.
■:AMMN,BNIMN,
:./_AMC=ZCA/5=90°,
•••N/IC6=90°,
:.^MAC+^ZACM=90°,^NCB+Z.ACM=900,
:./.MAC=Z.NCB,
在△4V/C和△CW8中,
ZAMC=ZCNB,
Z.MAC=/.NCB,
/4C=CB,
4AMe94CNB(A45),
AM=CN,MC=NB,
■:MN=CM-CN,
:.MN=BN-AM.
10.解:(1)CF=BD,且CFLBD,证明如下:
■:/_FAD=ZCAB=9Q°,
:./_FAC=/.DAB.
'AB=AC
在△AC厂和△/8。中,,ZCAF=ZBAD-
AD=AF
:.XAC24ABD
:.CF=BD,/_FCA=/.DBA,
:.乙FCD=LFCA+乙ACD=/_DBA+/_ACD=90°,
FC]_CB,
故。尸=8。,且。厂ISO.
(2)(1)的结论仍然成立,如图2,•.•/。48=/。力尸=90°,
ZCAB+/.CAD=ZDA8乙CAD,
即NC4尸=N84。,
,AB=AC
在△4C厂和△48。中,,NCAF=NBAD,
AD=AF
:AAC2XABD{SAS),
OF—BD,Z.ACF-NB,
':AB=ACiABAC=90°,
.•.N8=N/C8=45°,
/.ZBCF=ZACF^/_ACB=45°+45°=90°,
:.CFVBD\
CF=BD,且C尸162
11.证明:(1),:BDLDE,CELDE.
.•./2?=“=90。,
ADBA+Z.DAB=90°,
•'284c=90°,
:./_DAB+/_CAE=90°,
・•.NDBA=ZCAE,
\'AB=AC,
:.XADBSXCEA,
:,BD=AE,CE=AD,
;.DE=AgAE=CB-BD;
(2)BD=DHCE,理由是:
•:BDLDE,CELDEt
:./_ADB=/_AEC=qb°,
:.Z.ABLXABAD=90°,
':^BAC=90°,
:,/_ABA2EAC=9。。,
ZBAD—ZEAC,
\'AB=AC,
:.t\ADB9XCEA、
;.BD二AE,CE=AD,
,:AE=AADE,
:.BD=CB-DE.
12.解:(1)如图①,
图①C"
\'CFVAE,BDLAE,/_MAN=90°,
:./_BDA^/_AFC=90°,
:.£ABg£BAD=90°,/_AB[>/_CAF^90°,
/_ABD=/_CAF、
在△48。和△d尸中,
"ZADB=ZCFA
,ZABD=ZCAF,
AB=AC
:./\ABD^/\CAF{AAS);
(2).../1=N2=/8/IC,Z1=/_BAE+/.ABE,/.BAC=Z.BAB-/.CAF,Z2=Z
FCA+/LCAF,
r.NABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,
在和尸中,
,ZABE=Z
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