人教版八年级上册数学课堂作业同步期中复习：全等三角形训练（二）

人教版八年级上册数学课堂作业同步期中复习:

全等三角形训练(二)

1.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以。为顶点作

交边/C、8c于例、N.

(1)若N/C0=3O°,ZMDN=60°,当/"ON绕点。旋转时，AM.MN、BN三

条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

(2)当LAC8乙MDN=9C°时，AM.MN、6N三条线段之间有何数量关系？证明

你的结论；

(3)如图③，在(2)的结论下，若将"、"改在C4、8c的延长线上，完成图3,其

余条件不变，则4用、MN、8A/之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)

2.探究

问题1已知：如图1,三角形中，点。是边的中点，AELBC,BFLAC,垂

足分别为点E,F,AE,8尸交于点M,连接DE,DF.若DE=kDF,则左的值为.

拓展

问题2已知：如图2,三角形48C中，CB=CA,点。是力8边的中点，点M在三角

形48。的内部，且/版4C=N例8C,过点例分别作用£L8C,MFA.AC,垂足分别

为点£F,连接。£DF.求证：DE=DF.

推广

问题3如图3,若将上面问题2中的条件UCB=CAn变为"CB#CA",其他条件不

变，试探究上与。尸之间的数量关系，并证明你的结论.

3.如图，已知△X8C中，/8=/lC=12厘米，8c=9厘米，点。为的中点.

(1)如果点Q在线段6c上以3厘米/秒的速度由6向。点运动，同时点Q在线段C4

上由C点向/点运动.

①若点Q的运动速度与点户的运动速度相等，1秒钟时，48叨与△CQQ是否全等，

请说明；

②点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△

BPD^/\CPGT>

(2)若点Q以②的运动速度从点C出发点，户以原来运动速度从点8同时出发，都逆

时针沿/8C的三边运动，求多长时间点尸与点。第一次在△/SC的哪条边上相遇？

A

D/\

BP

4.（1）已知，如图①，在△S8C中，/MC=90°,AB=AC,直线m经过点4BD

，直线m,CEL直线m,垂足分别为点。、E,求证：DE=B8CE.

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△48C中，AB=AC,D、/、万三点都在直线

m上，并且有N6以=ZAEC=ZBAC=a,其中。为任意钝角，请问结论DE=BD^CE

是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由.

5.如图（1）,△48C中，BC=AC,4CDE中、CE=CD,现把两个三角形的。点重合，

且使连接AD.求证：BE=AD.

若将绕点C旋转至图（2）,（3）所示的情况时，其余条件不变，8E与“。还

相等吗？利用图（3）说明理由.

工

B（1）CB（2）CB(3)CD

6.如图，CA=CB,CD=CE,ZACB-ZDCE=a,AD、8E交于点H,连CH.

（1）求证：4ACD^4BCE、

（2）求证：CH平分乙AHE;

（3）求NC隹的度数.（用含a的式子表示）

AC.

7.如图，将两个全等的直角三角形△/8以拼在一起(图1).不动,

B©EDB

(1)若将△力片绕点片逆时针旋转，连接。£从是。5的中点，连接用8、(图

2),证明：MB=MC.

(2)若将图1中的CE向上平移，NC4E不变，连接。£例是。万的中点，连接用8、

例C(图3),判断并直接写出的数量关系.

(3)在(2)中，若NC4E的大小改变(图4),其他条件不变，则(2)中的MB、

的数量关系还成立吗？说明理由.

8.如图，已知6(-1,0),C(1,0),/为)/轴正半轴上一点，点。为第二象限一动

点，F在6。的延长线上，CD交AB于F,且N8OC=N8/IC.

(1)求证：AABD=AACD-,

(2)求证：4。平分NC0E

(3)若在。点运动的过程中，始终有。C=04+08,在此过程中，NMC的度数是否

变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出N&4c的度数？

9.如图：在△48C中，^ACB=9Q°,AC=BC,过点C在△S8C外作直线例/V,AM

_LMN于M,BNLMN=^N.

(1)求证：MN=AM+BN.

(2)若过点C在△48C内作直线/WN,/VKLM/V于例，BNLMN干N,贝ij/何、BN

与例M之间有什么关系？请说明理由.

10.如图1所示，在△S8C中，AB=AC,N94C=90°,点。为射线8C上一动点，连

接AD,以5。为直角边，工为直角顶点，在4。左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF.

(1)当点。在线段8c上时(不与点8重合)，线段C尸和8。的数量关系与位置关系

分别是什么？请给予证明.

(2)当点。在线段8c的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相

应的图形，并说明理由.

11.已知：如图1,点力是线段。回上一点，NMC=90°,AB=AC,BDLDE,CEL

DE,

(1)求证：DE=BACE.

(2)如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？并证明.

12.(1)如图1,乙MAN=90°,射线/IE在这个角的内部，点8、C分别在/例/IN的

边AM.AN上,且AB=AC,C尸1/万于点F,6O1/IE于点D.求证：XABD^XCAF、

(2)如图2,点6、C分别在N/W/IN的边AM、/W上，点6厂都在NW/V内部的射

线片。上，ZRN2分别是A/IS公2X04厂的外角.已知/I8=ZC,且N1=/2=N

BAC.求证：XABEXCAF、，

(3)如图3,在△48C中，AB^AC,8C.点。在边8c上，8=28。，点6

尸在线段5。上，Z1=ABAC.若△Z8C的面积为15,求尸与△8OE的面

积之和.

图①图②图③

13.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由•如图，点从°在线段上，BC

IIEF,AD=BE,BC=EF,试说明：(1)NC=N尸；(2)ACIIDF.

解：⑴■.•力。=8三(已知)

：.Al>DB=DB+BE()

BPAB=DE

■：BCIIEF(已知)

••.ZABC=Z()

又■「8C=&(已知)

:.4AB84DEF()

ZC=ZA,AA=AFDE()

.-.ACIIDF()

14.如图，点F在△/8C外部，点。在8c边上，OF交/IC于点尸，若Nl=N2=/3,

AC=AE.求证：

(1)△ABgXADE、

(2)AB=AD.

15.在△/SC中，58=/C,点。是射线C8上的一动点(不与点8、C重合)，以

为一边在AD的右侧作使AD=AE,/DAE=ZBAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段。8上，且/必。=90°时，那么/。6=度；

(2)设NMC=a,(DCE=&

①如图2,当点。在线段C8上，/84c片90°时，请你探究。与B之间的数量关系,

并证明你的结论；

②如图3,当点。在线段C8的延长线上，N8ZCK90°时，请将图3补充完整，并直

接写出此时。与B之间的数量关系(不需证明)

参考答案

②③

(1)AM^BN=MN,

证明：延长C8至ij£使维=4W,

•:/_A=LCBD=90°,

：./.A=AEBD=9Q°,

在△。工用和AOS万中

'AM=BE

<ZA=ZDBE,

AD=BD

：.^DAM^^DBE,

：.Z.BDE=/_MDA,DM=DE、

,:/_MDN=/_ADC=60",

:.£ADM=/_NDC,

ZBDE=ZNDC,

.1.ZMDN=ZNDE,

在AMDN和AEDN中

fDM=DE

<ZMDN=ZNDE.

DN=DN

:AMD24EDN,

:.MN=NE,

NE—B&BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN.

(2)AM+BN=MN、

证明：延长C8到上使连接。g

,:/_A=/_CBD=9b,

:./_A=/_DBE=90°,

vZCDz4+Z/CZ?=90°,Z.MDN+AACD=9G°,

:./_MDN=/_CDA、

•・•NMDN=ZBDC,

：.£MDA:/.CDN、乙CDM=/_NDB,

在和△Z?8F中

'AM=BE

<NA=NDBE，

AD=BD

:.XDA2XDBE、

/.ZBDE^ZMDA=ZCDN,DM=DE、

'：/_MDN+/_ACD=9Q°,/_ACt>AADC=9G0,

ZNDM=ZADC=ZCDB,

ZADM=ZCDN=ZBDE,

/_CDM=/_NDB

ZMDN=ZNDE,

在丛MDN和AEDN中

'DM=DE

<ZMDN=ZNDE,

DN=DN

:.XMD2XEDN、

:.MN=NE、

NE=B&BN=AM+BN,

，AM+BN=MN.

(3)BN—AM=MN,

证明：在C8截取BE=AM,连接DE,

vZC£?/4+Z/CZ9=90°,2MDN+2ACD=90°,

zMDN=zCDA,

■：ZADN=ZADN,

：.ZMDA=ZCDN,

-：AB=/_CAD=9QQ,

：.AB=^DAM=90°,

在△。4例和△OSE中

'AM=BE

<ZDAM=ZDBE>

AD=BD

:ADAM^ADBE,

ZBDE=ZADM=ZCDN,DM=DE,

■：ZADC=ZBDC=ZMDN,

ZMDN=ZEDN,

在/\MDN和4EDN中

rDM=DE

<ZMDN=ZNDE.

DN=DN

.-.^MDN^^EDN,

:.MN=NE,

-：NE=BN-BE=BN-AM,

：.BN-AM=MN.

2.解：(1)'：AELBC,BFLAC

，△/(砥和啰都是直角三角形

•・•。是的中点

DEJ^\。尸分别为Rt△/房和RtZX力用的斜边中线

：QE*AB,DF=^AB(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)

DE=DF

■：DE=kDF

:.k=1;

(2)-：CB=CA

/.zCBA=zCAB

♦:乙MAC=/_MBE

/.ZCBA-ZMBC=ZCAB-/.MAC

即/HI用

:.AM=BM

•：ME1BC,MF\_AC

:./_MEB=/_MFA=9b

又,：/_MBE=(MAF

:.XMEB9l\MFA{AAS)

：.BE=AF

.・•。是的中点，即8。=/。

又,：/_DBE=/_DAF

:ADB恒XDAF(SAS)

DE=DF\

(3)DE=DF

如图1,作/用的中点G8例的中点”

.・.点。是边的中点

:.DGIIBM,DG=—BM

2

同理可得：DHHAM,DH=LAM

2

・・・/M£L8C于夕"是员W的中点

・,.在中，HE=LBM=BH

2

...ZHBE=ZHEB

zMHE=zHBMHEB=1/.MBC

又,：DG=LBM,HE=—BM

22

DG=HE

同理可得：DH=FG,乙MGF=2（MAC

•：DGWBM,DHHGM

四边形。从"G是平行四边形

ZDGM=ZDHM

■：ZMGF=2/.MAC,ZMHE=2ZMBC

又,：乙MBC=/_MAC

：.ZMGF=ZMHE

ZDGM+ZMGF=ZDHM+ZMHE

：.ZDGF=ZDHE

在△。隹与△厂GO中

'DG=HE

-ZDGF=ZDHE,

DH=FG

:.XDHE4FGD（弘$,

DE=DF.

3.解：（1）①"=1（秒），

,-.BP=CQ=3（厘米）

••->45=12,。为4?中点，

：.BD=6（厘米）

又、：PC=BC-BP=q-3=6（厘米）

PC=BD

■；AB^AC,

••.N8=NC,

在ABPD与ACQP0,

fBP=CQ

<ZB=ZC,

BD=PC

:.XBPD^XCQP（5/15）,

②；行%

BP丰CQ,

又,."5=NC,

要使△8/型4CPQ,只能BP=CP=4.5,

yt\BPg.4CPQ、

CQ=BD=6.

，点尸的运动时间/=粤=粤=1.5（秒），

O0

此时&=四=旦=4（厘米/秒）.

t5

（2）因为％,>%>,只能是点。追上点户，即点Q比点尸多走力8+工。的路程

设经过x秒后尸与Q第一次相遇，依题意得4x=3刈2x12,

解得x=24（秒）

此时户运动了24X3=72（厘米）

又,.■△48。的周长为33厘米，72=33x2+6,

，点尸、。在8。边上相遇，即经过了24秒，点户与点。第一次在8c边上相遇.

4.证明：（1）・•・8。1直线;77,CE1直线m,

"54=90°,

■：ABAC=9Q°,

/_CAE=90°,

必£>/力8。=90°,

/_CAE—/_ABD、

•・•在和△CE4中

，ZABD=ZCAE

'ZBDA=ZCEA,

AB=AC

:,4ADB9XCEA{AAS）,

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE^AD=BD^CE\

（2）结论。三=比开。?仍然成立，理由是:

ZBDA—/_BAC=a,

ZDBA+ZBAD=ZBAl>/_CAE=180°-a,

ZCAE-ZABD,

•・•在△408和△054中

"ZABD=ZCAE

-ZBDA=ZCEA,

AB=AC

:.4ADB9XCEAkAAS],

；.AE=BD,AD=CE,

图①图②

5.证明：-1•ZBCA=ZECD,

ZBCA-ZECA=ZECD-ZECA,

：./_BCE=/.ACD,

在和△工8中，

"BC=AC

-ZBCE=ZACD,

EC=CD

：.t\BCE^l\ACD（5/15）,

BE=AD.

解：图（2）,图（3）中，8三和还相等，

理由是:如图（3）；/8C4=180°,EC[>/_BCE=180°,

ZBCE—NACD,

在△6C5和△4。。中，

fBC=AC

<ZBCE=ZACDS

CE=CD

:.XBC匹XACD（SAS）,

：,BE=AD.

6.(1)证明：•.•NZC8=NOCT=a,

Z.ACD=Z.BCE,

在△48和中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

:AACD^XBCE〈SAS);

(2)证明：过点C作。Wl/。于用，CNLBE千N,

,:XACgXBCE,

ZCAM=ZCBN,

在△/CM和△8CR中，

rZCAM=ZCBN

-ZAMC=ZBNC=900.

AC=BC

:AACM9XBCN<AAS),

：.CM=CN,

:・CH平分乙AHE;

(3)■：IXACD^^BCE,

ZCAD=ZCBE,

■：AAMC=AAMC,

Z_AHB=/_ACB=a,

:./_AHE=180°-a,

:.LCHE=三LAHE=90°--1a.

7.证明：（1）如图2,连接力从，由已知得

：.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,

■：MD=ME,

：./.MAD=/.MAE,

/MAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,

即ZCAM,

'AB=AC

在△AS例和中，.ZBAM=ZCAM,

AM=AM

:.XABM^XACM(SAS),

：.MB=MC-

(2)MB=MC.

理由如下：如图3,延长。8、相交于F,延长公交于厂,

BD=BE,CE=CF,

.••用是中的中点，B是DF的中点，

：.MBIIAP,

/MBC=ZCAE,

同理：MCIIAD,

：.ZBCM=ZBAD,

NBAD=ZCAE,

：.ZMBC=ZBCM,

：.MB=MC-

(3)例8=还成立.

如图4,延长8例交CF于尸，

CEIIBD,

：.ZMDB=ZMEF,/_MBD=/_MFE,

又•••用是。5的中点，

：.MD=ME,

rZMDB=ZMEF

在△例。6和中，，ZMBD=ZMFE,

HD=ME

:./XMDBSXMEF<AAS),

:.MB=MF,

•：^ACE=90°,

:.^BCF=90°,

MB=MC.

A

8.证明：(1),：£BDC=/_BAC、/_DFB=/_AFC、

又,：乙ABA乙BDC+/_DFB=/_BAC+/_ACa/_AFC=\80°,

：,/_ABD=/_ACD\

(2)过点/作4WJ_C。于点用，作/ML8F于点N.

则N/N8=90°.

'：OB=OC.CM_18c

AB—AC,

•：/_ABD=Z.ACD,

RACMSRABN{AAS)

：.AM=AN.

・♦・/。平分/CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；

(3)NMC的度数不变化.

在C。上截取CP=BD,连接AP.

CD-AD^-BD,

・•,AD=PD.

•：AB=ACt乙ABD=/_ACD,BD=CP,

:.XABD^XACP.

:.AD=AP\ZBAD=ZCAP.

.,.AD=AP=PD,即△4。尸是等边三角形，

:.ADAP=60°.

/.ZBAC=ZBAP^/_CAP=ZBAF^Z_BAD=60°.

:./_AMC=ZCNB=90°,

'：^ACB=90°,

:.^MAC+AACM=90°,LNCB+/_ACM=9G°,

MAC=/_NCB,

在△/何。和△C7V8中，

/_AMC=/_CNB,

/_MAC=/_NCB,

AC=CB,

4AM8ACNB{AAS),

AM=CN,MC=NB,

\'MN=NC+CMf

：.MN=AM^BN;

(2)结论：MN=BN-AM.

■：AMMN,BNIMN,

：./_AMC=ZCA/5=90°,

•••N/IC6=90°,

：.^MAC+^ZACM=90°,^NCB+Z.ACM=900,

：./.MAC=Z.NCB,

在△4V/C和△CW8中，

ZAMC=ZCNB,

Z.MAC=/.NCB,

/4C=CB,

4AMe94CNB(A45),

AM=CN,MC=NB,

■：MN=CM-CN,

：.MN=BN-AM.

10.解：(1)CF=BD,且CFLBD,证明如下：

■：/_FAD=ZCAB=9Q°,

：./_FAC=/.DAB.

'AB=AC

在△AC厂和△/8。中，，ZCAF=ZBAD-

AD=AF

:.XAC24ABD

：.CF=BD,/_FCA=/.DBA,

:.乙FCD=LFCA+乙ACD=/_DBA+/_ACD=90°,

FC]_CB,

故。尸=8。，且。厂ISO.

(2)(1)的结论仍然成立，如图2,•.•/。48=/。力尸=90°,

ZCAB+/.CAD=ZDA8乙CAD,

即NC4尸=N84。，

，AB=AC

在△4C厂和△48。中，，NCAF=NBAD，

AD=AF

:AAC2XABD{SAS),

OF—BD,Z.ACF-NB,

'：AB=ACiABAC=90°,

.•.N8=N/C8=45°,

/.ZBCF=ZACF^/_ACB=45°+45°=90°,

:.CFVBD\

CF=BD,且C尸162

11.证明：(1),:BDLDE,CELDE.

.•./2?=“=90。,

ADBA+Z.DAB=90°,

•'284c=90°,

:./_DAB+/_CAE=90°,

・•.NDBA=ZCAE,

\'AB=AC,

:.XADBSXCEA,

:,BD=AE,CE=AD,

；.DE=AgAE=CB-BD;

(2)BD=DHCE,理由是：

•:BDLDE,CELDEt

:./_ADB=/_AEC=qb°,

:.Z.ABLXABAD=90°,

'：^BAC=90°,

：,/_ABA2EAC=9。。,

ZBAD—ZEAC,

\'AB=AC,

:.t\ADB9XCEA、

；.BD二AE,CE=AD,

,:AE=AADE,

：.BD=CB-DE.

12.解：(1)如图①，

图①C"

\'CFVAE,BDLAE,/_MAN=90°,

:./_BDA^/_AFC=90°,

:.£ABg£BAD=90°,/_AB[>/_CAF^90°,

/_ABD=/_CAF、

在△48。和△d尸中，

"ZADB=ZCFA

,ZABD=ZCAF，

AB=AC

:./\ABD^/\CAF{AAS);

(2).../1=N2=/8/IC,Z1=/_BAE+/.ABE,/.BAC=Z.BAB-/.CAF,Z2=Z

FCA+/LCAF,

r.NABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

在和尸中，

，ZABE=Z