高中数学选择性必修一课件：2 5 1 第1课时 直线与圆的位置关系(人教版)

第1课时直线与圆的位置关系第二章

2.5.1直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.学习目标海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.导语随堂演练课时对点练一、直线与圆的位置关系的判断二、圆的弦长问题三、求圆的切线方程内容索引一、直线与圆的位置关系的判断问题1

如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个判断方法_____________代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_____________21知识梳理0d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0例1

已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).方法二已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1

(1)已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A.l与C相交 B.l与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能√解析将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是A.(0,2] B.(1,2]C.(0,2) D.(1,2)√∴m<2，∵m>0，∴0<m<2.二、圆的弦长问题二、圆的弦长问题求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，反思感悟(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.跟踪训练2

已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.(1)求直线l的方程；∴两直线交点为(2,1).设直线l的斜率为kl，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，∵直线l过点(2,1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.解设圆的半径为r，依题意，得∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.三、求圆的切线方程例3

(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6√解析∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.y＝4或3x＋4y－13＝0因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.跟踪训练3

(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0√解析x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为解析圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离√1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.(3)圆的切线方程.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.课堂小结随堂演练1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离√1234∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.∴点P在圆上.∴P为切点.√12343.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是A.－2 B.－12C.2 D.12√1234√解析圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12.4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为___.21234课时对点练1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心√所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心.基础巩固123456789101112131415162.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是A.相切 B.相交C.相离 D.不确定√解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.12345678910111213141516则直线与圆的位置关系是相交.√解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.12345678910111213141516√所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，4.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0C.2x－y＝0 D.x－1＝0√12345678910111213141516√123456789101112131415166.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为√解析点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，123456789101112131415167.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________.x－y＋5＝0解析由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，12345678910111213141516所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.解析由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，123456789101112131415169.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；解圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，12345678910111213141516所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.解当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，1234567891011121314151610.已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.(1)求圆C的标准方程；12345678910111213141516解由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，解得a＝－6(舍)或a＝2，则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.12345678910111213141516若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0.11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1√12345678910111213141516综合运用解析在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，则y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1).由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点(0，－1)是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，12345678910111213141516因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.A.4x＋3y－13＝0 B.3x＋4y－15＝0C.3x＋4y＋15＝0 D.x＝1√12345678910111213141516√解析由题意知圆心C的坐标为(2,0)，半径为r＝2，12345678910111213141516当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，12345678910111213141516即4x＋3y－13＝0.12345678910111213141516√解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，1234567891011121314151614.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.12345678910111213141516设点F为其圆心，坐标为(1,3).√拓广探究12345678910111213141516故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.1234567891011121314151616.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为(1)求圆C的方程；12345678910111213141516∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.12345678910111213141516解∵P是直线x＋y＋4＝0上一点.设P(m，－m－4)，∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，