第一章 全等三角形（单元重点综合测试）-苏科版八年级《数学》上册单元速记巧练（解析版）

第第页第1章全等三角形（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【解析】解：甲、边a、c夹角不是，∴甲错误；乙、两角为，夹边是a，符合，∴乙正确；丙、两角是角对的边是a，符合，∴丙正确．故选：B．2．如图，在△ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS＝AR；②；③△BPR≌△QSP中（

）A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确【答案】B【解析】∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴AP平分，在和中故①对∵∠PAQ＝∠APQ∴∴故②对在△BPR和△QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的故③错故选：B3．如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵和有公共直角边，∴以“”为依据判断，需要使，故A正确．故选：A．4．在和中，①，②，③，④，⑤，⑥．在下列条件中，不能保证的一组条件是（

）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①②③【答案】A【解析】解：A、①③⑤符合SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；B、①②⑤符合SAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；C、②④⑤符合AAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；D、①②③符合SSS，能判定△ABC≌△A′B′C′．故选：A．5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE的长为（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【答案】C【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB，∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE＝2，CD＝BE＝0.5，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣0.5＝1.5（cm）．故选：C．6．如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故选B．7．根据下列条件能画出唯一的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】解：A.当，，时，，则线段、、不能构成三角形，故选项不符合题意；B.边边角三角形不能唯一确定，如图1，故选项不符合题意；C.角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项不符合题意；D.边角边可以画出唯一的三角形，故选项符合题意；故选：．8．是的中线，，则的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】解：如图，延长至点，使得，连接，则，

是的中线，，在和中，，，，在中，，即，，观察四个选项可知，只有A符合，故选：A．二、填空题：每题3分，共10题，共计30分9、如图，在△ABC和△ADC中，，，，则________º．【答案】130【解析】解：在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案为：130．10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带第_______块.【答案】2【解析】结合ASA判定三角形全等，选择211、如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_______.【答案】135°【解析】∵△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS）∴∠3=∠ACB∵∠ACB﹢∠1=90°∴∠1﹢∠3=90°∴∠1﹢∠2﹢∠3=90°﹢45°=135°12、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为_______度．【答案】80【解析】解析：由题意得，∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的∴∠EBC=2∠2=50°，∠DCB=2∠3=30°∴∠α=∠EBC﹢∠DCB=50°﹢30°=80°13、如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接AD，BE交于点O，AC与BE交与点P，则∠AOB＝_______．【答案】60【解析】解析：∵△ABC和△CDE是等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB﹢∠BCE=∠DCE﹢∠BCE即∠ACE=∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD（SAS）∴∠CAE=∠CBD∵∠APC=∠BPO∴∠BOP=∠ACP=60°即∠AOB=60°14．如图：已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有_____对，并说明全等的理由．【答案】3【解析】全等三角形共有3对，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB≌△EDB，理由：在△ECB和△EDB中，∴△ECB≌△EDB（SSS），在△ACE和△ADE中，∴△ACE≌△ADE（SSS），在△ACB和△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SSS）．15．如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，则∠APB的度数为．【答案】55°【解析】解：如图：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，而∠1＝∠2，∴∠DPE＝∠DCE＝55°，∴∠APB＝∠DPE＝55°．故答案为：55°．16．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【解析】解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．17．如图，在四边形中，于，则的长为【答案】【解析】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．18．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：其中正确的结论有______个．①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．【答案】4【解析】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AF=AE，故②正确，∴∠BAE−∠BAC=∠CAF−∠BAC，即∠1=∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，又∵∠BAC=∠CAB，∠B=∠C∴△CAN≌△ABM（ASA），故③正确，CD=DN不能证明成立，故④错误∵∠1=∠2，∠F=∠E，AF=AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确．三、解答题：共9题，共计86分。19、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F．（1）求证：△ABO≌△DCO；（2）求证：BE=CF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：（2）证明：．20、如图，，，，且，求证：．【答案】见解析【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，又AB＝AC，，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴．21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【解析】∵AB∥DF∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE∵∠E=∠CPD∴∠E=∠B在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）22、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【答案】见解析【解析】答案：（1）证明如下（2）BD⊥CE解析：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹢∠CAD=∠EAD﹢∠CAD∴∠BAD=∠CAR在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）（2）∵△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABD﹢∠DBC=∠ABC=45°∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE﹢∠DBC=45°∴∠DBC﹢∠DCB=∠DBC﹢∠ACE﹢∠ACB=90°∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=90°即BD⊥CE23、如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD﹣BE，证明见解析．【解析】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）成立．证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．24、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数．【答案】答案：（1）证明如下（2）70°【解析】解析：（1）∵∠ACB=90°∴∠CBF=∠ACB=90°在Rt△ABE和Rt△CBF中∴Rt△ABE和Rt△CBF（HL）（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=20°∴∠BAC=∠ACB=45°∵∠BAE=45°﹣20°=25°由（1）可得，∠BCF=∠BAE=25°∴∠ACF=∠BCF﹢∠ACB=45°﹢25°=70°25、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，或．【解析】解：（1）当时，，，又，在和中，．，．，即线段与线段垂直．（2）①若，则，，则，解得：；②若，则，，则，解得：；综上所述，存在或使得与全等．26．在中，，，为直线上一点，连接，过点作交于点，交于点，在直线上截取，连接．（1）当点，都在线段上时，如图①，求证：；（2）当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解析；（2）图②：；图③：【解析】（1）证明：如图，过点作交的延长线于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）图②：．证明：过点作交于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴，∵∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．图③：．证明：如图，过点作交的延长线于点．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．27．（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOC＝________；如图2，∠BOC＝________；如图3，∠BOC＝________；（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．①猜想：如图4，∠BOC＝________（用含n的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．【答案】见解析【解析】解：（1）①证法一∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，∴△ABE≌△ADC（SAS）．证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADC可由△A