2023-2024学年福建省永安市第三中学高中校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

福建省永安市第三中学高中校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为，，所以=.故选：C.2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.【详解】解：因为命题“”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即“”.故选：B.3．等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】因为，故选：D.4．下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数与的定义域均为R，可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.5．若，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：C6．如果复数是纯虚数,则实数=

(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可.【详解】由复数是纯虚数，得，解得.故选：C.7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为.故选：D8．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】D【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减二、多选题9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：135724131则一定包含的零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，所以一定包含的零点的区间是．故选：BCD10．下列说法不正确的是（

）A．若，当时，，则在上为增函数B．函数在上为增函数C．函数在定义域内为增函数D．函数的单调增区间为【答案】ACD【分析】根据单调性定义，结合常见函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：根据单调性的定义，A选项中的不具有任意性，故A错误；对B：，根据二次函数的单调性易知，其在上为增函数，故B正确；对C：在单调递增，在单调递增，在定义域不是单调增函数，故C错误；对D：函数在和上单调递减，没有单调增区间，故D错误.故选：ACD.11．如图，在正方体中，下列结论中正确的有（

）

A．平面B．平面C．与底面ABCD所成角的正切值是D．与BD为异面直线【答案】BCD【分析】根据线面平行、线面垂直、线面角、异面直线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为平面，所以AC与平面不平行，所以A错误.连接，，易证，.因为平面，所以平面，所以B正确.因为底面ABCD，所以是与底面ABCD所成的角，设该正方体的棱长为1，则，，所以，所以C正确.由异面直线的定义可知，与BD为异面直线，所以D正确.故选：BCD

12．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】根据题目条件得到函数在R上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，求出，得到答案.【详解】因为，所以在R上单调递减，则要满足，解得，故.故选：BC三、填空题13．已知函数为偶函数，且当时，，则.【答案】【分析】根据偶函数性质求解即可.【详解】因为偶函数，所以.故答案为：14．已知函数，则．【答案】【分析】根据函数解析式，结合指数和对数运算，直接求解即可.【详解】，.故答案为：.15．曲线在点处的切线方程为．【答案】【详解】曲线在点处的斜率为：根据点斜式写出直线方程为：.故答案为.16．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有种不同的分派方法.(用数字作答)【答案】【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,所以一共有种分派方案.故答案为:.四、解答题17．已知，且为第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求的值；（2）用诱导公式化简，再利用（1）中的三角函数值计算．【详解】（1）因为，且为第二象限角，所以，（2）.18．已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；（2）利用（1）中结果，即可建立不等式组，即可求出结果.【详解】（1）任取，则，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递减.（2）在上单调递减，所以，可得，解得，故实数m的范围是．19．已知的展开式中的所有二项式系数之和为．(1)求的值；(2)求展开式中的常数项．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二项式系数和可求得的值；（2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得．（2）解：由（1）知所以展开式通项为，令，解得，则，所以展开式中的常数项为．20．在菱形中，，，将沿对角线翻折至的位置，使得.

(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质和等腰三角形三线合一性质可证得，，由线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）根据长度关系可证得，并求得，利用体积桥可求得结果.【详解】（1）设，

四边形为菱形，，即；，即，为中点，；，平面，平面，平面，.（2）由平面可得：是三棱锥的高，，，为等边三角形，，，又，，又，，，.21．已知函数在时取得极值.(1)求实数；(2)若，求的单调区间和极值.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间与极值.【详解】（1）因为，所以，由题意得，即，解得，经检验符合题意；（2）由（1）得，，则，由得或，得，即的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以的极大值为，极小值为22．拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．【答案】(1)(2)元【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.【详解】（1）由题意得，阴影部分