九年级上册数学《圆》常考题型分类（解析版）

九年级上册数学《圆》常考题型分类考查题型一垂径定理的应用典例1.(江苏·南通市八一中学九年级阶段练习)已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D,过点0作OE//AC交半圆0于点E,过点E作EF⊥AB于F.若AC=2,(2)半径为3【分析】(1)先根据垂径定理得出AD=CD=1,根据“AAS”证明△ADO≌△OFE,即可得出OF=AD(2)设OA=OB=OE=x,则：BF=OB-OF=x-1,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可.解：∵OD⊥AC,AC=2,..AD=CD=1,.ODLAC,EFLAB,∵OE//AC,.∴∠DAO+∠DOA=90°,∠DOA+∠EOF=90°,∴△ADO≌△OFE(AAS),解：设OA=OB=OE=x,∴∠BFE=∠OFE=90°,∴半径OA=3.变式1-1.如图，AB是00的直径，AB平分弦CD,交CD于点E,∠AOC=60°,OC=2,求CD的长.【详解】解：∵AB是○0的直径，AB平分弦CD,变式1-2.如图，⊙0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E,且AB=CD,已知CE=2,ED=6,求O0的半径长.变式1-3.(上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中)如图，已知⊙0的直径AB=10,点P是弦BC上一点，联结OP,∠OPB=45°,PC=1,求弦BC的长.【分析】过点O作OD^BC,则DC=DB,根据垂径定理可得DC=DB,根据∠OPB=45°,可得△PDO得BC的长.设PD=DO=x,由PC=1∵00的直径AB=10,x²+(x+1)²=5²考查题型二利用弧、弦、圆心角的关系解决问题(2)弦BD的长为16cm【分析】(1)根据垂径定理可得AB=AD,进而可得∠ABD=∠C,根据半径相等可得∠C=∠CBO,∵AC为⊙0的直径，且AC⊥BD,∵AC为⊙0的直径，且AC⊥BD,AB=CD.求证：BE=DE.;AB=CD,变式2-3.如图，AB是00的直径，弦AD平分∠BAC,过点D分别作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,O0与AC交于点G.【分析】(1)连接BD,GD,证明△DEG≌△DFB,即可得到结论；∵O0的半径r=6,BF=2,.EG=BF=2,.AG=AE-EG=10-2=8.在DC的延长线上，AF交⊙0于G.【分析】(1)根据垂径定理可得AC=AD,即有∠ACD=∠D,再根据四边形AGCD内接于⊙0,可证(2)连接OC,设OA=OC=r,则OE=8-r,在Rt△COE中，利用OE²+CE²=0C²,即可求解。连接OC,即(8-r)²+4²=r²,解得r=5,即O0的半径为5.于点E.连接AC、OC、BC.(2)根据勾股定理即可得到结论.∵AB为⊙0的直径，OA=OC,变式3-2.(四川·渠县崇德实验学校九年级期末)如图，AB,DF是⊙O的直径，C,D为⊙0上的【分析】(1)连接BF,OC,根据BC//FD,从而可得FC=BD,进而得到AF=BD=FC,可得∠CBF=∠OFB,再由圆周角定理可得∠COF=∠BOD,即可求证；(2)作OH⊥BC于点H,连结BD,先证得△OHB≌△DEO,而得到BE=1,再由勾股定理可得BD的长，即可求解。证明：如图，连接BF,OC,可得OH=DE=2,从而得到继.BC//FD,.BC//FD,OD=OB,/OED=/OHB=90°,解题的关键.变式3-3.(福建·平潭翰英中学九年级期中)如图，如图所示，AB是⊙0的一条弦，OD⊥AB,垂(2)若OC=6,OA=10,求AB的长.(2)AB=16.【分析】(1)先根据垂径定理得到AD=BD,然后利用圆周角定理得到(2)根据垂径定理得到AC=BC,然后利用勾股定理计算出AC即可.解：∵OD⊥AB,解：∵OD⊥AB,【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和勾股定理。考查题型四切线的性质和判定的综合应用典例4.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，过点A作⊙0的切线，交BC的延长线于点D,取AD的中点E,延长CE交BA的延长线交于点P.(1)求证：PC是⊙0的切线；(2)AB=2AP,AB=8,求AD的长.【分析】(1)连接AC,OC,欲证PC是⊙0的切线，只需证明∠OCP=90°即可.(2)利用直角三角形斜边上的中线证明△AOC是等边三角形，进而可得BD=2AD,运用勾股定理即可得到解答.证明：连接AC,OC,AB是⊙0的直径，AD是O0的切线，AE=DE=CE,∵OC是⊙0的半径，∴PC是⊙0的切线；解：∵AB=2AP,AB=2AO,AD²+AB²=BD²,【点睛】本题考查了切线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用.变式4-1.(辽宁大连·九年级期末)如图1,AB是⊙0的直径，弦CD与AB相交于点E,∠C+∠D=90°,BF//CD.(1)求证：BF是⊙0的切线；(2)延长AC交直线FB于点P(如图2),若点E为OB中点，CD=6,求PC的长.【分析】(1)根据圆周角定理以及已知条件可得∠BEC=∠A+∠C=90°,根据平行线的性质得∠ABF=∠BEC=90°,则AB⊥BF,即可得BF是⊙0的切线；(2)由垂径定理得DE=CE=3,根据线段垂直平分线的性质得OD=BD,可证明△OBD是等边三角形，可得∠BDE=30°,BD=2BE,根据勾股定理求出BE=√3,可得OB=2√3,AB=4√3,在Rt△ACE中，根据勾股定理得AC=6=2CE,则∠A=30°,根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。证明：∵∠A=∠D,∠C+∠D=90°,./BEC=/A+/C=90°,解：连接OD,∴PC=8-6=2.变式4-2.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD,AC与BD相交于点E.连接BC,∠BCF=∠BAC,CF【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得∠ACO+∠OCB=90°,再由等腰三角形性质及切线的判定定(3)设OH为x,则CH为(5-x),根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案.证明：∵BC=CD,解：如图：.BD//CF,OCLCF,设OH为x,则CH为(5-x),根据勾股定理，62-(5-x)2=52-x2,【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定和性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键.变式4-3.(辽宁盘锦·模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0,∠ABC=45°,连接AO并延长交⊙0于点D,连接BD,过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E..….…【答案】(1)见解析【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得∠AOC=90°,再根据AD//EC,可得∠OCE=90°,从而证明结论；的直径，得∠ABD=90°,结合AD=4,∠D=60°可得到AB=√3BD=2√3,根据∠ABC=45°,知△ABF是等腰直角三角形，进而求出再结合等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出CF,即可求解.。证明：连接OC,如图：∵OC为半径，∴CE是⊙0的切线；解：过点A作AF⊥BC于F,如图。.AD=4,∠D=60°,∵△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2,答：线段AB的长为2√3,线段BC的长为√6+√2典例5.(安徽·无为三中九年级阶段练习)如图，PA和PB是⊙0的两条切线，A,B是切点弧AB上任意一点，过点C画⊙0的切线，分别交PA和PB于D,E两点，已知PA=PB=5cm,求变式5-1.(山东威海·一模)如图，⊙0的直径AB=12,AM,BN是⊙O的两条切线，DC切⊙0于E,交BN于C,设AD=x,BC=y.(3)若x,y是方程2x²-30x+a=0的两个根，求△OCD的面积.【答案】(1)证明见解析.【分析】(1)连接OD、OE、OC,证明全等三角形，根据全等的性质得出∠AOD=∠DOE,再由相似三角形得出(2)根据切线长定理得到BF=AD=x,CE=CB=y,则DC=DE+CE=x+y,在RtVDFC中，根据勾股定理得出y与x的关系。(3)由(2)得xy=36,根据根与系数的关系得a的值，再通过解一元二次方程求得x、y的值，再根据AM,BN是⊙O的两条切线，DC切⊙0于E,得到OE⊥CD,AD=DE,BC=CE,推出∵AD,BC,DC与00相切于A、B、E点.∴∠EOC=∠BOC∴Rt△AOD～Rt△BOC∴AO.OB=AD·BCAD=DE,BC=EC∴AB²=4DE·CE.DF⊥BN则DC=DE+CE=x+y在RtVDFC中，由勾股定理得：(x+y)²=(y-x)²+12²∵y与x的函数关系是：∵x,y是方程2x²-30x+a=0的两个根即a=72解得：∵AD,BC,CD是00的切线.变式5-2.(天津西青·二模)已知PA,PB分别与00相切于点A,B,C为00上一点，连接AC,BC.∵PA,PB分别与00相切于点A,B,∵PA是00的切线，且AE是00的直径，∵AE是00的直径，【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，变式5-3.(北京·首都师范大学附属中学九年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°,O为BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆恰好与AC相切于点D,交BC于点E,连接DO,并延长交(2)若AD=3,CD=2,求⊙0的半径及EF的长.(2)00的半径为1.5,从而得到【分析】(1)连接DE,根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO,∠PDC=90°,从而得到(2)根据切线长定理可得AB=AD=3,再由勾股定理可得BC=4,设00的半径为x,则OD=x,OC=4-x,证明：如图，连接DE,.∠BAO=∠DAO,∠PDC=90°,.∠BAD=90°-∠C,∠C=90°-∠COD,解：∵AB与00相切，AD与00相切，CD=2,设00的半径为x,则OD=x,OC=4-x,∴00的半径为1.5,即OB=1.5,.EF=2DE,变式5-4.(河北唐山·二模)如图，△ABC是直角三角【分析】对于(1),连接OC,根据切线的性质得到AD=CD,且OA⊥AD,OC⊥CD,根据全等三角形的性质得到∠ADO=∠CDO,求得DO⊥AC,根据平行线的判定定理即可得到结论；对于(2),先根据平行线的性质得∠B=∠EOA,进而说明AE=EC,求得∠EOA=∠EAD,再推出BC=AE,根据全等三角形的性质即可得到结论.证明：连接OC,如图所示，∵DA、DC是半圆0的切线，又OA=OC,OD=OD,∴△ABC≌△DAE(ASA),..AB=AD.【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键。考查题型六三角形的内切圆与外接圆的综合应用典例6.(内蒙古呼伦贝尔·九年级期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BE,【分析】(1)根据圆周角定理求出∠CAD,根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC;(2)根据内心的性质，三角形的外角定理证明.(180°-68°)÷2=56°.∠BEC=180°-56°=124°(2)∵E是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD,∠EBA=∠EBC∵∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD,∠CBD=∠CAD.∠DEB=∠DBE∴DE=DB【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键。变式6-1.(山东淄博·九年级期末)如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长【答案】(1)见解析【分析】(1)欲证明EB=EI,只要证明∠EBI=∠EIB;(2)连接EC,过点E作EM⊥AB,ENLAC交AC的延长线于N,证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE,再利用勾股定理计算即可解决问题。证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB,BI平分∠ABC,.∠BAE=∠CAE,∠ABl=∠CBI,/CBE=/CAE,解：连接EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥AC交AC的延长线于N,则EM=EN,..BM=CN.设BM为x,则8-x=6+x,解得x=1,即BM=1,【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.变式6-2.如图，⊙0是△ABC的内切圆，D,E,F为切点，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.【答案】AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm【分析】设AF=x,BD=y,CE=z,根据切线长定理列出方程即可.【详解】解：设AF=x,BD=y,CE=z,关键.变式6-3.(浙江台州·九年级期末)如图1,AB是⊙0的直径，且AB=8,过点B作⊙0的切线，C是切线上一点，连接AC交⊙0于点D,连接BD,点E是AD的中点，连接BE交AC于点F.(1)比较大小：∠CBD∠CAB(填“<”、“=”、“>”中的一个);(4)在图1的基础上，作∠ADB的平分线交BE于点1,交⊙0于点G,连接OI(如图2)写出O【答案】(1)=;(2)见解析；(3)CB=6(3)OI=4√2-4.理由见解析.设AD=m,BD=n,则再由AD²+BD²=AB²,可得m²+n²=64,则再根据即可得到由此即可得到答案.【详解】解：(1)∵BC是圆O的切线，AB是圆O的直径，/CFB=/CBF,解得x=6,(4)由(2)可知∠ABE=∠DBE,如图所示，过点1分别作IH⊥AB于H,IM⊥BD于M,INLAD于N,连接AI设AD=m,BD=n,AD²+BD²=AB²,∵OI≥IH,∴当H与0点重合时，OI有最小值IH,考查题型七正多边形和圆的应用典例7.(江西南昌·九年级阶段练习)如图，有一个亭.它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.【分析】根据正六边形的性质，确定其边长等于外接圆的半径，周长即诶6R;把面积转化为6个过点0作OGLCB,垂足为G,∵地基是半径为4m的正六边形，∴△OBC是等边三角形，..BC=OB=4,OBC=60°,∠BOG=30°,∴BG=2,OG=√4²-2²=2√3,【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，熟练掌握中心角计算，灵活运用勾股定理是解题的关键。变式7-1.如图①、②、③,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙0的内接运动.(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况?若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.【答案】(1)120°;(2)=,=;(3)能，(2)根据(1)的求解过程，即可求解(3)结合(1),(2)的推理过程，即可得出结论【详解】(1)∠APB=120°(如图①).∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,(2)同理可得(3)由(1),(2)可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，内接于00,点F在AB上，求∠CFD的度数.【分析】如图所示，连接OC、OD,由正五边形的性质可得∠COD的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案.【详解】如图所示，连接OC、OD,【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角变式7-3.如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A,求∠PAB的度数.【分析】连接OA、OB,先求出∠BOA=72°,再求出∠OAB=54°,根据切线的性质求出∠OAP=90°,问题得解.【详解】解：如图，连接OA、OB,∵PA为圆O的切线，【点睛】本题考查了正多边形和圆的相关知识，切线的性质等，根据题意添加辅助线，求出∠OAB考查题型八与圆有关的面积问题典例8.(湖南·李达中学七年级阶段练习)求阴影部分的面积.【分析】阴影部分的面积等于梯形DOBC的面积减去⊙0面积的9据此即可作答.【详解】由题意可知，梯形DOBC的高为OD,上底和下底分别为DC、OB,⊙0的半径为OD,结BC,CD.求阴影部分的面积.【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD=∠DBA,根据∠CAB=∠DBA得到∠CAB=∠ACD,进而得到结论；(2)连结OC,OD,证明所求的阴影部分面积与扇形COD的面积相等，继而得到结论。∴∠ACD=∠DBA,又∵∠CAB=∠DBA,解：如图，连结OC,OD.∴∠AOD=∠COB=60°,.∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°。.CD//AB,【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键。变式8-2.(江苏徐州·中考真题)如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°,直线AD//BC,AB=AD,点0在BD上.(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为6,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析【分析】(1)连接OA,根据AD//BC和AB=AD,可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°,从而得到∠BAD=120°,再由OA=OB,可得∠BAO=∠ABD=30°,从而得到∠OAD=90°,即可求解；(2)连接OC,作OH⊥BC于H,根据垂径定理可得进而得到BC=2BH=6√3,再根解：直线AD与圆O相切，理由如下：如图，连接OA,∵OA是圆的半径，解：如图，连接OC,作OH⊥BC于H,∴扇形BOC的面积为【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据变式8-3.(山东东营·中考真题)如图，AB为00的直径，点C为00上一点，BD⊥CE于点D,BC(1)求证：直线CE是○0的切线；的半径为2,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析【分析】(1)连接OC,根据OB=OC,以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB,即可得出BD//OC,从而推出OC⊥DE,即证明得出结论；即可得出答案.证明：连接OC,如图，∴直线CE是○0的切线；∴OF=1,BF=O