湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

郴州市2024年上学期期末教学质量监测试卷高一数学（试题卷）注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡。试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分。考试时间120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，若，则等于（）A．6 B．5 C．4 D．33．唱歌比赛时共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．极差4．在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（）A． B． C． D．5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（）A． B． C． D．7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（）A．米 B．米C．米 D．米8．在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9．下列说法中正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是B．连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件C．数据的第70百分位数是23.5D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为910．是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A．的外接圆半径为B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为—111．如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A．直线平面B．三棱锥的体积为C．三棱锥外接球的表面积为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）12．在中，点在边上，．记，则______．（用表示）13．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，则的最大值为______．14．如图，是三个独立的开关，设它们闭合的概率分别为则该线路是通路的概率为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本大题13分）已知为单位向量，设向量．（Ⅰ）若，求与的夹角；（Ⅱ）已知与的夹角为，求的模长．16．（本大题15分）设锐角的内角的对边分别为，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若边，面积为，求的周长．17．（本大题15分）从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）估计家庭消费总支出的第75百分位数．（Ⅲ）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率．18．（本大题17分）如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求与平面所成的角的正弦值．19．（本小题17分）随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，，（Ⅰ）已知概率，（=1\*romani）求的值．（=2\*romanii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．（Ⅱ）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．郴州市2024年上学期期末教学质量监测试卷高一数学参考答案及评分细则（命题人：桂阳一中李民忠安仁一中曹志华永兴一中刘小春审题人：郴州市教科院汪昌华郴州市二中王勇林邑中学李东璠）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5DACDB 6—8BAC二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9．ABC 10．AC 11．ABD三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）12． 13．3 14．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（Ⅰ）设与的夹角为，由题得即又因为，所以所以与的夹角为(Ⅱ）因为与的夹角为，所以所以因为为单位向量所以所以的模长为716．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得又，得，所以，又角为锐角，所以；（Ⅱ）由（1）得，则，由余弦定理，得所以，所以，所以的周长为．17．（Ⅰ）由频率分布直方图，得，．（Ⅱ）第75百分位数为，则，解得所以，第75百分位数为85．（Ⅲ）由分层抽样可知，组抽取了2人，设为A、B，从组抽取了4人，设为，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：共15种，满足来自同一组的有7种，所以所抽取的2人来自同一组的概率是18．证明：（Ⅰ）因为为矩形，所以，又因为面面且交于，所以面，所以又因为所以面所以（方法2：验证三边满足勾股定理，酌情给分）（Ⅱ）过作于点，过作于点，连因为面面且交于，所以面，面所以，为二面角的平面角在Rt中，，，显然，，所以所以，二面角的余弦值为（Ⅲ）由（1）知：，设点到平面的距离为，由，得，即，得：，与平面所成的角的正弦值为．19．解：（Ⅰ）由题知：（=1\*romani）根据独立性性质知解得：（=