函数专题二次函数在闭区间上的最值问题（5大题型）（原卷版）

二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数的三种形式1、一般式：2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，，则其解析式为二、二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。将配方，得顶点为，对称轴为（1）当时，的最小值为，的最大值为与中的较大值；（2）时，若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为；若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为；三、二次函数在闭区间上的最值类型1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。题型一定轴定区间求二次函数最值【例1】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）函数的值域是（）A．B．C．D．【变式11】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数，则在区间的值域为．【变式12】（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．【变式13】（2023秋·广西玉林·高一校考开学考试）已知二次函数.（1）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）当时，求函数最大值、最小值.题型二定轴动区间求二次函数最值【例2】（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数，不等式的解集为，且.（1）求函数的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式.【变式21】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，，的最大值为16；（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间的最大值.【变式22】（2023秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数.（1）求的解析式；（2）若为任意实数，试讨论在上的单调性和最小值.【变式23】（2023秋·陕西渭南·高一考阶段练习）已知函数.（1）若，求函数的最小值和最大值；（2）当，时，求函数的最小值.【变式24】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）求函数在区间，上的最大值．题型三动轴定区间求二次函数最值【例3】（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知二次函数．（1）若，求在上的最值；（2）求函数在上的最小值．【变式31】（2022秋·江苏连云港·高一统考期中）已知函数，．（1）若，求实数的取值范围；（2）求的最小值．【变式32】（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值.【变式33】（2022秋·山东淄博·高一校考期中）已知a，若函数在区间[1，2]上的最小值为（1）求的函数表达式；（2）若求的最大值.题型四动轴动区间求二次函数最值【例4】（2023·全国·高一课堂例题）设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式．【变式41】函数在区间上的最小值为，求的表达式.【变式42】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.【变式43】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式.题型五逆向型二次函数最值问题【例5】（2023秋·山东淄博·高一统考开学考试）已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（）A．1B．2C．3D．4【变式51】（2022秋·江苏镇江·高一校考开学考试）当时，函数有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式52】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式53】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（）A．1B．2C．