人教A版普通高中数学一轮复习第一章第四节一元二次不等式及其解法学案

第四节一元二次不等式及其解法考试要求：1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2．结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系．3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式的方法．自查自测知识点一一元二次不等式1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(√)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(√)2．已知全集U＝{x|x≥0}，集合A＝{x|x(x－2)≤0}，则∁UA＝()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)A解析：集合A＝{x|x(x－2)≤0}＝[0，2]，而全集U＝[0，＋∞)，所以∁UA＝(2，＋∞)．故选A．3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是-12，13，则a－14解析：由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，所以4．(教材改编题)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为．(－32，32)解析：由题意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－32<a<32.核心回扣1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2，或x＜x1}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅自查自测知识点二分式不等式与整式不等式不等式1-x2+x≥A．[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)B解析：将原不等式化为即解得－2<x≤1.核心回扣分式不等式与整式不等式(1)fxgx＞0(＜0)⇔f(x)·g((2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)不含参数的一元二次不等式的解法1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为()A．-1，B．-C．(－∞，－1)∪32D．-∞，-32C解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>322．(2024·泰安模拟)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝()A．(1，2) B．(1，5)C．(2，4) D．(4，5)B解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝(1，5)．故选B．3．(2024·日照模拟)若集合M＝{x|x(3－x)>0}，N＝{x|〖(x-2)/(x+3)〗≤0┤}，则M∩A．[－3，2] B．(0，3]C．[－3，2) D．(0，2]D解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0<x<3，所以M＝{x|0<x<3}．又由x-2x+3≤0，可得{■(x-2)(x+3)≤0，@x+3≠0，)┤解得－3<x≤2，所以N＝{x|－3<解不含参数的一元二次不等式的一般步骤三个“二次”关系的应用1．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是()A．a<0B．a＋b＋c>0C．c>0D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<-ABC解析：根据二次函数图象与二次不等式解集之间的关系可知a<0，A正确；由题可知方程ax2＋bx＋c＝0的根为－1，3，则a<0，-1+3=-ba，-1×3=ca，即a<0，b=-2a，c=-3a，所以a＋b＋c＝－4a>0，B正确；c＝－3a>0，C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x2．不等式axx-1<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a的值为12解析：因为原不等式可化为a-1x+1x-1<0，即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0，所以由题意得a-1<0，-3．已知函数f(x)＝15xx2+9，若f(x)>m的解集为32，2解析：因为f(x)>m，所以15xx2+9>m，所以mx2－15x因为其解集为32，6，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为32和6，所以32三个“二次”间的关系及应用1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．含参数的一元二次不等式的解法【例1】解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．[变式]将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集．解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以ax-1a(当a>1时，解得1a<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<1综上可得，当0<a<1时，此不等式的解集为{x|1<x<1a}；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a解含参数的一元二次不等式的分类讨论依据设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.解：①当m＝0时，－3<0恒成立；②当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即x+3而－3m<1此时不等式的解集为{x|-3③当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即x+3而－3m>1此时不等式的解集为{x|1综上可得，当m<0时，不等式的解集为{x|1m<x<-3m}；当m一元二次不等式的恒成立问题考向1在R上的恒成立问题【例2】(2024·盐城模拟)已知关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是()A．[0，4]B．[0，3]C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0]∪[4，＋∞)A解析：当k＝0时，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化为1≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ=9k2-4k2k+1一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0考向2在给定区间上的恒成立问题【例3】(2024·滨州模拟)若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]A解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意得f解得a≤－3.故选A．(方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈[－1，2]，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A．给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.1．若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是()A．(－2，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]C解析：由∀x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0，得m<x＋1x，而当x>0时，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，则2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是．[－6，2]解析：当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.所以实数a的取值范围是[－6，2].课时质量评价(四)1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于()A．(0，2) B．(－1，0)C．(－3，2) D．(－1，3)B解析：A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，所以A∩B＝(－1，0)．故选B．2．若命题p：∀x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0是真命题，则k的取值范围是()A．(－∞，1]∪[3，＋∞)B．(－3，1)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．[－1，3]D解析：由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3.故选D．3．(2024·宁波模拟)若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为()A．{x|2<x<B．{x|C．{x|x<D．{x|x<2或x>B解析：方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝1a，因为a<0，所以1a<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为4．(多选题)若二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|-1<x<12}A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3C．ab＝－2 D．ab＝2ABD解析：由题意得，－1，12是方程ax2＋bx＋1＝0的根，由根与系数的关系，得-ba=-1+12，1a=-1×12，解得a=-25．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1，0)C．[－1，0) D．(－∞，0)B解析：设f(x)＝x2－2(m＋1)x＋m，若满足A⊆B，则需满足f0＜0，f1＜0，6．不等式1x<－1的解集是(－1，0)解析：因为1x<－1，等价于1x＋1＝1+xx<0，等价于x(1＋x)<0，解得－1<x7．(2024·威海模拟)若∃x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，则a的一个可取的正整数值为．1(或2，3)解析：由题意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为1(也可取2，3)．8．已知关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋4<0(a∈R)．(1)当a＝－6时，此不等式的解集为；(2)若不等式的解集非空，则实数a的取值范围为．(1)(1，4)(2)(－∞，－5)∪(3，＋∞)解析：当a＝－6时，不等式为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，故不等式的解集为(1，4)．不等式x2＋(a＋1)x＋4<0的解集非空，则Δ>0，即(a＋1)2－16>0，解得a<－5或a>3，故实数a的取值范围是(－∞，－5)∪(3，＋∞)．9．已知函数f(x)＝ax＋6x－3，若xf(x)<4的解集为{x|1<x<b(1)求a，b的值；(2)解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因为函数f(x)＝ax＋6x－3，所以不等式xf(x)<4，即为ax2－3x＋2<0.由不等式的解集为{x|1<x<b}，可得1＋b＝3a，且1×b＝2a，解得a(2)由(1)得a＝1，b＝2，则关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.当c＝2时，不等式即(x－2)2<0，它的解集为∅；当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(c，2)；当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为(2，c)．10．(2024·临沂模拟)若关于x的不等式sinx-2xA．3 B．2C．－2 D．－3B解析：因为sinx－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2.由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故ab＝2.故选B．11．已知关于x的不等式ax2－2x＋a<0在(0，＋∞)上有解，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1) B．(－1，1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)A解析：由x∈(0，＋∞)，ax2－2x＋a<0，可得a<2xx2+1在(0，＋∞)上有解．令f(x)＝2xx2+1，则f(x)＝2x+12．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是．(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)解析：不等式(x＋4)(x－6)